劉裕良
[摘要]加法交換律和結(jié)合律是四則運(yùn)算里的基礎(chǔ)定律,為學(xué)生以后學(xué)習(xí)簡(jiǎn)算奠定了理論基礎(chǔ),但是,加法結(jié)合律與交換律之間卻有著微妙的關(guān)系,要想徹底厘清兩者,需要從定義開(kāi)始追溯。
[關(guān)鍵詞]加法;乘法;結(jié)合律;交換律;算序
[中圖分類號(hào)]G623.5
[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A
[文章編號(hào)]1007-9068(2020)32-0056-02
筆者閱讀《中小學(xué)數(shù)學(xué)》2012年第7、8期刊登的崔海華老師的論文《厘清思考原點(diǎn) 關(guān)注運(yùn)算順序》(以下簡(jiǎn)稱“崔文”)和2013年第12期杜欽坤老師的教研論文《惹禍的括號(hào)》(以下簡(jiǎn)稱“杜文”)后,感慨良多。在經(jīng)年累月的執(zhí)教生涯中,上述崔老師和杜老師憂思的問(wèn)題隨處可見(jiàn),同事也經(jīng)常為此爭(zhēng)得面紅耳赤。下面筆者就談?wù)剛€(gè)人淺見(jiàn)。
一、運(yùn)算律引起的辯論
問(wèn)題爭(zhēng)論的焦點(diǎn)集中在三個(gè)題目上。
【例1】25+38+75=(25+75)+38,在這個(gè)簡(jiǎn)算變形中,運(yùn)用了( )。
A.加法結(jié)合律
B.加法交換律
C.加法交換與結(jié)合律
崔老師和杜老師一致認(rèn)為,這道簡(jiǎn)算題單一地運(yùn)用了加法交換律,選項(xiàng)B是對(duì)的。而崔文中又補(bǔ)敘:“假若堅(jiān)持認(rèn)為使用的是加法結(jié)合律,簡(jiǎn)算過(guò)程的確改變了算序,即先求出第一個(gè)和第三個(gè)加數(shù)的和,再求出與第二個(gè)加數(shù)的和。然而,一、三兩個(gè)加數(shù)結(jié)合起來(lái)相加的同時(shí),勢(shì)必調(diào)換了數(shù)序,客觀上38與75調(diào)換了次序。從主次來(lái)分,兩種運(yùn)算律的運(yùn)用,先用的是加法結(jié)合律,后用的是加法交換律,因此,若嚴(yán)格來(lái)講,必須設(shè)計(jì)這樣一個(gè)選項(xiàng):加法結(jié)合律和加法交換律兩相結(jié)合。這樣看,選項(xiàng)C似乎有些勉強(qiáng),因?yàn)樵~序顛倒。”作者的意思是,這個(gè)題目應(yīng)該這樣應(yīng)答:加法結(jié)合律和加法交換律。認(rèn)定B選項(xiàng)是沒(méi)辦法的辦法,因?yàn)樵}實(shí)在沒(méi)有如愿提供“加法結(jié)合律和加法交換律”這個(gè)選項(xiàng)。
【例2】(1)125×7×8=(125×8)×7=1000×7=7000;(2)125×7×8=7×(125×8)=7×1000=7000。這道題中,針對(duì)后一種簡(jiǎn)算法,兩位作者提出的觀點(diǎn)與大多數(shù)教師的看法不謀而合,即先用乘法交換律,再用乘法結(jié)合律。出現(xiàn)分歧的是前一種算法,有觀點(diǎn)認(rèn)為單用乘法交換律,有觀點(diǎn)認(rèn)為乘法交換律和乘法結(jié)合律兩者并用,而上述兩位作者則堅(jiān)持單用乘法交換律的觀點(diǎn)。杜文指出:業(yè)界之所以普遍認(rèn)定第一種方法綜合運(yùn)用了兩種運(yùn)算律,是因?yàn)橐驍?shù)7和因數(shù)8交換位置后,125和8用上了括號(hào),假如不帶括號(hào),就是依序計(jì)算,添加括號(hào)就標(biāo)志使用乘法結(jié)合律,“難道是括號(hào)在作怪?”前種簡(jiǎn)算法下,7和8交換位置后,先算125×8是自然順序,是通則,四則運(yùn)算的自然順序不含結(jié)合律,因此只有交換作用,沒(méi)有結(jié)合作用;在(a×b)×c=a×(b×c)中,就算左邊的式子無(wú)括號(hào),仍不改變先算a×b的既成事實(shí),左邊式子中的小括號(hào)起到強(qiáng)調(diào)重申先算的作用。
二、數(shù)序變而算序不變
【例3】23+(45+55)=(45+55)+23運(yùn)用了什么運(yùn)算定律?
崔文得出結(jié)論:這道題綜合運(yùn)用了加法交換律和加法結(jié)合律。論據(jù)有三:三個(gè)加數(shù)的順序發(fā)生巨大變化,全部調(diào)整,因此,交換律是不言而喻的;再看算序,雖然都是先算(45+55),但是,左式中,它們分處2、3位,在右式中,分處1、2位,顯然,排序發(fā)生變化,因此兩種運(yùn)算定律都運(yùn)用其中。如果先分析算序,先相加后兩數(shù),則變成了先相加前兩數(shù)。因此,毫無(wú)疑問(wèn)用到了加法結(jié)合律,而與此同時(shí),三個(gè)數(shù)的數(shù)序打亂了,由此交換律也不可避免非用不可。不管從哪方面說(shuō),加法的兩個(gè)運(yùn)算律赫然在列,一個(gè)都省不了?!倍盼恼J(rèn)為:“宏觀看,兩種運(yùn)算律兼而有之?!苯o出的論據(jù)是:“23+(45+55)=(45+55)+23,不僅三個(gè)數(shù)的次序統(tǒng)統(tǒng)打亂,而且先求和的(45+55)的次序也由二、三位遞進(jìn)為一、二位,算序發(fā)生改變,因此兩者都用到。兩種運(yùn)算律息息相關(guān),是第一種變化附帶導(dǎo)致第二種改變,算序變化是數(shù)序變化引起的副反應(yīng)、副產(chǎn)物,可以不必糾結(jié),其實(shí)左右兩個(gè)式子,算序都是45+55優(yōu)先,并沒(méi)有被其他的算式捷足先登,算序未變,從宏觀層面看,單用了加法交換律。”為了證明這一點(diǎn),先來(lái)回顧乘法交換律和乘法結(jié)合律的定義。(1)乘法交換律:兩數(shù)相乘,交換因數(shù)的位置,積保持不變,用字母表達(dá)式表示就是a×b=b×a。(2)乘法結(jié)合律:三數(shù)相乘,先求出前兩個(gè)數(shù)的積,再計(jì)算與第三個(gè)數(shù)的積,或者先求出后面兩個(gè)數(shù)的乘積,再計(jì)算與第一個(gè)數(shù)相乘的積,結(jié)果不發(fā)生改變,用字母表達(dá)式表示就是(a×b)×c=a×(b×c)。加法交換律和結(jié)合律與乘法的類似,不再贅言。通過(guò)溫習(xí)舊知,需要重申以下幾點(diǎn):(1)結(jié)合律中左式中的括弧,對(duì)算序沒(méi)起作用,只是為了美觀對(duì)稱,書(shū)寫(xiě)時(shí)一般不輕易省掉;(2)隨著數(shù)域的擴(kuò)展,公式的字母可以表示各種數(shù)型,整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)均無(wú)不可,當(dāng)然,這些字母既能代表數(shù)值,也可表示一個(gè)抽象的式子;(3)交換律只改變數(shù)序,不改變計(jì)算順次;(4)結(jié)合律的作用僅僅是改變算序,而不改變數(shù)序。下面就按此邏輯來(lái)研磨上述三題。在例1中,左式預(yù)定的是求三個(gè)數(shù)的和,按照正常順序,要求出25+38的和值63,再用這個(gè)和值63與75求和,得到138。而右式(25+75)+38是左式變換之后得到的,變形經(jīng)過(guò)是這樣的:25+38+75=25+(38+75)(運(yùn)用了加法結(jié)合律)=25+(75+38)(括號(hào)里運(yùn)用了加法交換律)=25+75+38(去括號(hào))=(25+75)+38,因此這道題綜合運(yùn)用了兩種定律。流行觀點(diǎn)認(rèn)為,最后一步用到結(jié)合律,筆者不敢茍同,此處沒(méi)有運(yùn)用任何定律,只是按正規(guī)程序計(jì)算,是對(duì)加法結(jié)合律書(shū)寫(xiě)美觀需要所致,是習(xí)慣問(wèn)題;第一步才是結(jié)合律的落腳點(diǎn),一般情況下,這一步被自動(dòng)忽略了。這里,的的確確使用了加法結(jié)合律,但這也僅僅屬于38和75的結(jié)合,而絕非崔文所言第一個(gè)和第三個(gè)加數(shù)結(jié)合。38和75先結(jié)合起來(lái),再交換位置,兩種運(yùn)算律使用上有先后之別,卻無(wú)主次之分。
三、加括號(hào)原為對(duì)稱美
對(duì)于例2(1),筆者覺(jué)得邏輯應(yīng)該是這樣的:125×7×8=125×(7×8)(運(yùn)用了乘法結(jié)合律)=125×(8×7)(運(yùn)用了乘法交換律)=125×8×7(去括號(hào)),之后原式=(125×8)×7=1000×7=7000,所以這道題依然是綜合運(yùn)用了兩種運(yùn)算律。在例2(2)中,顯現(xiàn)的是粗線條,而不是整個(gè)來(lái)龍去脈,但是不能因?yàn)槌鍪玖舜志€條而曲解它,其中(125×8)×7一步,將前面兩個(gè)因數(shù)括起來(lái),有人就想當(dāng)然覺(jué)得是用了乘法結(jié)合律。正如前文所言,是為了造成美觀效應(yīng),按照慣例行事,與運(yùn)算律一概無(wú)關(guān),說(shuō)是括號(hào)引起的誤會(huì),實(shí)在是冤枉了括號(hào)。對(duì)于例3,崔文提出,這道題是合用了兩種運(yùn)算律,在引言中,作者是站在三個(gè)數(shù)的視角來(lái)探析;杜文也是如出一轍,分析后說(shuō):“……,所以運(yùn)用了交換律和結(jié)合律……”最后又說(shuō):“宏觀來(lái)看,單獨(dú)使用了乘法交換律?!边@段話讓人摸不著頭腦,莫名其妙。前后矛盾的說(shuō)法,讓人無(wú)所適從。其實(shí)這個(gè)問(wèn)題也很好解釋:23+(45+55)不應(yīng)視為三個(gè)數(shù),而應(yīng)該把(45+55)視為一個(gè)數(shù),也就是一個(gè)基礎(chǔ)的加法算式(因?yàn)樵街邪?5+55括起來(lái),已然是一個(gè)整體),在這里就只涉及加法交換律,沒(méi)有其他??闯扇齻€(gè)數(shù),是站不住腳的,沒(méi)有看透加法運(yùn)算本質(zhì),浪費(fèi)時(shí)間,最后走進(jìn)迷宮,只有原地打轉(zhuǎn),無(wú)法逃脫。
以上是筆者個(gè)人的分析,望能拋磚引玉,引發(fā)廣大教師更深入的探討。
(責(zé)編 黃春香)