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        函數(shù)知識引領(lǐng)與題型點(diǎn)擊

        2020-01-18 04:25:56孟憲玲
        關(guān)鍵詞:增函數(shù)切點(diǎn)切線

        孟憲玲

        一、以三次函數(shù)為主線的問題

        三次函數(shù)交匯了不等式、方程、解析幾何等眾多知識點(diǎn),以它為載體的試題背景新穎、獨(dú)特,選拔功能強(qiáng)。由于三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為二次函數(shù),因此以導(dǎo)數(shù)為工具,可用二次函數(shù)知識對三次函數(shù)的形態(tài)進(jìn)行研究。

        例1:已知f(x)=x3+ax2+bx+c在與x=1時都取得極值。

        1.求a,b的值;

        2.若對x∈[-1,2],f(x)<c2恒成立,求c的取值范圍。

        思路分析:因為函數(shù)在與x=1時都取得極值,所以其導(dǎo)數(shù)值為0,可求得

        因f(2)=2+c>。

        所以當(dāng)x∈[-1,2],f(x)的最大值為f(2)=2+c。

        因為x∈[-1,2],f(x)<c2恒成立,

        所以c2>2+c,c<-1,或者c>2故c的取值范圍為(-∞,-1)∪(2,+∞)。

        友情提醒:

        (1)考查三次函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等問題,要通過對三次函數(shù)的求導(dǎo),可將“三次”變?yōu)椤岸巍?,于是轉(zhuǎn)化為考查熟悉的二次函數(shù)、二次方程及相關(guān)問題。

        (2)對于恒成立問題,例如x∈[-1,2],f(x)<c2恒成立,總有:

        x∈[-1,2],f(x)的最大值<c2,因而問題轉(zhuǎn)化為求x∈[-1,2],f(x)的最大值。

        例2:求過點(diǎn)P(0,0)且與曲線相切的切線方程。

        思路分析:因為點(diǎn)P(0,0)在曲線上,它可以是切點(diǎn),也可能不是切點(diǎn)。當(dāng)點(diǎn)P(0,0)是切點(diǎn)時,由k=f′(0)=4,求得切線方程為y=4x,當(dāng)點(diǎn)P(0,0)不是切點(diǎn)時,另設(shè)切點(diǎn)Q(x0,y0),(x0≠0),則以Q為切點(diǎn)的切線的斜率為k1=-2x0+2x0+4,又,解得,得切線方程為。故過點(diǎn)P(0,0)且與曲線相切的切線方程有兩條,其方程為y=4x和此時,一個切點(diǎn)是P(0,0),另一個切點(diǎn)是

        友情提醒:

        1.求過一點(diǎn)P(x0,y0)的曲線y=f(x)的切線方程與求過曲線y=f(x)上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程,雖然是同一類問題,但有所不同。前者曲線的切線其切點(diǎn)可以是P(x0,y0),也可以是曲線上其余的點(diǎn);切線可以存在,也可不存在。若存在,切線可以不唯一。而后者一般情況下,點(diǎn)P(x0,y0)是曲線的切點(diǎn),以P(x0,y0)為切點(diǎn)的切線是唯一存在的。

        2.曲線與直線相切,并不一定只有一個公共點(diǎn),當(dāng)曲線是二次曲線時,直線和曲線相切,有且只有一個公共點(diǎn)。這種觀點(diǎn)對一般的曲線不一定正確,上例正說明了這一點(diǎn)。

        拓展引申:(1)已知拋物線C1∶y=x2+2x和拋物線C2∶y=-x2+a,當(dāng)a取什么值時,C1,C2有且僅有一條公切線?寫出公切線l的方程。

        解析:設(shè)公切線L切于C1于點(diǎn)P1(x1,y1),切C2于點(diǎn)P2(x2,y2),則L的方程有兩種表達(dá)方式①②分別是

        所以P1,P2重合,故當(dāng)時,C1,C2有且僅有一條公切線,其方程為。

        (2)已知函數(shù)①若函數(shù)f(x)=x3-x2+bx+c的圖像有與x軸平行的切線,求b的取值范圍;②若f(x)在x=1時取得極值,且x∈[-1,2]時,f(x)<c2恒成立,求c的取值范圍;

        解析:①f′(x)=3x2-x+b,設(shè)切點(diǎn)P(x0,y0),則f(x)在點(diǎn)P的切線的斜率k=f′(0)=3x0-x0+b,由題意,k=f′(0)=3x0-x0+b=0有解,故有Δ=1-12b≥0,∴b≤12。

        ②因為f(x)在x=1時取得極值,所以x=1為方程f ′(x)=3x2-x+b=0的一個根,

        ∴b=-2由3x2-x-2=0可得f′(x)=0的另一個根當(dāng)x<或x>1,f′(x)>0,

        所以當(dāng)x∈[-1,2],時,f(x)在上是增函數(shù),

        所以f(x)有極大值

        所以當(dāng)x∈[-1,2]時f(x)有最大值f(2)=2+c,

        因為f(x)<c2恒成立,

        ∴2+c<c2恒成立,c<-1或c>2。

        反思:本題第(1)題利用了導(dǎo)數(shù)的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為二次方程有解問題。第(2)題為恒成立問題,實(shí)質(zhì)是求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上的最大值。

        二、以抽象函數(shù)為主線的問題

        這里所謂的抽象函數(shù),是指只給出函數(shù)的一些性質(zhì),而未給出函數(shù)解析式的一類函數(shù)。抽象函數(shù)一般以中學(xué)階段所學(xué)的基本函數(shù)為背景,且構(gòu)思新穎、條件隱蔽、技巧性強(qiáng)、解法靈活。因此抽象函數(shù)在近幾年的各種考試中,成為考查的重點(diǎn)。

        例3:定義在(-1,1)上的函數(shù)f(x)滿足:

        (1)對任意的x,y∈(-1,1),都有

        (2)當(dāng)x∈(-1,0),時,有f(x)>0,

        思路分析:先賦值判斷奇偶性,令x=y=0,得f(0)=0,再令y=-x,得f(x)+f(-x)=0,所以f(x)是奇函數(shù)。再利用定義證明f(x)在x∈(-1,0)時是減函數(shù),則在x∈(0,1)上仍然是減函數(shù),且f(x)<0。最后將裂項為,于是。

        友情提醒:

        (1)本題先確定函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,利用裂項求和進(jìn)行化簡,再根據(jù)條件用放縮法證明不等式;在解題過程中,利用題設(shè)充分挖掘隱含條件,開拓解題思路,使問題得到解決。

        (2)解決抽象函數(shù)問題的關(guān)鍵是挖掘函數(shù)的特征,考慮特殊值的代入、類比、推理等方法,或脫去抽象函數(shù)中的記號f,化為具體函數(shù)解決。

        拓展引申:

        1.設(shè)a是常數(shù),函數(shù)f(x)對一切x∈R都滿足f(a-x)=-f(a+x)。

        求證:函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)成中心對稱圖形。

        解析:證明一個函數(shù)圖像的對稱性問題,只需在此函數(shù)圖像上任取一點(diǎn)P,證明它的對稱點(diǎn)Q也在其圖像上。

        證明:∵f(a-x)=-f(a+x)對一切x∈R都成立,

        ∴f(x)=f[a-(a-x)]=-f[a+(a-x)]=-f(2a-x)],所以在f(x)的圖像上任取一點(diǎn)(x0,y0),則其關(guān)于(a,0)的對稱點(diǎn)(2a-x0,-y0)也在其圖像上,所以函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)成中心對稱圖形。

        2.已知函數(shù)f(x)對于一切實(shí)數(shù)x滿足f(x)=f(12-x),若方程f(x)=0有n個不同的實(shí)數(shù)根,這n個實(shí)數(shù)根的和是48,求n的值。

        解析:由方程根的意義及等式f(x)=f(12-x)的意義知,方程的根是成對出現(xiàn)的,且成對兩根之和是12。

        由方程f(x)=f(12-x)知,如果x0是方程的根,那么12-x0也是方程的根,且x0≠12-x0,x0+(12-x0)=12,由48=12×4,可知方程f(x)=0有四對不同的實(shí)數(shù)根,即方程f(x)=0有8個不同的實(shí)根。所以n=8。

        三、以向量知識為背景的函數(shù)問題

        向量由于具有幾何形式和代數(shù)形式的雙重身份,能容數(shù)形于一體,因此以向量的相關(guān)知識為載體,以數(shù)形轉(zhuǎn)化思想方法為主線的函數(shù)問題,其設(shè)計創(chuàng)新力度較大、綜合性較強(qiáng),已成為近年高考的新熱點(diǎn)。

        例4:(2005年湖北高考題)已知向量若函數(shù)在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù),求t的取值范圍。

        思路分析:

        先求出f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,則f′(x)=-3x2+2x+t,因為函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù),則在(-1,1)上f′(x)≥0,則t≥3x2-2x在區(qū)間(-1,1)上恒成立。

        考慮函數(shù)g(x)=3x2-2x在(-1,1)的取值范圍,有g(shù)(x)<g(-1),于是t≥g(-1)=5。

        當(dāng)t≥5時,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上滿足f′(x)>0,即函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù),故t≥5。

        友情提醒:

        1.本題考查平面向量數(shù)量積的計算方法,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,并運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)分析和解決問題。

        2.研究近幾年高考試題,發(fā)現(xiàn)平面向量與函數(shù)知識交匯融合的創(chuàng)新潛力較大,已漸成高考的熱點(diǎn)。

        拓展引申:

        (1)求函數(shù)關(guān)系式s=f(t);

        (2)若函數(shù)s=f(t)在[1,+∞)上是單調(diào)函數(shù),求k的取值范圍。

        (2)f′(t)=2t2-k,∵f(t)在[1,+∞)上是單調(diào)函數(shù),所以在[1,+∞)上有f′(t)≥0,或f′(t)≤0。由f′(t)≥0,可得,k≤3t2,∴k≤(3t2)min,k≤3。由f ′(t)≤0可得k≥3t2,而y=3t2在[1,+∞)上是增函數(shù),沒有最大值。此時,不存在k使k≥3t2在[1,+∞)上恒成立。故k的取值范圍是k≥3。

        四、信息遷移中的函數(shù)問題

        數(shù)學(xué)信息題一般取材較新,多以社會熱點(diǎn)或最新科技動態(tài)為背景,具有濃郁的時代特征和生活氣息。在題目中給出的是新情景、新結(jié)構(gòu)、新概念、新函數(shù)、新運(yùn)算等信息,要求學(xué)生在考試時完成現(xiàn)場學(xué)習(xí),在短時間內(nèi)從大量的信息中捕捉相關(guān)信息,通過分析、歸納,探索有關(guān)規(guī)律,應(yīng)用聯(lián)想、猜想、演繹、類比、遷移等方法將它與已有的知識結(jié)合起來,把所學(xué)的知識遷移到新的情景中,去做進(jìn)一步推理、運(yùn)算、證明,才能獲得解決。

        例5:設(shè)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),又是最小正周期為π的周期函數(shù),而且f(x)在(0,)上是增函數(shù),試寫出函數(shù)f(x)的解析式。

        思路分析:

        這是結(jié)論開放型信息遷移題,由于f(x)是周期函數(shù),故容易想到從三角函數(shù)入手進(jìn)行探究。

        友情提醒:

        1.此類問題讀懂題意是關(guān)鍵的一步。搞清題意才能確定探索方向,尋找合理的解題途徑。

        2.我們常見的是已知f(x)的解析式來分析f(x),即使是求解析式也往往是已知圖像或者函數(shù)的一部分解析式,這樣的解答結(jié)果是唯一確定的;而本問題卻是反其道而行之,給出函數(shù)奇偶性、單調(diào)性和周期性性質(zhì),反過來寫出符合條件的函數(shù),將信息逆向遷移,具有開放性。

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