舒云水

例 對任意正整數[n]，猜想[2n-1]與[（n+1）2]的大小關系.

同學們經過一番努力，得出正確的猜想：當[n≤6]時，[2n-1<（n+1）2]；當[n=7]時，[2n-1=（n+1）2]；當[n≥8]時，[2n-1>（n+1）2]. 筆者經過探究，得出如下兩種證法.

證法1（導數法）

設[f（x）=2x-1-（x+1）2（x≥8）]，

則[f（x）=2x-1ln2-2x-2].

設[g（x）=f（x）]，則[g（x）=（ln2）22x-1-2].

[∵g（x）]為增函數，又[x≥8]，

[∴g（x）][≥][g（8）]=[（ln2）227-2≈59.5>0].

[∴g（x）]是增函數，

[∴g（x）=f（x）≥f（8）=27ln2-2×8-2][≈70.7>0.]

所以[f（x）]在[8，+∞]上是增函數.

故當[n≥8]時，

有[f（n）=2n-1-（n+1）2≥f（8）=47>0].

即[2n-1>（n+1）2].

點撥 構造函數，利用導數判斷函數的單調性，再根據函數的單調性證明不等式.

證法3（放縮法和導數法）

（1）當[n=8]時， [28-1>（8+1）2]，不等式成立.

當[n=9]時， [29-1=256>（9+1）2=100]，不等式成立.

（2）下面證明當[n≥10]時，[2n-1>（n+1）2].

∵[2n-1=C0n-1+C1n-1+C2n-1+C3n-1+…+Cn-1n-1][（n≥10）]，

∴[2n-1>C0n-1+C1n-1+C2n-1+C3n-1][=n3-3n2+8n6].

只需證[n3-3n2+8n6>（n+1）2]，

只需證[n3-9n2-4n-6>0]（*）.

設[f（x）=x3-9x2-4x-6（x≥10）]，

則[f（x）=3x2-18x-4=3（x-3）2-31]

[≥3（10-3）2-31=116>0].

∴[f（x）]在[10，+∞]上是增函數.

∴當[n≥10]時，

[f（n）=n3-9n2-4n-6≥f（10）=54>0].

不等式（*）成立，原題得證.

點撥 利用[2n-1=C0n-1+C1n-1+C2n-1+][C3n-1][+…+Cn-1n-1]巧妙放縮不等式，再構造一個三次函數，根據函數的單調性證明不等式.