■天津外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校 張紫茵

數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計，就是在整體思維指導(dǎo)下，旨在提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，通過教學(xué)團隊的合作，統(tǒng)籌重組和優(yōu)化相關(guān)教學(xué)內(nèi)容，再將優(yōu)化后的教學(xué)內(nèi)容作為一個相對獨立的教學(xué)單元，這樣做的目的是突出數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的主線以及知識間的聯(lián)系性。數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計是對教學(xué)單元整體進行循環(huán)改進的動態(tài)教學(xué)設(shè)計。單元教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)：一是確定單元內(nèi)容、二是分析教學(xué)要素、三是設(shè)計教學(xué)流程、四是分析教學(xué)資源、五是評價反思與修改。下面，我以人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊《三角函數(shù)公式的認(rèn)知與應(yīng)用》為例，進行單元教學(xué)研究。

一、確定單元內(nèi)容

本單元教學(xué)內(nèi)容及課時安排如下：單元分講一：三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式，共4課時。單元分講二：兩角和與差的正弦、余弦和正切公式、二倍角的正弦、余弦和正切公式，共3課時。單元分講三：簡單的三角恒等變換，共3課時。

二、分析教學(xué)要素

確的數(shù)學(xué)思維方法，掌握變量替換、構(gòu)造法等思想方法，以及用已知解決未知問題的化歸數(shù)學(xué)思想。3.正確、熟練、靈活地運用公式進行求值、化簡、證明。

(一)數(shù)學(xué)分析

本單元的數(shù)學(xué)要點有以下幾點：1.在直角坐標(biāo)系中研究角的意義、通過公式的推導(dǎo)、了解公式的來源，掌握它們之間內(nèi)在聯(lián)系和轉(zhuǎn)化的規(guī)律。2.在推導(dǎo)過程中，進一步形成嚴(yán)密而準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)思維方法，掌握變量替換、構(gòu)造法等思想方法，以及用已知解決未知問題的化歸數(shù)學(xué)思想。3.正確、熟練、靈活地運用公式進行求值、化簡、證明。

（二）分析教學(xué)要素——課標(biāo)分析

1.三角函數(shù)的概念：借助單位圓理解任意角三角函數(shù)的定義，推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式。2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式。3.三角恒等變換。（1）經(jīng)歷推導(dǎo)兩角差余弦公式的過程，知道兩角差余弦公式的意義。（2）能從兩角差余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的三角公式，二倍角公式，了解內(nèi)在聯(lián)系。（3）能運用上述公式進行簡單的恒等變換。

（三）分析教學(xué)要素——學(xué)情分析

具備：本單元學(xué)習(xí)認(rèn)知基礎(chǔ)是前面建立的函數(shù)一般概念，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的研究經(jīng)驗。另外還有圓的有關(guān)知識。

欠缺：在三角函數(shù)中，影響單位圓上點的坐標(biāo)變化因素較多，是“α”與“x，y直接對應(yīng)”，與學(xué)生已有經(jīng)驗距離較大，學(xué)生從聯(lián)系觀點看問題的經(jīng)驗不足。

（四）分析教學(xué)要素——重難點分析

教學(xué)重點分析：1.任意角三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)關(guān)系。2.利用圓的對稱性探究誘導(dǎo)公式，運用誘導(dǎo)公式進行簡單三角函數(shù)式的求值、化簡與恒等式的證明。3.利用圓的旋轉(zhuǎn)對稱性推導(dǎo)兩角差的余弦公式，兩角和與差的三角函數(shù)的其他公式與其內(nèi)在聯(lián)系。

教學(xué)難點分析：1.三角函數(shù)的定義方式的理解。2.發(fā)現(xiàn)圓的對稱性與三角函數(shù)的聯(lián)系。3.發(fā)現(xiàn)圓的旋轉(zhuǎn)對稱性與兩角和（差）余弦公式的聯(lián)系，認(rèn)識三角恒等變換的特點。

（五）分析教學(xué)要素——教材分析

與按照《標(biāo)準(zhǔn)（2003年版）》編寫教科書相比，該單元內(nèi)容有如下一些變化：1.三角函數(shù)的定義：直接從建立周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型出發(fā)，利用單位圓上點坐標(biāo)定義三角函數(shù)，然后再建立與銳角三角函數(shù)的聯(lián)系，刪除三角函數(shù)線；2.誘導(dǎo)公式：通過把圓的對稱性“代數(shù)化“，獲得誘導(dǎo)公式；3.三角恒等變換：一以貫之地強調(diào)單位圓的作用，利用圓的對稱性導(dǎo)出兩角差的余弦公式。

三、設(shè)計教學(xué)流程

下面以《三角函數(shù)的概念》為例，進行教學(xué)流程設(shè)計。

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引出主題

問題：已知摩天輪的中心離地面的高度為h0,它的直徑為2r，逆時針做勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動一周需要360秒，若現(xiàn)在你坐在座艙中，從初始位置點A出發(fā)，求相對于地面的高度h與時間t的函數(shù)解析式。

問題1：這種運動如何通過數(shù)學(xué)模型來刻畫？如果我們先從特殊情形入手。例如，過了20s后，此時人距離地面的高度是多少？

問題2：你能試著闡釋這個數(shù)學(xué)式子嗎？

問題3：隨著摩天輪的轉(zhuǎn)動，從銳角推廣到了任意角。如何定義任意角α？

設(shè)計意圖：通過實際問題引入任意角三角函數(shù)概念，突出研究問題的“周期性”特點，為給出三角函數(shù)的定義做好準(zhǔn)備。

（二）概念生成、理解定義

問題：當(dāng)點P在圓周上運動時，∠POA隨之變化，任一個∠POA，對應(yīng)著唯一點P，進而有唯一| |MP，得到能否用一個量去代使上述表示形式更簡單？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生將坐標(biāo)系引入到任意角三角函數(shù)的定義中。

以單位圓的圓心O為原點，以射線OA為x軸的非負(fù)半軸，建立直角坐標(biāo)系，點A的坐標(biāo)為（1，0），點P的坐標(biāo)為(x,y)。射線OA從x軸的非負(fù)半軸開始，繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α，終邊位置為OP。

（2）利用信息技術(shù)，任意畫一個角α，觀察終邊OP與單位圓的交點P的坐標(biāo)，有什么發(fā)現(xiàn)？

設(shè)計意圖：通過實例，由特殊到一般，使學(xué)生理解三角函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系。

問題（1）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系分別是什么？問題（2）符號sinα，cosα，tanα分別表示什么？以往的學(xué)習(xí)中有類似的引入特定符號表示一種量的經(jīng)歷嗎？問題（3）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義域分別是什么？

設(shè)計意圖：在“問題串”引導(dǎo)下，使學(xué)生明確三角函數(shù)的“三要素”，引導(dǎo)學(xué)生理解三角函數(shù)符號的意義。

問題：初中我們學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)。設(shè)x∈(0,)，把按銳角三角函數(shù)定義求得的銳角x的正弦記為z1，并把按本節(jié)三角函數(shù)定義求得的x的正弦記為y1。z1和y1相等嗎？對于余弦和正切也有相同的結(jié)論嗎？

設(shè)計意圖：建立銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)的聯(lián)系，讓學(xué)生體會兩個定義的和諧性。

（三）概念運用，典例示范

設(shè)計意圖：通過概念的簡單應(yīng)用，明確用定義求三角函數(shù)值的基本步驟。

例2，設(shè)α是一個任意角，它的終邊上任意一點P（不與原點O重合）的坐標(biāo)為(x,y)。點P與原點的距離為r。求證：sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x。

追問：例2給出了任意角三角函數(shù)的另外一種定義，而且這種定義與已知定義是等價的。你能用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言敘述一下這種定義嗎？

設(shè)計意圖：加強學(xué)生對三角函數(shù)定義的理解。

（四）及時反饋，目標(biāo)檢測

已知角θ的終邊過點P(-12,5),求角θ的三角函數(shù)值。

設(shè)計意圖：考查學(xué)生對三角函數(shù)定義的理解情況。

（五）小結(jié)提升，布置作業(yè)

作業(yè)：完成本節(jié)學(xué)案。

小結(jié)：讓學(xué)生回味本節(jié)課生成知識和應(yīng)用的方法,積累數(shù)學(xué)知識和活動經(jīng)驗。

四、分析教學(xué)資源

教師在本單元教學(xué)活動的實施過程中運用了GGB軟件。利用信息技術(shù)建立任意角、角的終邊與單位圓的交點、角的旋轉(zhuǎn)量、交點坐標(biāo)等之間的關(guān)聯(lián)，加強學(xué)生對單位圓上點的坐標(biāo)隨角（圓心角）變化而變化的直觀感受。

五、結(jié)語

單元教學(xué)評價標(biāo)準(zhǔn)有三點：一、全面了解學(xué)生單元數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的歷程和成效；二、發(fā)現(xiàn)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)潛能、激勵學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；三、對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“知識與技能”“過程與方法”“情感、態(tài)度與價值觀”進行全面評價。全面評價學(xué)生在本單元數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的學(xué)習(xí)態(tài)度、知識和技能掌握、數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展等情況。單元教學(xué)設(shè)計應(yīng)以立德樹人為根本任務(wù)，站在數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育高度下，以培養(yǎng)學(xué)生四基，提升四能為根本目的，做到把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，優(yōu)化課堂結(jié)構(gòu)。