周婷婷

摘 要：數(shù)列求和是高考考查的重點內(nèi)容之一，其中用錯位相減法求和是高頻考點，它要求學(xué)生具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)邏輯思維能力和較強的數(shù)學(xué)運算能力。然而我們學(xué)生最后得到的結(jié)果經(jīng)常出錯，在數(shù)列12分的大題里面，大部分學(xué)生得分都是在6、7分，很不理想。本文從一道錯位相減法求和的數(shù)列大題，進(jìn)行對該類題型的解法分析和研究，希望對廣大學(xué)生有所幫助。

關(guān)鍵詞：數(shù)列;求和;錯位相減

數(shù)列是出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)課程必修五課本的第二章內(nèi)容，數(shù)列是高考的必考內(nèi)容，其中數(shù)列求和是考查的重點和難點。高中階段對數(shù)列求和的方法主要有公式法（等差、等比數(shù)列求和公式）、分組求和法、倒序相加法、裂項相消法和錯位相減法等。其中錯位相減法最深受學(xué)生的“痛恨”，雖然此方法思路簡單，但是計算和化簡的過程繁瑣，要求學(xué)生具有很強的運算能力，以及具有清晰的解題邏輯思維能力。錯位相減法求和也是在考查學(xué)生的心理能力，考查我們學(xué)生能否在有限的時間里面快速的正確的完成。

以下我就圍繞一道利用錯位相減法求和的例題，根據(jù)班級學(xué)生出現(xiàn)的解題思路以及解法做進(jìn)一步的分析和總結(jié)。

題目：已知數(shù)列的通項公式，求數(shù)列的前項和.

分析：數(shù)列求和錯位相減法使用類型題：已知數(shù)列的通項公式;其中數(shù)列{}為等差數(shù)列，{}為等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和。在教材中的概念課推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和的公式就是用錯位相減法進(jìn)行推導(dǎo)的。

【解法一：】

解：

學(xué)生在用錯位相減法解題的時候，①、②式子容易寫出，易錯的地方是出現(xiàn)在兩式相減之后的計算和化簡。在上面的解法一中，①—②所得的式子里面，得出，這涉及到了等比數(shù)列的求和，學(xué)生如果在這里應(yīng)用等比數(shù)列的前n項和公式，

，那么共有（n-1）項進(jìn)行求和，其和代入公式應(yīng)為 ?????????，而我們

學(xué)生在這里的運算往往會欠缺項數(shù)問題的考慮，易錯成n項，直接計算出錯導(dǎo)致丟分。所以為了避免出現(xiàn)項數(shù)的錯誤，我們建議該步等比數(shù)列的求和可用另外一個公式：，這個公式用到了數(shù)列的首項和末項，而該等比數(shù)列的首項和末項在此

式子中容易得出，即：

其次，在①—②所得的式子里面，因為是錯位進(jìn)行相減，所以最后一項的相減應(yīng)為：，所以最后一項的符號應(yīng)為負(fù)，而我們學(xué)生也會易錯寫成加號。

錯位相減法求和是需要學(xué)生有很強的計算能力，然而如果按照解法一的方法做題，很多學(xué)生還是會很難接受，原因出現(xiàn)在了分式運算，這對于原本計算能力欠缺的學(xué)生真的是難上加難。所以我們可以進(jìn)一步思考研究，發(fā)現(xiàn)如果我們進(jìn)行錯位相減之前，能夠把原先的通項公式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃翁幚?，結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)認(rèn)知能力，處理成明顯的等差數(shù)列乘以等比數(shù)列的標(biāo)準(zhǔn)形式，即，這樣我們學(xué)生比較容易接受，因此出現(xiàn)了以下的解法二。

【解法二】

解：

①?-②得：

我們再進(jìn)一步的分析研究解法二發(fā)現(xiàn)，在①—②所得的式子

在解法二上，我們是直接對用了等比數(shù)列求和的公式運算。在這一步中如果在等式每邊進(jìn)行乘以2的運算，這樣可以得到等式：?，之后我們發(fā)現(xiàn)，也就是，我們可以拆寫成??，而1我們可以寫生，進(jìn)而在后面看似復(fù)雜的計算化簡中，我們進(jìn)而得出以下解法三。

【解法三】

解：

①-②得：

這道數(shù)列求和題中，三種解法本質(zhì)是一樣的，但是不同的解法體現(xiàn)不同的計算思維的方法，也體現(xiàn)出轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。所以我結(jié)合上述的三種寫法，在用錯位相減法進(jìn)行數(shù)列求和時，給出以下幾點做題建議：

1、熟知轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，并能靈活應(yīng)用。做題時需仔細(xì)審題，觀察題目適合哪種數(shù)列求和的方法，若求和類型不明顯，則觀察分析是否能夠轉(zhuǎn)變成我們熟悉的通解通法，這就是做題的突破口。同時也要求我們必須掌握利用錯位相減法求和適用的數(shù)列題型，即所求數(shù)列的通項公式為“等差×等比”的形式。當(dāng)所求數(shù)列的通項公式比較復(fù)雜時，我們可以先對通項公式進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕喿冃?，變成明顯的“等差×等比”的標(biāo)準(zhǔn)形式。例如;2017年天津卷（2）的高考數(shù)列題，由第一問可求得，第二問求數(shù)列的前n項和，在第二問中，我們可以做以下的化簡：

這樣靈活的處理化簡，轉(zhuǎn)化成熟悉的錯位相減法求和的類型題，學(xué)生易懂，計算也會不易出錯，解題效率和正確率都會有所提高。

計算時要仔細(xì)，不貪快。我們做題的時候，在平時計算的易錯點要特別小

心，不丟冤枉分。比如在兩個式子進(jìn)行相減時，錯位進(jìn)行相減后的最后一項的符號是負(fù)的，為了避免此處出錯，我們建議可以在第二個式子乘以公比之后錯開來寫，實則是“錯位”二字的體現(xiàn)，這樣兩個式子相減之后，上面式子和下面式子對應(yīng)項相見會一目了然。如：

使用恰當(dāng)?shù)牡缺葦?shù)列求和公式，會在計算上給我們降低錯誤率。在兩個式子進(jìn)行相減后，往往會得到一個等比數(shù)列的求和，如果我們使用等比數(shù)列求和的公式，公式中的指的是所求數(shù)列和的項數(shù)，而有些題目的項數(shù)并不明顯看出，學(xué)生做題時容易都當(dāng)成額求項和導(dǎo)致錯誤。所以為了避免出現(xiàn)項數(shù)錯誤，我建議可以選擇用公式：，該公式中的是該數(shù)列求和中的首項，指的是該數(shù)列求和的末項。比如：

在上面的式子圈出來的求和部分中，是一個等比數(shù)列求和，如果我們使用公式進(jìn)行求和，注意項數(shù)是第三項一直加到第項，共有項項進(jìn)行求和，結(jié)果為，然而我們學(xué)生容易在項數(shù)上出錯。如若我們使用公式求和，不需考慮項數(shù)問題，直接代入結(jié)果為，公式中的和可以直接從式子中看出。

4、在兩個式子相見之后的計算中，我們也可以先觀察是否有些項可以通過拆分，或者進(jìn)行添項、減項，進(jìn)而得到恰好構(gòu)成n項的等比數(shù)列求和。如果可以，則會使我們的接下去的解題計算更加簡便，也更加方便我們運用等比數(shù)列求和公式，同時還會避免了上述第三點意見中的使用恰當(dāng)?shù)牡缺葦?shù)列求和公式的選擇。

參考文獻(xiàn)：

[1]涂榮豹，王光明，寧連華.新編數(shù)學(xué)教學(xué)論[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2006.173—187.

[2]（美）G.波利亞.怎樣解題[M].涂泓，馮承天譯，上海：上海教育出版社，2007.29—32.

[3]周丹.關(guān)于數(shù)列求和方法的探究式教學(xué)設(shè)計（J）.科教文匯（下旬刊）.2015（06）.

[4]魏立偉.幾種特殊數(shù)列求和的方法和技巧（J）.學(xué)周刊.2014（31）