李嬋

【摘 要】本文應(yīng)用 APOS 理論，從操作、過(guò)程、對(duì)象、圖式四個(gè)階段分別就導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)進(jìn)行闡述，并結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，指出了各個(gè)階段容易出現(xiàn)的問(wèn)題。

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)APOS理論 概念教學(xué)

【中圖分類(lèi)號(hào)】G ?【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2019）08B-0112-03

數(shù)學(xué)概念是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基石，更是數(shù)學(xué)思想與方法的載體，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要的地位。而作為高中微積分章節(jié)的核心概念，導(dǎo)數(shù)概念是學(xué)生初次接觸的并且較為抽象的概念，有不少學(xué)生很難區(qū)別變化率與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義認(rèn)識(shí)不透徹。然而以建構(gòu)主義理論為基礎(chǔ)的 APOS 理論更加注重學(xué)生的主體地位，更加注重知識(shí)探究的形成過(guò)程，因此，如何基于 APOS 理論下探究高中數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)策略，讓學(xué)生真正理解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)質(zhì)具有重要的意義。

一、APOS 理論下導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)策略

為了讓學(xué)生自己建構(gòu)導(dǎo)數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)質(zhì)，在教學(xué)過(guò)程中需要分為以下四個(gè)階段來(lái)完成。

（一）操作階段

為了讓學(xué)生初步感受概念的科學(xué)性，對(duì)概念有一個(gè)初步的理解，教師應(yīng)以學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平為出發(fā)，將學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)結(jié)合起來(lái)，適當(dāng)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，很自然地實(shí)現(xiàn)相關(guān)知識(shí)的遷移。在這一階段中，教師的主要作用是創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，注意問(wèn)題是否符合學(xué)生的認(rèn)知水平。值得說(shuō)明的是，教師不能因該階段簡(jiǎn)單而忽視該階段的學(xué)習(xí)，而應(yīng)有耐心地引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移，讓學(xué)生自己去感受概念的合理性。

例如，在導(dǎo)數(shù)概念問(wèn)題情境創(chuàng)設(shè)中，筆者以學(xué)生日常生活中所見(jiàn)到的吹氣球現(xiàn)象為出發(fā)點(diǎn)，要求學(xué)生描述氣球內(nèi)空氣容量增加與氣球半徑大小之間的關(guān)系，體會(huì)隨著體積的增大，半徑增加越來(lái)越慢，揭示出氣球膨脹的本質(zhì)變化。然后，以汽車(chē)的速度為例，引導(dǎo)學(xué)生將教學(xué)重點(diǎn)由平均速度向瞬時(shí)速度轉(zhuǎn)變，從 ?t 大于 0 和 ?t 小于 0 兩個(gè)方面入手，選取一些具體數(shù)值體會(huì)無(wú)限逼近的思想，認(rèn)識(shí)當(dāng) t 不斷趨近 0 時(shí)，平均速度將趨近于一個(gè)固定值，讓學(xué)生感受導(dǎo)數(shù)概念產(chǎn)生的合理性。最后，從學(xué)生已有的認(rèn)知—— 割線入手，探究一條曲線上，任取一個(gè)固定點(diǎn)，在其固定點(diǎn)周?chē)S機(jī)取一些移動(dòng)點(diǎn)，讓移動(dòng)點(diǎn)不斷趨向這一固定點(diǎn)，觀察割線的變化趨勢(shì)，并引導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)出割線斜率的一般式，即 。

（二）過(guò)程階段

操作階段只是一個(gè)外部刺激，而概念的形成還要依靠學(xué)生自己去建構(gòu)。在過(guò)程階段，教師應(yīng)設(shè)置一些問(wèn)題來(lái)探究，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)操縱階段的對(duì)象再次進(jìn)行分析和反思，總結(jié)其共同特征和屬性，在大腦中形成一個(gè)完整的認(rèn)識(shí)。然后，組織成為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將相關(guān)概念所描述的內(nèi)容精煉地表達(dá)出來(lái)。在這一階段中，教師的主要作用是不斷提出問(wèn)題，進(jìn)行啟發(fā)，并引導(dǎo)學(xué)生對(duì)新舊知識(shí)進(jìn)行比較。

例如，通過(guò)前面操作階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)對(duì)平均膨脹率、平均速度有了深刻的認(rèn)識(shí)，深刻理解了瞬時(shí)速度的實(shí)質(zhì)，發(fā)現(xiàn)趨近后確定的值就是瞬時(shí)速度，并引出瞬時(shí)速度這一抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)。然后，按照由特殊到一般的原則，總結(jié)以上問(wèn)題的特征和屬性，理解某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度如何表示和求解，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的瞬時(shí)變化率該如何表示，最終將導(dǎo)數(shù)概念與其函數(shù)的瞬時(shí)變化率結(jié)合起來(lái)，從而認(rèn)識(shí)導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)質(zhì)。

同時(shí)，在理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義時(shí)，繼續(xù)觀察曲線上某一點(diǎn)割線的變化趨勢(shì)，通過(guò)對(duì)割線斜率數(shù)學(xué)表達(dá)式的抽象，觀察總結(jié)出當(dāng) ?t→0 時(shí)，其割線的斜率就會(huì)趨近在切線的斜率上，進(jìn)而將切線的斜率與導(dǎo)數(shù)的概念結(jié)合起來(lái)，初步形成導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是該點(diǎn)切線的斜率。

（三）對(duì)象階段

上述所獲得的概念是通過(guò)對(duì)過(guò)程的總結(jié)而獲得的，但這樣所獲得概念抽象性較強(qiáng)，必須實(shí)現(xiàn)由過(guò)程向?qū)ο蟮霓D(zhuǎn)化，必須將所獲得概念作為一個(gè)整體去理解。為了實(shí)現(xiàn)概念由之前的動(dòng)態(tài)步驟轉(zhuǎn)變?yōu)殪o態(tài)的結(jié)構(gòu)存儲(chǔ)，需要教師組織學(xué)生反復(fù)對(duì)上述前兩個(gè)階段進(jìn)行思考，對(duì)其概念再次進(jìn)行補(bǔ)充說(shuō)明和細(xì)節(jié)上的辨析，多方面地理解概念。值得一提的是，雖然經(jīng)過(guò)了細(xì)致的引導(dǎo)和具體的實(shí)例，但還是有相當(dāng)數(shù)量的學(xué)生難以接受這個(gè)概念，此時(shí)，教師可以組織學(xué)生通過(guò)一些具體的習(xí)題練習(xí)、對(duì)象建立示范等方式以達(dá)到深刻理解概念的目的。

例如，經(jīng)過(guò)過(guò)程階段，學(xué)生已經(jīng)獲得了相關(guān)的概念，但對(duì)平均膨脹率、平均速度的理解仍然較為抽象，平均膨脹率、平均速度到底是誰(shuí)與誰(shuí)的比值，進(jìn)而通過(guò)類(lèi)比得出函數(shù)中平均變化率就是函數(shù)值的增量與自變量增量的比值，即 ，顯然，若 ?x 是 x1 的增量，那么 f（x2）=f（x1+?x），并且要求學(xué)生從函數(shù)圖象上理解平均變化率的意義。

同時(shí)，再次組織學(xué)生思考瞬時(shí)速度、瞬時(shí)變化率的求解步驟和求解過(guò)程，認(rèn)清 ?x 是如何趨近于 0 的，?x 能否直接等于 0，?y 是否可以等于 0，以前所學(xué)問(wèn)題中哪些地方可以發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)，并且要使函數(shù)在 x0 處有導(dǎo)數(shù)，就必須使這個(gè)函數(shù)在 x0 處有意義，并運(yùn)用所學(xué)知識(shí)書(shū)寫(xiě)出 x0 處的導(dǎo)數(shù)形式，即 。

此外，經(jīng)過(guò)上述階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生已近知道了導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是切線的斜率，但此時(shí)僅是單純的記憶，并沒(méi)有在學(xué)生大腦中留下深刻的印象，此時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考此時(shí)的切線是否是以前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)的切線，兩者之間有什么關(guān)系，割線的變化趨勢(shì)反映到具體數(shù)學(xué)式子上該是什么，并通過(guò)設(shè)置問(wèn)題、數(shù)形結(jié)合、思考割線的變化趨勢(shì)等方式理解此處切線的實(shí)質(zhì)，深刻體會(huì)微積分中以直代曲、應(yīng)用簡(jiǎn)單的對(duì)象刻畫(huà)復(fù)雜對(duì)象的重要思想，進(jìn)而理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

（四）圖式階段

雖然經(jīng)過(guò)上述過(guò)程的探究已經(jīng)揭示了其對(duì)象的本質(zhì)屬性，但在聯(lián)系其他概念和法則時(shí)往往會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)誤，因此，教師還應(yīng)排除干擾，不斷幫助學(xué)生完善自己的知識(shí)框架，建立學(xué)生自己的綜合性知識(shí)框架。在具體實(shí)踐中，一方面需要建立概念縱向框架，主要包括概念的外延和內(nèi)涵;另一方面，需要建立概念橫向框架，主要包括該概念與其他概念之間的區(qū)別與聯(lián)系。并且，隨著學(xué)習(xí)的不斷深入，不斷完善自己已經(jīng)建立的知識(shí)圖式。

例如，為了使概念形成的綜合圖式更加穩(wěn)定，教師應(yīng)設(shè)置一些具體事例，要求學(xué)生探究出函數(shù)在某一段上的平均變化率。如圖 1 是甲乙企業(yè)在規(guī)定的排污達(dá)標(biāo)日期之前的治污效果連續(xù)檢測(cè)結(jié)果圖，試從圖中兩條曲線去分析哪個(gè)企業(yè)的治理污染的效率較高，并說(shuō)明你的理由。并且要求學(xué)生以平均變化率的實(shí)質(zhì)與其幾何意義是什么、平均變化率的概念是怎么獲得的、你還能列舉那些以 平均變化率為主題的生活現(xiàn)象等問(wèn)題進(jìn)行反思，要求學(xué)生以小組交流的方式讓學(xué)生踴躍發(fā)言，通過(guò)以上這些實(shí)際問(wèn)題和問(wèn)題反思從而有效鞏固平均變化率的概念，幫助學(xué)生形成心理圖式。

同時(shí)，在導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)中，此階段可以通過(guò)設(shè)置一些例題，有效練習(xí)計(jì)算瞬時(shí)變化率，還可以運(yùn)用導(dǎo)數(shù)定義的變式解決實(shí)際問(wèn)題，建立基本的心理圖式，從而理解導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì)。例如，。

此外，對(duì)于導(dǎo)數(shù)的幾何意義，教師應(yīng)結(jié)合圖形深入分析某些時(shí)刻瞬時(shí)變化率，還可以就容易混淆和出錯(cuò)的題目進(jìn)行本質(zhì)上的區(qū)別，有效比較概念的橫向和縱向框架，使對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的理解實(shí)現(xiàn)思維上升華，從而形成完整的心理圖式。例如，為了讓學(xué)生辨析在某一點(diǎn)處的切線方程和過(guò)一點(diǎn)處的切線方程，筆者設(shè)置了如下題目，并要求學(xué)生思考曲線的切線是怎么來(lái)的，割線的斜率和切線的斜率之間存在什么樣的關(guān)系。

已知曲線 f（x）=x2+1，試求在點(diǎn) P（1，2）處的切線方程。

二、APOS 理論下高中導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)應(yīng)注意的事項(xiàng)

經(jīng)過(guò)了操作、過(guò)程、對(duì)象、圖式四個(gè)階段之后，學(xué)生會(huì)對(duì)高中導(dǎo)數(shù)概念建立一個(gè)層層遞進(jìn)認(rèn)識(shí)的過(guò)程，但 APOS 理論下的高中導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)不是一蹴而就的，需要教師在具體教學(xué)實(shí)踐中不斷加以完善?；?APOS 理論下開(kāi)展高中導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)應(yīng)注意幾個(gè)方面的問(wèn)題：

1.從操作到過(guò)程階段中，一些學(xué)生表面上看似理解了概念的本質(zhì)與屬性，但在面對(duì)一些變式題目時(shí)，仍然停留在模仿階段，并沒(méi)有進(jìn)行積極的思考，對(duì)無(wú)限逼近的數(shù)學(xué)思想、瞬時(shí)變化率還沒(méi)有達(dá)到真正掌握的程度，從具體問(wèn)題到抽象的數(shù)學(xué)概念之間沒(méi)有形成很好的轉(zhuǎn)變，因此，教師應(yīng)充分了解學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平，注重由實(shí)際問(wèn)題背景引出導(dǎo)數(shù)概念。

2.從過(guò)程到對(duì)象階段中，學(xué)生過(guò)多地關(guān)注導(dǎo)數(shù)概念數(shù)學(xué)表達(dá)式的右半部分，而忽視了導(dǎo)數(shù)概念數(shù)學(xué)表達(dá)式的左半部分，以至于對(duì)于 ?無(wú)法正確解答，可見(jiàn)學(xué)生對(duì)于對(duì)象的建立還有欠缺，因此，教師應(yīng)做好概念的整體把握，實(shí)現(xiàn)知識(shí)與思維真正的升華。

3.從對(duì)象到圖式階段中，學(xué)生在剛學(xué)知識(shí)后能夠有效解決相關(guān)問(wèn)題，但隨著時(shí)間的推移，原有已理解的問(wèn)題卻不能高效應(yīng)對(duì)。究其緣由是學(xué)生沒(méi)有形成綜合圖式，或者是只是處于初級(jí)圖式階段，因此，教師應(yīng)深刻關(guān)注和思考學(xué)生的綜合圖式，通過(guò)一些相關(guān)練習(xí)題目或?qū)ｎ}講座等形式促使學(xué)生形成比較穩(wěn)定的綜合圖式。

4.概念的學(xué)習(xí)過(guò)程是思維不斷升華，不斷提高的一個(gè)過(guò)程，而導(dǎo)數(shù)概念的建立需要經(jīng)過(guò)反復(fù)甚至來(lái)回跳躍才能形成圖式，有時(shí)還會(huì)存在不能確定屬于某一階段的情況。因此，教師應(yīng)采用反復(fù)建構(gòu)、螺旋上升的方式進(jìn)行概念教學(xué)，這在一定程度上也很好體現(xiàn)了 APOS 理論對(duì)概念的建構(gòu)思想與理論。

綜上所述，基于 APOS 理論下的高中數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)讓課堂由原來(lái)教師的教變?yōu)閷W(xué)生主動(dòng)的建構(gòu)，有效引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對(duì)概念圖示的建構(gòu)，符合高中學(xué)生的心理發(fā)展特點(diǎn)與認(rèn)知水平。我們相信，隨著 APOS 理論下高中數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)的不斷完善，一定能夠幫助學(xué)生更好地理解所學(xué)知識(shí)，一定能夠培養(yǎng)出學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維。

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（責(zé)編 盧建龍）