【摘 要】 筆者曾在文獻(xiàn)中提出高中數(shù)學(xué)教學(xué)永遠(yuǎn)要做好的四個(gè)關(guān)鍵詞：夯實(shí)基礎(chǔ);激發(fā)興趣;著眼高考;適當(dāng)提高.但均未作詳細(xì)闡述，本文續(xù)之.重點(diǎn)闡述“適當(dāng)提高”.

【關(guān)鍵詞】 高中數(shù)學(xué)教與學(xué);關(guān)鍵詞;夯實(shí)基礎(chǔ);激發(fā)興趣;著眼高考;適當(dāng)提高

筆者曾在文獻(xiàn)[1]，[2]，[3]（后者曾被《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》2016（10）全文轉(zhuǎn)載）的文末均寫到高中數(shù)學(xué)教學(xué)永遠(yuǎn)要做好的四個(gè)關(guān)鍵詞：夯實(shí)基礎(chǔ)、激發(fā)興趣、著眼高考、適當(dāng)提高.

但均未作詳細(xì)闡述，本文續(xù)之.

1 夯實(shí)基礎(chǔ)

因?yàn)槊糠輸?shù)學(xué)試卷（包括隨堂測、周測、月考、期中考試、期末考試、分班考試、高考等等）中的基礎(chǔ)題（包括簡單題和中檔題）往往要占80%以上，難題（即拔高題）往往控制在20%以下，所以高中數(shù)學(xué)的教與學(xué)（包括老師的教與學(xué)生的學(xué)）應(yīng)做到的第一個(gè)關(guān)鍵詞是“夯實(shí)基礎(chǔ)”.

夯實(shí)基礎(chǔ)，是后續(xù)學(xué)習(xí)新知識(shí)的前提.在考試中也可以先拿到試卷的絕大部分分?jǐn)?shù)，同時(shí)還為解答試卷中的難題贏得了寶貴的時(shí)間，比如層層設(shè)問的解答題.

題1 （2016年高考全國卷Ⅰ文科第21題）已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2.

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

（2）若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

分析 （1）可得f′（x）=（x-1）ex+2a（x-1）=（x-1）（ex+2a）.

令f′（x）=0，得x=ln（-2a）或1.

因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)a<0時(shí)ln（-2a）才有意義，所以須分a<0和a≥0兩類情形來討論.當(dāng)a<0時(shí)，ln（-2a）才有意義，接下來還須分ln（-2a）>1，ln（-2a）=1，ln（-2a）<1（即a<-e2，a=-e2，-e2>

（2）為了得到函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，就需要知道其圖象的形狀，還需要知道函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而由第（1）問的分類討論標(biāo)準(zhǔn)可確立第（2）問的分類討論標(biāo)準(zhǔn)：分a<-e2，a=-e2，-e2>0這五種情形討論（因?yàn)楹髢煞N情形f（x）的單調(diào)區(qū)間不同，所以這兩種情況須分開討論）.

解略.

注 考生若正確完成了第（1）問（夯實(shí)基礎(chǔ)），則第（2）問的解答也會(huì)順理成章.

2 激發(fā)興趣

高中數(shù)學(xué)的教與學(xué)對(duì)于師生均不是難受的事，反而是很快樂的.弄清了一個(gè)概念、會(huì)證明甚至?xí)\(yùn)用一個(gè)定理、對(duì)一道基礎(chǔ)題達(dá)到了融會(huì)貫通的地步（見下面的題2）;一道稍難的題目，通過自己冥思苦想（包括與同學(xué)交流、討論，甚至是請教先生，求助網(wǎng)絡(luò)），最終頓悟出了其解法（見下面的題3）;這道不太難的題目，自己想到了一種奇妙的解法（可能周圍的同學(xué)都很難想到）（見下面的題4）;這道題目，周圍同學(xué)（甚至包括我的老師）的解法可能都是那種流行的錯(cuò)誤解法，而我抓住了本質(zhì)，獲得了正確解法（見下面的題5）;這道很有挑戰(zhàn)性的題目，我想了一個(gè)多月還沒有任何進(jìn)展，但我一直會(huì)思考下去（因?yàn)橐粋€(gè)人應(yīng)當(dāng)至少有一件一生都做不完但一生都在認(rèn)真做的事）;……這些都激發(fā)了我學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的強(qiáng)烈興趣，我真正體會(huì)到了“興趣是最好的老師”.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，本應(yīng)該不是枯燥乃至備受煎熬的事：今天要是沒有數(shù)學(xué)課該多好，今天要是沒有數(shù)學(xué)作業(yè)該多好，明天就高考該多好（好像我們?nèi)嗤瑢W(xué)都不會(huì)，所以我不會(huì)也沒關(guān)系呀）.這些想法都不對(duì)，數(shù)學(xué)是一切科學(xué)的基礎(chǔ)，必須學(xué)好！通過自己的勤奮努力和老師的幫助，也一定能把數(shù)學(xué)學(xué)好.等到高考時(shí)，我們班的同學(xué)都能考出理想的分?jǐn)?shù)，并且同學(xué)與同學(xué)、與老師、與學(xué)校之間難舍難分，還有這樣的想法：如果高考能向后推遲一段時(shí)間（哪怕是一兩天，或一兩個(gè)小時(shí)），我們?nèi)嗤瑢W(xué)一定都會(huì)考得更好！所以說，高中數(shù)學(xué)的教與學(xué)的第二個(gè)關(guān)鍵詞是——“激發(fā)興趣”.

題2 （2009年高考遼寧卷理科數(shù)學(xué)第8題）已知函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）的圖象如圖1所示，f（π2）=-23，則f（0）=（）.

A.-23 B.23 C.-12 D.12

流行解法 由函數(shù)f（x）的圖象可知其最小正周期為2π3，于是f（0）=f（2π3）.又注意到點(diǎn)（2π3，f（2π3））與點(diǎn)（π2，f（π2））關(guān)于點(diǎn)（7π12，f（7π12））對(duì)稱，所以f（2π3）=-f（π2）=23.

對(duì)題2及其流行解法的分析 流行解法很簡潔，但考生在考場上難以用對(duì)稱作答.實(shí)際上，該題的自然解法是函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）圖象的“五點(diǎn)法”.

解法1 可得T=2（11π12-7π12）=2π3=2πω，ω=3.

由“五點(diǎn)法”知，3·7π12+φ=2kπ+3π2（k∈Z），φ=2kπ-π4（k∈Z），f（x）=Acos（3x-π4）.

再由f（π2）=-23，可得A=223.所以f（x）=223cos（3x-π4），f（0）=23.

解法2 也可設(shè)f（x）=Asin（ω′x+φ′），由“五點(diǎn)法”可求得f（x）=223sin（3x+π4），所以f（0）=23.

題3 若x2ex-2lnx-kx≥1恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

.

解 設(shè)f（x）=x2ex-2lnx-x，可得f′（x）=x（x+2）（ex-1x2）（x>0）.因?yàn)閒′（x）是增函數(shù)且連續(xù)，f′（12）=12·52（e-4）<0，f′（1）=1·3（e-1）>0，所以f′（x）有唯一的零點(diǎn)（設(shè)為x0），進(jìn)而可得f′（x0）=0，即ex0=1x20.所以f（x）min=f（x0）=x20ex0+ln1x20-x0=1+lnex0-x0=1.進(jìn)而可得：當(dāng)k≤1時(shí)滿足題設(shè);當(dāng)k>1時(shí)不滿足題設(shè)，因?yàn)閤=x0>0，x20ex0-2lnx0-kx0

綜上所述，可得所求答案是（-∞，1].

注 老師應(yīng)當(dāng)如何給學(xué)生講解這道題呢？這就需要知道這道題的編擬過程.可以設(shè)想，編題者的初始想法是：尋找正常數(shù)k0，使得函數(shù)g（x）=x2ex-2lnx-k0x滿足g（x）min=1.這樣，由“先充分后必要”的方法便可得出所求實(shí)數(shù)的取值范圍是（-∞，k0].可得g′（x）=x（x+2）ex-k0x+2x（x>0）.欲求g（x）min，須解方程g′（x）=0，而這不可能完成.但我們可設(shè)想g′（x）能提出公因式，自然會(huì)想到令k0=1，進(jìn)而可得，當(dāng)k0=1時(shí)，g′（x）=x（x+2）（ex-1x2）（x>0），……從而可得上述解法.

還可得出該題的一般情形：

（1）函數(shù)f（x）=x2ex-2klnx-kx（k是已知的正常數(shù)）的最小值是k（1-lnk）;

（2）函數(shù)f（x）=x2ex-2klnx-mx≥k（k是已知的正常數(shù)）恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，k].

題4 （2009年高考湖北卷理科第19（2）題）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=-an-12n-1+2（n為正整數(shù)），令cn=n+1nan，Tn=c1+c2+…+cn，試比較Tn與5n2n+1的大小，并予以證明.

參考答案 先求出an，再求出cn，用錯(cuò)位相減法求出Tn，……

對(duì)題4參考答案的分析 這道高考題及其解答均常規(guī)自然，老師能否再來點(diǎn)“歲歲年年解不同”呢？

可得an=n2n，Tn=2×12+3×122+4×123+…+（n+1）12n，所以T1=1<5×12×1+1，T2=74><5×22×2+1，T3=94>5×32×3+1.

當(dāng)n≥4時(shí)，Tn≥2×12+3×122+4×123+5×124=4116>4016=52>5n2n+1.

所以當(dāng)n=1，2時(shí)，Tn<5n2n+1;

當(dāng)n≥3時(shí)，Tn>5n2n+1.

我們再來分析產(chǎn)生這種簡解的原因：Tn=3-n+32n，limn→SymboleB@Tn=limn→SymboleB@（3-n+32n）=3>52=limn→SymboleB@5n2n+1，說明當(dāng)n→SymboleB@時(shí)，Tn→3，所以取Tn=2×12+3×122+4×123+…+（n+1）12n中的前若干項(xiàng)的和就可大于52，因而出現(xiàn)了上面的簡潔證法.

所以，可將此問作如下改動(dòng)：試比較Tn與6n2n+1的大小，并予以證明.

參考答案 因?yàn)門n=3-n+32n，6n2n+1=3-32n+1，所以只需比較n+32n與32n+1的大小.

當(dāng)n=1，2，3，4時(shí)，可得n+32n>32n+1;

下證當(dāng)n≥5時(shí)，n+32n<32n+1，即證2n2+7n+3<3×2n，這用數(shù)學(xué)歸納法極易獲證，下面用二項(xiàng)式定理來證：

2n=（1+1）n≥C0n+C1n+C2n+Cn-2n+Cn-1n+Cnn=21+n+n（n-1）2=n2+n+2.

所以只需證明2n2+7n+3<3（n2+n+2），即（n-1）（n-3）>0，這由n≥5立得.

所以當(dāng)n=1，2，3，4時(shí)，Tn<6n2n+1;

當(dāng)n≥5時(shí)，Tn>6n2n+1.

（因?yàn)閘imn→SymboleB@Tn=limn→SymboleB@（3-n+32n）=3=limn→SymboleB@6n2n+1，所以不會(huì)出現(xiàn)取Tn=2×12+3×122+4×123+…+（n+1）12n中的前若干項(xiàng)的和就可大于3，又由3>6n2n+1獲得上面的簡證的情形.）

題5 甲同學(xué)看到自己帶的電子表現(xiàn)在顯示的時(shí)間是7∶31，隔了一會(huì)兒（不會(huì)超過2h），電子表顯示的時(shí)間是7∶32，則這段時(shí)間間隔（）（單位：min）.

A.是1 B.是2

C.在區(qū)間（0，1）上D.在區(qū)間（0，2）上

這是我班一位同學(xué)（即將讀大學(xué)一年級(jí)）學(xué)習(xí)普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)5·必修·A版》（人民教育出版社，2007年第3版）第80-83頁“3.1 不等關(guān)系與不等式”后，自己編擬的一道題，源于生活，卻很少有人會(huì)（能）提煉出這樣的數(shù)學(xué)題.

粗看，會(huì)選A;再一看，可能會(huì)選B或C，深入思考后，才能得出正確答案是D.

設(shè)兩次的時(shí)刻分別是t1，t2，由題設(shè)可得7∶31≤t1<7∶32，7∶32≤t2<7∶33，所以7∶32≤t2<7∶33，-7∶32<-t1≤-7∶31，把它們相加，得0

3 著眼高考

高中數(shù)學(xué)的教與學(xué)，包括高考復(fù)習(xí)備考，是有章可循的，應(yīng)當(dāng)按規(guī)律辦事，做到實(shí)事求是，不可盲目拔高，絕不能一味的上難題.

一般來說，應(yīng)當(dāng)先把基礎(chǔ)題、簡單題做會(huì)了，再做中檔題和難題、綜合題;若難題、綜合題已經(jīng)掌握得很好了，就沒必要再去做很基礎(chǔ)的題目（要做的話，可隔一段時(shí)間再做，以起到保溫復(fù)習(xí)的作用）.

數(shù)學(xué)教學(xué)（包括給學(xué)生布置作業(yè)），不可“深一腳淺一腳的”，老師講題和給學(xué)生布置作業(yè)，都要循序漸進(jìn)的做好歸類.比如，高三老師在復(fù)習(xí)“三角函數(shù)”這部分內(nèi)容時(shí)，可以按下面的順序講解即可：

（1）求函數(shù)y=asinx+bcosx（ab≠0）的最值：化為y=Asin（ωx+φ）.

（2）關(guān)于sinx（或cosx）的二次型：用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題.

（3）關(guān)于sinx（或cosx）的高次式：換元后用導(dǎo)數(shù)求解或直接用導(dǎo)數(shù)求解.

這樣講解，效果一定會(huì)更好！

另外，高中數(shù)學(xué)的教與學(xué)要注重通性通法，淡化特殊技巧，因?yàn)樘厥饧记呻y以遷移到別的問題中去.絕大多數(shù)高考題（包括壓軸題）的解法，也都是遵從“通性通法”的解題規(guī)律，這與競賽題（特別是高級(jí)別的競賽，比如全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試、CMO、IMO等）有很大區(qū)別，后者多是“一題一法”，有的就是數(shù)學(xué)家研究問題的中間結(jié)論.2008年高考江西卷理科第22題源于2004年第4屆中國西部數(shù)學(xué)奧林匹克競賽第二天第4題，難度極大，得分率也可想而知.如果沒有競賽功底，而去冒然挺進(jìn)這樣的高考題，一定得不償失，性價(jià)比很低.

當(dāng)然，也不排除有些高考題的背景就是世界名題[4]，解法也沒有很強(qiáng)的通性通法，但這畢竟不是高中數(shù)學(xué)教與學(xué)的主流，即使解決它們也要等學(xué)生解題能力達(dá)到一定高度之時(shí).

因而，高中數(shù)學(xué)的教與學(xué)的第三個(gè)關(guān)鍵詞是“著眼高考”.

4 適當(dāng)提高

下面著重談?wù)劯咧袛?shù)學(xué)的教與學(xué)的第四個(gè)關(guān)鍵詞“適當(dāng)提高”.

題6 （2015年高考北京卷理科第18題）已知函數(shù)f（x）=ln1+x1-x.

（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程;

（2）求證：當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）>2（x+x33）;

（3）設(shè)實(shí)數(shù)k使得f（x）>k（x+x33）對(duì)x∈（0，1）恒成立，求k的最大值.

解 （1）因?yàn)閒（x）=ln（1+x）-ln（1-x），所以f′（x）=11+x+11-x，f′（0）=2.

又因?yàn)閒（0）=0，所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=2x.

（2）（3）略.

筆者的分析 若考生沒有發(fā)現(xiàn)恒等變形“f（x）=ln（1+x）-ln（1-x）”，那就只能按照復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則來解答：f′（x）=11+x1-x（1+x1-x）′=1-x1+x·2（1-x）2=21-x2，……接下來的解答一定能順利完成！

在近幾年的高考理科數(shù)學(xué)考試說明中一直都有“能求簡單的復(fù)合函數(shù)（僅限于形如f（ax+b）的復(fù)合函數(shù)）的導(dǎo)數(shù)”的敘述，上面給出的題6的解法突破了此“考試說明”，但這種教學(xué)及解題也是可以的，考生可以繼續(xù)作答，并且沒有用到超綱的內(nèi)容和方法（只用到了復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則呀）.

題7 （2013年高考新課標(biāo)卷Ⅰ理科第16題）若函數(shù)f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的圖象關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，則f（x）的最大值為

.

解法1 由f′（x）=-4x3-3ax2+2（1-b）x+a，多項(xiàng)式函數(shù)f（x）在R上可導(dǎo)，且關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，可得f′（-2）=0，11a-4b=28.

又由f（0）=f（-4），可得15a-4b=60.

解得a=8，b=15，所以f（x）=（1-x2）（x2+8x+15），f′（x）=-4（x3+6x2+7x-2）.

由-2是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，可得f′（x）=-4（x+2）（x+2-55）.

所以當(dāng)x∈（-∞，-2-5）時(shí)，f（x）單調(diào)遞增;當(dāng)x∈（-2-5，-2）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減;當(dāng)x∈（-2，-2+5時(shí)，f（x）單調(diào)遞增;當(dāng)x∈（-2+5，+∞）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減.

又由函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，得f（-2+5）=f（-2-5），所以f（x）max=f（-2+5）=（45-8）（45+8）=80-64=16.

解法2 由f（-x）=f（x-4）恒成立，可得f（-3）=f（-1）=0，f（-5）=f（1）=0，所以f（x）=（1-x2）（x+3）（x+5）=-（x-1）（x+5）（x+3）（x+1）=-（x2+4x-5）（x2+4x+3）=-（x2+4x-5）（x2+4x+3）=-[（x2+4x-1）-4][（x2+4x-1）+4]=16-（x2+4x-1）2.

進(jìn)而可得得當(dāng)且僅當(dāng)x2+4x-1=0即x=-2±5時(shí)，f（x）max=16.

筆者的分析 在近幾年的高考文科、理科數(shù)學(xué)考試說明中一直都有“了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次）”的敘述，解答2017年高考全國卷Ⅰ理科第16題須五次多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解答2015年高考天津卷文科第20（1）題須四次多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù).題7這道高考題是求四次多項(xiàng)式的最值問題.

雖說解法2及其他多種解法均可不用四次多項(xiàng)式的求導(dǎo)，但考生均不易想到（因?yàn)榻滩臎]有系統(tǒng)講述過多項(xiàng)式的知識(shí)，所以考生對(duì)多項(xiàng)式的知識(shí)幾乎一無所知，比如因式定理、韋達(dá)定理、公因式、公倍式、帶余除法等等）.所以，在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)“適當(dāng)提高”，不可“不越雷池一步”.在不過分地加重教學(xué)負(fù)擔(dān)的前提下，就要“適當(dāng)提高”.解法1用到了四次多項(xiàng)式的求導(dǎo)，但可保證考生順利完成解答全過程.高考命題專家一定知曉考試說明中的“多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次”，但此題絕妙不可多得，所以在取舍的徘徊中還是保留下來了.

題8 （2015年高考北京卷文科第17題）某超市隨機(jī)選取1000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計(jì)表，其中“√”表示購買，“×”表示未購買.

（1）估計(jì)顧客同時(shí)購買乙和丙的概率;

（2）估計(jì)顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購買3種商品的概率;

（3）如果顧客購買了甲，則該顧客同時(shí)購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？

解 （1）從統(tǒng)計(jì)表可以看出，在這1000位顧客中有200位顧客同時(shí)購買了乙和丙，所以顧客同時(shí)購買乙和丙的概率可以估計(jì)為2001000=0.2.

（2）從統(tǒng)計(jì)表可以看出，在這1000位顧客中，有100位顧客同時(shí)購買了甲、丙、丁，另有200位顧客同時(shí)購買了甲、乙、丙，其他顧客最多購買了2種商品.所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購買3種商品的概率可以估計(jì)為100+2001000=0.3.

（3）（參考答案）與（1）同理，可得

顧客同時(shí)購買甲和乙的概率可以估計(jì)為2001000=0.2;

顧客同時(shí)購買甲和丙的概率可以估計(jì)為100+200+3001000=0.6;

顧客同時(shí)購買甲和丁的概率可以估計(jì)為1001000=0.1.所以，如果顧客購買了甲，則該顧客同時(shí)購買丙的可能性最大.

（3）的另解 顧客購買了甲的同時(shí)又購買乙、丙、丁的概率分別是

2001000-（217+98）=200685，100+200+3001000-（217+98）=600685，1001000-（217+98）=100685.

又因?yàn)?00685>200685>100685，所以，如果顧客購買了甲，則該顧客同時(shí)購買丙的可能性最大.

（3）的再解 設(shè)顧客購買甲、乙、丙、丁分別為事件A，B，C，D，由題設(shè)可得

P（AB）=2001000，P（AC）=100+3001000=4001000，P（AD）=1001000，P（AD）P（A）

P（AD）

所以，如果顧客購買了甲，則該顧客同時(shí)購買丙的可能性最大.

筆者的分析 不管怎么說，題8這道高考題的背景一定是“條件概率”，而文科生的教材上沒有“條件概率”，所以文科生若能“適當(dāng)提高”——知曉條件概率，對(duì)于本題的解答是有好處的.

題9（普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)3·必修·A版》（人民教育出版社，2007年第3版）第134頁第6題）在一個(gè)盒中裝有6枝圓珠筆，其中3枝一等品，2枝二等品和1枝三等品，問下列事件的概率有多大？

（1）恰有一枝一等品;

（2）恰有兩枝一等品;

（3）沒有三等品.

（筆者建議：題9中的“枝”均應(yīng)改為“支”.）

筆者的分析 近幾年文科數(shù)學(xué)考試說明中都有“（對(duì)于古典概型）會(huì)用列舉法計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率”的敘述.

對(duì)于理科生熟知的排列數(shù)Amn與組合數(shù)Cmn的意義及公式，文科生僅僅由分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理就可理解和解決它們.像“從1，2，3，4，5，6中取出3個(gè)不同的數(shù)，有多少種取法”這類問題，若用列舉法，則難度較大，解答題9，就必須解決該問題.何必要舍易求難呢？還是“適當(dāng)提高”好——先歸納出分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，再運(yùn)用它們求解.

初中數(shù)學(xué)教材中刪去“韋達(dá)定理”、“十字相乘法”，高中數(shù)學(xué)教材中刪去“三垂線定理”及由《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（中華人民共和國教育部制定，北京：人民教育出版社，2018）編寫的教材中刪去了“線性規(guī)劃”都不妥，而把“算法初步”調(diào)整到信息技術(shù)中就很好.刪去了很多常用結(jié)論，并不是減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)，反而是加重了學(xué)生的負(fù)擔(dān).好比在小圓桌上翻跟斗，多難呀！

若考生對(duì)反三角函數(shù)有所了解，則解答2013年高考新課標(biāo)卷Ⅰ文科第16題（即理科第15題）及2014年高考北京卷理科第18（2）題會(huì)變得很容易;若用橢圓的焦半徑公式，解答2018年高考全國卷Ⅲ第20題將很簡潔.

解答2012年高考新課標(biāo)全國卷理科第12題及2009年高考遼寧卷理科第12題，都涉及互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系;2013年高考北京卷理科第14題的背景是異面直線的距離.前者在對(duì)應(yīng)的教材中講得很簡略，后者在對(duì)應(yīng)的教材中沒講.

解答2015年高考新課標(biāo)卷Ⅰ文科第21題、2017年高考全國卷Ⅲ文科第12題（即理科第11題）、2015年高考全國卷Ⅲ文科第16題及2015年高考新課標(biāo)卷Ⅰ文科第21題均有可能涉及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.

筆者的意思絕不是讓高中生學(xué)的越多越難越好，因?yàn)楦咧猩n業(yè)負(fù)擔(dān)確實(shí)太重，時(shí)間非常緊張，所以高中生應(yīng)當(dāng)在高中階段學(xué)習(xí)必備的文化基礎(chǔ)知識(shí)，要突出主干，不能是“灌木叢”的數(shù)學(xué)知識(shí).

題10（1997年高考全國卷理科數(shù)學(xué)第15題）四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有（）.

A.150種 B.147種

C.144種 D.141種 （答案：D.）

題10是所屬試卷的選擇壓軸題，難度不小.

在高中學(xué)習(xí)排列組合是為概率（概率在生活中才是很有用的）服務(wù)的，沒必要把排列組合題學(xué)（考）得這么難.為何有些排列組合題很難？難在避免“重漏”.對(duì)于較難的排列組合題（特別是與立體幾何有關(guān)的）在有限的時(shí)間里確實(shí)不好準(zhǔn)確無誤的做出解答，筆者認(rèn)為高考的排列組合題不能超過4步（有出題者曾把分式的計(jì)算、數(shù)的四則運(yùn)算都搞得很繁，而后也有不能超過多少步運(yùn)算的限制）.

“適當(dāng)提高”要注意“提高”和“適當(dāng)”. 法乎其上，得乎其中;法乎其中，僅得其下，所以高中數(shù)學(xué)教學(xué)要“提高”;“適當(dāng)”就是要注意“度”，否則會(huì)給師生帶來更加深重的災(zāi)難.

2019年6月19日，國務(wù)院辦公廳正式公布的國辦發(fā)〔2019〕29號(hào)文件《關(guān)于新時(shí)代推進(jìn)普通高中育人方式改革的指導(dǎo)意見》的“（十五）深化考試命題改革”中指出“實(shí)施普通高中新課程的省份不再制定考試大綱，這與本文的“適當(dāng)提高”一脈相承.

參考文獻(xiàn)

[1] 甘志國.穩(wěn)中有新 文理趨同——評(píng)2019年高考數(shù)學(xué)北京卷[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2019（7）：52-56.

[2] 甘志國.突出新課改理念 重點(diǎn)考查核心素養(yǎng)——評(píng)2017年高考數(shù)學(xué)北京卷[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2017（7）：52-55.

[3] 甘志國.“簡潔、基礎(chǔ)、本質(zhì)、創(chuàng)新”是高考數(shù)學(xué)北京卷的鮮明特色[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2016（7）：45-48.

[4] 甘志國.湖北高考數(shù)學(xué)卷與世界名題相通[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2009（11）：46-48.

作者簡介 甘志國（1971—），湖北竹溪人，研究生學(xué)歷.高級(jí)教師，特級(jí)教師.研究方向：解題研究、高考研究和初等數(shù)學(xué)研究.