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        一道高考試題的多維視角探析

        2019-12-06 07:39:57張偉志
        中學數(shù)學雜志(高中版) 2019年5期
        關鍵詞:正弦內角數(shù)形

        張偉志

        高考命題從能力立意轉向素養(yǎng)的考查,重點不再是常規(guī)的解題技巧,而是側重于學生的探究能力、創(chuàng)新能力和遷移能力.2019年全國卷Ⅰ第17題看起來很常規(guī),入口較易,事實上卻超凡脫俗、豐富多彩,有較大的探究空間和教學價值,下面我們就結合此題的探究和拓展,談一下核心素養(yǎng)導向下高三復習的一點點想法和建議.

        2019年高考數(shù)學試題全國卷(Ⅰ)第17題為:

        △ABC的內角A,B,C對應的邊分別為a,b,c.設(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.

        (Ⅰ)求A;

        (Ⅱ)若2a+b=2c,求sinC.

        在第(Ⅰ)問中,可以考慮特殊情況,當A=B=C=π3時,題設中的恒等式顯然成立,不難猜出A=π3.具體解法如下:

        利用正弦定理可將(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC化簡為(b-c)2=a2-bc,整理可得:bc=b2+c2-a2.

        由余弦定理知:cosA=b2+c2-a22bc=12,又A∈(0,π),所以A=π3.

        點評 第一問入口比較簡單,大部分同學都會運用正弦定理,把已知條件轉化成邊的關系,然后結合余弦定理得出結果,此解法較為簡潔流暢.當然也可以運用三角恒等變形直接得出結論,但相比上述方法計算較為繁瑣,此處不再贅述.

        (Ⅱ)視角1 代數(shù)法

        代數(shù)法研究圖形的幾何運算和性質是解三角形的本質.由于已知條件純粹是三角形的邊角關系,因此,利用三角形內角和定理及常規(guī)的三角公式,并巧妙運用轉化化歸的思想,使問題迎刃而解.

        方法1 轉化的思想

        由(Ⅰ)可知sinA=32,cosA=12.

        2a+b=2c等價于:22sinA+12sinB=sinC,

        即22sinA+cosAsinB=sin(A+B),整理得22sinA=sinAcosB,由于sinA>0,所以cosB=22,得B=π4.所以sinC=6+24.

        點評 常規(guī)的思路是轉化為關于sinC的一元二次方程,計算量較大,靈活運用三角形內角和定理和特殊角的三角函數(shù)值,轉化化歸,先求出B=π4,大大地減少了運算量,思路非常巧妙.

        方法2 構造的思想

        同方法一可得:22sinA+12sinB=sinC,轉化為:

        22×32+12sin(C+π3)=sin[(C+π3)-π3],即22×32+12sin(C+π3)=12sin(C+π3)-32cos(C+π3),得cos(C+π3)=-22.

        由0 所以sinC=6+24.

        點評 構造特殊角C+π3,巧妙地繞開了關于非特殊角C的繁雜運算,使問題得以簡化,收到了良好的效果.

        方法3 向量的思想

        由(Ⅰ)可知cosA=12.

        令AB=c, BC=a,AC=b,而2 │a│=2│c│-│b│可化為:2(b-c)2=(2│c│-│b│)2,2│b││c│=2│c│2-│b│2.

        將cosA=b2+c2-a22|b||c|=12,代入上式得2a2=3b2.可設|a|=3k,

        |b|=2k,易得|c|=6+22k,由正弦定理得sinC=|c||a|sinA=6+24.

        點評 向量是實現(xiàn)數(shù)與形完美結合的有效途徑,是解決數(shù)學問題的一把利劍,在解三角形問題中巧妙地構造向量,往往可以達到一種 “曲徑通幽”的效果.

        視角2 幾何法

        本題的背景是幾何三角形問題,自然可以采用平面幾何知識進行求解.而學生往往會忽略三角形的幾何本質,選擇較為復雜的三角恒等變形知識來解決此題.

        方法4 數(shù)形結合的思想(以形助數(shù))

        如圖1,作CD⊥AB,垂足為D.

        由題意:c=12b+22a,而AB=AD+DB,AD=b·cosA=12b,則DB=BC·cosB=22a,所以cosB=22,得B=π4,C=5π12,所以sinC=6+24.

        點評 利用平面幾何知識,構造直角三角形,數(shù)形結合,返璞歸真,潤物細無聲地實現(xiàn)了初高中數(shù)學知識的銜接.

        視角3 坐標法

        由于利用三角恒等變形解決此問題時,牽扯的公式較多,部分學生可能出現(xiàn)因遺忘公式而思路受阻的現(xiàn)象,而坐標法可以避免這種狀況的發(fā)生,學生會有一種柳暗花明又一村的感覺.

        方法5 數(shù)形結合的思想(以數(shù)釋形)

        如圖2,以C為原點,以CA所在的直線為x軸建立平面直角坐標系,令CB=1,∠BCA=θ,以點C為圓心作單位圓,作BD⊥CA,垂足為D,則B(cosθ,sinθ),BD=32c=sinθ,AD=12c,CD=cosθ,CD=AC-AD,即cosθ=b-12c.

        將b=2c-2代入上式得:cosθ=32c-2.

        在RT△BCD中, CD2=BC2-BD2,即cos2θ=1-32c2,可得32c-22=1-32c2,解得c=32±66,由于c=12b+22>22,所以c=32+66,所以 sinθ=32c=6+24,即 sinC=6+24.

        點評 本題以C為原點建立直角坐標系,結合三角函數(shù)的定義,構造出關于c的一元二次方程,使問題得以解決,該做法很好得體現(xiàn)了坐標法在解決平面幾何問題中的優(yōu)越性.

        新考綱區(qū)別于以前的主要表現(xiàn)在從數(shù)學思想方法、能力以及科學與人文素養(yǎng)三個方面提出要求,注重引導一線教師積極更新理念,削弱重知識輕能力給學生發(fā)展帶來的負面影響.因此,在教學中引導學生發(fā)揮主觀能動性,開創(chuàng)性地解決問題,尤為重要.

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