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        一道高考試題的多維視角探析

        2019-12-06 07:39:57張偉志
        關(guān)鍵詞:正弦內(nèi)角數(shù)形

        張偉志

        高考命題從能力立意轉(zhuǎn)向素養(yǎng)的考查,重點(diǎn)不再是常規(guī)的解題技巧,而是側(cè)重于學(xué)生的探究能力、創(chuàng)新能力和遷移能力.2019年全國(guó)卷Ⅰ第17題看起來(lái)很常規(guī),入口較易,事實(shí)上卻超凡脫俗、豐富多彩,有較大的探究空間和教學(xué)價(jià)值,下面我們就結(jié)合此題的探究和拓展,談一下核心素養(yǎng)導(dǎo)向下高三復(fù)習(xí)的一點(diǎn)點(diǎn)想法和建議.

        2019年高考數(shù)學(xué)試題全國(guó)卷(Ⅰ)第17題為:

        △ABC的內(nèi)角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c.設(shè)(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.

        (Ⅰ)求A;

        (Ⅱ)若2a+b=2c,求sinC.

        在第(Ⅰ)問(wèn)中,可以考慮特殊情況,當(dāng)A=B=C=π3時(shí),題設(shè)中的恒等式顯然成立,不難猜出A=π3.具體解法如下:

        利用正弦定理可將(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC化簡(jiǎn)為(b-c)2=a2-bc,整理可得:bc=b2+c2-a2.

        由余弦定理知:cosA=b2+c2-a22bc=12,又A∈(0,π),所以A=π3.

        點(diǎn)評(píng) 第一問(wèn)入口比較簡(jiǎn)單,大部分同學(xué)都會(huì)運(yùn)用正弦定理,把已知條件轉(zhuǎn)化成邊的關(guān)系,然后結(jié)合余弦定理得出結(jié)果,此解法較為簡(jiǎn)潔流暢.當(dāng)然也可以運(yùn)用三角恒等變形直接得出結(jié)論,但相比上述方法計(jì)算較為繁瑣,此處不再贅述.

        (Ⅱ)視角1 代數(shù)法

        代數(shù)法研究圖形的幾何運(yùn)算和性質(zhì)是解三角形的本質(zhì).由于已知條件純粹是三角形的邊角關(guān)系,因此,利用三角形內(nèi)角和定理及常規(guī)的三角公式,并巧妙運(yùn)用轉(zhuǎn)化化歸的思想,使問(wèn)題迎刃而解.

        方法1 轉(zhuǎn)化的思想

        由(Ⅰ)可知sinA=32,cosA=12.

        2a+b=2c等價(jià)于:22sinA+12sinB=sinC,

        即22sinA+cosAsinB=sin(A+B),整理得22sinA=sinAcosB,由于sinA>0,所以cosB=22,得B=π4.所以sinC=6+24.

        點(diǎn)評(píng) 常規(guī)的思路是轉(zhuǎn)化為關(guān)于sinC的一元二次方程,計(jì)算量較大,靈活運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理和特殊角的三角函數(shù)值,轉(zhuǎn)化化歸,先求出B=π4,大大地減少了運(yùn)算量,思路非常巧妙.

        方法2 構(gòu)造的思想

        同方法一可得:22sinA+12sinB=sinC,轉(zhuǎn)化為:

        22×32+12sin(C+π3)=sin[(C+π3)-π3],即22×32+12sin(C+π3)=12sin(C+π3)-32cos(C+π3),得cos(C+π3)=-22.

        由0 所以sinC=6+24.

        點(diǎn)評(píng) 構(gòu)造特殊角C+π3,巧妙地繞開(kāi)了關(guān)于非特殊角C的繁雜運(yùn)算,使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化,收到了良好的效果.

        方法3 向量的思想

        由(Ⅰ)可知cosA=12.

        令A(yù)B=c, BC=a,AC=b,而2 │a│=2│c│-│b│可化為:2(b-c)2=(2│c│-│b│)2,2│b││c│=2│c│2-│b│2.

        將cosA=b2+c2-a22|b||c|=12,代入上式得2a2=3b2.可設(shè)|a|=3k,

        |b|=2k,易得|c|=6+22k,由正弦定理得sinC=|c||a|sinA=6+24.

        點(diǎn)評(píng) 向量是實(shí)現(xiàn)數(shù)與形完美結(jié)合的有效途徑,是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一把利劍,在解三角形問(wèn)題中巧妙地構(gòu)造向量,往往可以達(dá)到一種 “曲徑通幽”的效果.

        視角2 幾何法

        本題的背景是幾何三角形問(wèn)題,自然可以采用平面幾何知識(shí)進(jìn)行求解.而學(xué)生往往會(huì)忽略三角形的幾何本質(zhì),選擇較為復(fù)雜的三角恒等變形知識(shí)來(lái)解決此題.

        方法4 數(shù)形結(jié)合的思想(以形助數(shù))

        如圖1,作CD⊥AB,垂足為D.

        由題意:c=12b+22a,而AB=AD+DB,AD=b·cosA=12b,則DB=BC·cosB=22a,所以cosB=22,得B=π4,C=5π12,所以sinC=6+24.

        點(diǎn)評(píng) 利用平面幾何知識(shí),構(gòu)造直角三角形,數(shù)形結(jié)合,返璞歸真,潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲地實(shí)現(xiàn)了初高中數(shù)學(xué)知識(shí)的銜接.

        視角3 坐標(biāo)法

        由于利用三角恒等變形解決此問(wèn)題時(shí),牽扯的公式較多,部分學(xué)生可能出現(xiàn)因遺忘公式而思路受阻的現(xiàn)象,而坐標(biāo)法可以避免這種狀況的發(fā)生,學(xué)生會(huì)有一種柳暗花明又一村的感覺(jué).

        方法5 數(shù)形結(jié)合的思想(以數(shù)釋形)

        如圖2,以C為原點(diǎn),以CA所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,令CB=1,∠BCA=θ,以點(diǎn)C為圓心作單位圓,作BD⊥CA,垂足為D,則B(cosθ,sinθ),BD=32c=sinθ,AD=12c,CD=cosθ,CD=AC-AD,即cosθ=b-12c.

        將b=2c-2代入上式得:cosθ=32c-2.

        在RT△BCD中, CD2=BC2-BD2,即cos2θ=1-32c2,可得32c-22=1-32c2,解得c=32±66,由于c=12b+22>22,所以c=32+66,所以 sinθ=32c=6+24,即 sinC=6+24.

        點(diǎn)評(píng) 本題以C為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,結(jié)合三角函數(shù)的定義,構(gòu)造出關(guān)于c的一元二次方程,使問(wèn)題得以解決,該做法很好得體現(xiàn)了坐標(biāo)法在解決平面幾何問(wèn)題中的優(yōu)越性.

        新考綱區(qū)別于以前的主要表現(xiàn)在從數(shù)學(xué)思想方法、能力以及科學(xué)與人文素養(yǎng)三個(gè)方面提出要求,注重引導(dǎo)一線教師積極更新理念,削弱重知識(shí)輕能力給學(xué)生發(fā)展帶來(lái)的負(fù)面影響.因此,在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮主觀能動(dòng)性,開(kāi)創(chuàng)性地解決問(wèn)題,尤為重要.

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