黃 影, 張麗華

(沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034)

0 引 言

基于“新工科”的線性代數(shù)案例式教學(xué)模式是指通過研究線性代數(shù)知識在工程、物理、電子、信息、化學(xué)等各個領(lǐng)域中的應(yīng)用,進行合理的教學(xué)設(shè)計,在線性代數(shù)的課堂教學(xué)中,通過引入實際案例,使學(xué)生能夠?qū)W以致用,為培養(yǎng)創(chuàng)新型和研究型人才打下堅實的基礎(chǔ)。

1 基于“新工科”的線性代數(shù)課程建設(shè)的背景、內(nèi)容

1.1 基于“新工科”的線性代數(shù)課程建設(shè)的背景[1-3]

教育部于2017年4月公布的《“新工科”建設(shè)行動路線》中明確提出,“新工科”是我國教育改革的方向,眾多綜合類高校及工科優(yōu)勢高校共同探討,達成“復(fù)旦共識”“天大行動”“北京指南”,為順應(yīng)國際形勢,開創(chuàng)工程教育改革的新發(fā)展思路,提出了“新工科”的教育理念。新工科的內(nèi)涵是: 以立德樹人為引領(lǐng),以應(yīng)對變化、塑造未來為建設(shè)理念,以繼承與創(chuàng)新、交叉與融合、協(xié)調(diào)與共享為主要途徑,培養(yǎng)多元化、創(chuàng)新型的卓越工程人才。這種新工科人才既具備運用既定知識解決現(xiàn)有問題的實操能力,又能夠持續(xù)學(xué)習(xí)、自我更新,跟進知識和技術(shù)的迭代,成為引領(lǐng)科技革新和產(chǎn)業(yè)發(fā)展的中堅力量。

線性代數(shù)是高等院校理工科及經(jīng)濟管理等各專業(yè)的一門數(shù)學(xué)公共課,它是學(xué)生后續(xù)專業(yè)課程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)和理論工具,對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、空間想象能力、解決實際問題能力具有重要的作用。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和國際新形勢的出現(xiàn),線性代數(shù)在工程學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、社會學(xué)等各個領(lǐng)域發(fā)揮的作用日益顯露出來。線性代數(shù)課程的授課教師面臨新的挑戰(zhàn),在進行課程教學(xué)設(shè)計時,要多關(guān)注不同專業(yè)學(xué)生需要哪類相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識,選取具有專業(yè)背景的教學(xué)案例進行教學(xué),使線性代數(shù)的教學(xué)更有針對性。使學(xué)生能夠在學(xué)習(xí)的過程中,真正體會到學(xué)以致用的樂趣,擺脫以往學(xué)習(xí)目標(biāo)不明確、學(xué)習(xí)動力不足等困境。線性代數(shù)教學(xué)方式的改變,授課教師要多思考如何通過改進教學(xué)方法和考核方式,在有限的課時內(nèi),將應(yīng)用案例融入到教學(xué)中來,使線性代數(shù)的課程建設(shè)適應(yīng)新工科建設(shè)和發(fā)展的要求。

1.2 基于“新工科”的線性代數(shù)課程建設(shè)的內(nèi)容[4-6]

1.2.1 建立線性代數(shù)與專業(yè)知識有機統(tǒng)一的教學(xué)模式

設(shè)計教學(xué)案例要有專業(yè)針對性,以解決專業(yè)性問題的需求為目標(biāo)來提出問題、引入概念、設(shè)計解決方案,并將此問題貫穿一節(jié)課的始終,引導(dǎo)學(xué)生在探索專業(yè)性問題解決方案的過程中逐步建構(gòu)線性代數(shù)知識體系,加深學(xué)生對課程內(nèi)容本質(zhì)的理解,在潛移默化間培養(yǎng)他們的問題意識,培養(yǎng)初步的科學(xué)研究意識。以計算機工程類、信息類的新工科專業(yè)為例,深入發(fā)掘?qū)I(yè)課中隱含的線性代數(shù)知識,針對不同的章節(jié)設(shè)計與此相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容,如利用圖像變換問題設(shè)計矩陣運算教學(xué),利用圖像數(shù)據(jù)壓縮問題設(shè)計矩陣特征值、奇異值教學(xué),利用機器學(xué)習(xí)問題設(shè)計二次型和正定矩陣的課程教學(xué)等。

例1 基于圖像數(shù)據(jù)壓縮問題的“矩陣的奇異值”教學(xué)設(shè)計(此部分內(nèi)容為“矩陣的特征值”的拓展內(nèi)容)

1) 問題引入。通過女神上野樹里的一張照片引出像素矩陣,并利用Matlab對該矩陣進行奇異值分解。

提出問題: 如果舍去像素分解式后面的若干項,會對圖像的清晰度有何影響?(利用軟件去演示這種區(qū)別,并請學(xué)生總結(jié)其中的規(guī)律。)

2) 探究新知。通過講解圖像處理的基礎(chǔ)知識,分析如何用矩陣來表示圖片,進而利用Matlab將像素矩陣分解為以奇異值為系數(shù)的秩為1的矩陣的線性組合的形式,通過舍去一些含有較小的奇異值的項來比較圖像清晰度的變化。以此引出矩陣的奇異值的概念,重點講清基本定義和矩陣的奇異值分解的求法,舉例加深對定義的理解,由此可以初步理解矩陣的奇異值對圖像數(shù)據(jù)壓縮的作用:即在盡可能保證圖像可被識別的精度的前提下,我們可以保留奇異值較大的若干項,舍去奇異值較小的項即可節(jié)省大量的存儲空間。

3) 深入挖掘。奇異值往往對應(yīng)著矩陣中隱含的重要信息,且重要性和奇異值大小正相關(guān)。每個矩陣A都可以表示為一系列秩為1的“小矩陣”之和,而奇異值則衡量了這些“小矩陣”對于A的權(quán)重。

4) 總結(jié)拓展。在圖像處理領(lǐng)域,奇異值不僅可以應(yīng)用在數(shù)據(jù)壓縮上,還可以對圖像去噪。

例2 以飛行器轉(zhuǎn)動的動態(tài)演示引出“線性變換的矩陣”教學(xué)設(shè)計

1) 背景介紹。三維空間線性變換最直接的幾何意義和應(yīng)用價值可以從飛行器的三維轉(zhuǎn)動坐標(biāo)中得到解釋。飛行器在空中可以圍繞3個軸旋轉(zhuǎn)。先把飛行器的三維圖像用N個頂點的三維坐標(biāo)描述,其頂點次序要適當(dāng)安排,使得用plot3命令能繪制出飛行器的外觀。飛行器圍繞各個軸的旋轉(zhuǎn)的結(jié)果,表現(xiàn)為各個頂點坐標(biāo)發(fā)生變化。只要把3種姿態(tài)的變換矩陣分別乘以飛行器外形的數(shù)據(jù)矩陣,就可以得到飛行器旋轉(zhuǎn)的動態(tài)演示圖像。

2) 探究新知。通過矩陣乘法的幾何意義引出線性變換,包括對稱變換、收縮與拉伸、剪切變換、投影等。

3) 問題拆解。飛行器的線形輪廓模型由一系列的點和曲線組成。在最簡單的二維圖形符號中,字母用于在屏幕上做標(biāo)記,字母上點的坐標(biāo)存儲在數(shù)據(jù)矩陣中。通過用2)的各種變換矩陣乘以數(shù)據(jù)矩陣,來改變飛行器的狀態(tài)?；谶@個思想,我們來研究飛行器的轉(zhuǎn)動問題。

把3種姿態(tài)的3種變換矩陣Y、P、R分別乘以圖形數(shù)據(jù)矩陣G即可得到飛行器圍繞各個軸旋轉(zhuǎn)后的圖像,其中:

也可將三種轉(zhuǎn)動復(fù)合起來,即令GROTATE=(YPR)G。下面將u、v、w分別賦值為:

就得到飛行器經(jīng)不同轉(zhuǎn)動后相應(yīng)的狀態(tài)。

1.2.2 建立新型考核方式,激勵學(xué)生探索各領(lǐng)域開放問題

深入發(fā)掘當(dāng)今社會的熱點問題作為應(yīng)用案例,并作為學(xué)期論文布置給學(xué)生,按照一定比例計入期末成績,打破傳統(tǒng)的考核方式,更能激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新思維的培養(yǎng)。

2 基于“新工科”的線性代數(shù)課程建設(shè)的障礙與改進策略研究

2.1 線性代數(shù)案例式教學(xué)實施的障礙

1) 學(xué)時少。線性代數(shù)課程本身學(xué)時少、內(nèi)容抽象,案例的引入必然會占用一定的時間。

2) 教材缺乏。國內(nèi)的線性代數(shù)教材多偏重理論介紹,涉及的應(yīng)用案例較少,不利于教師備課和學(xué)生自學(xué)。

3) 案例教學(xué)效果差別大。案例教學(xué)效果與教師對案例的分析理解程度、闡述角度以及個人教學(xué)風(fēng)格等多個因素密切相關(guān)。

4) 教育設(shè)施不足。在課堂上,如果學(xué)生不能直接動手分析和計算,將使得案例法成為單純地教師對概念和原理的講解,起不到案例分析應(yīng)有的教學(xué)效果。

5) 有些案例教學(xué)脫離實際。

2.2 對 策

2.2.1 制作微視頻

針對課程學(xué)時少,沒有過多時間介紹案例背景,可以制作介紹案例的微視頻,給學(xué)生課前預(yù)習(xí)完成。而且微視頻比教師講解和紙質(zhì)材料更加形象生動,又利于理解。

2.2.2 制作案例庫

針對教材案例匱乏的現(xiàn)狀,任課教師團隊可以制作案例庫,并按照專業(yè)、知識點進行分類。

2.2.3 案例講授適可而止

“新工科”強調(diào)“自主學(xué)習(xí),創(chuàng)新培養(yǎng)”, 案例講解過程留出適當(dāng)空間讓學(xué)生自由發(fā)揮, 布置一點思考題, 特別對于那些樂于學(xué)習(xí)的學(xué)生, 可以收到更好的教學(xué)效果。

2.2.4 軟、硬件的技術(shù)支持

涉及到上機操作的案例,最好讓學(xué)生自己動手操作,案例式教學(xué)可以考慮在機房上課。

2.2.5 制定合理的案例使用原則

1) 新舊案例交替使用,適合就好。選取案例時,對于舊案例的選取要考慮時代背景,必要時對背景改編后進行使用,案例不論新舊,能達到好的教學(xué)效果就是好案例。

2) 案例與知識點的緊密結(jié)合至關(guān)重要。案例式教學(xué)不能流于形式,要選擇與所教授知識點契合度高的案例。課程設(shè)計需要結(jié)合學(xué)生的知識儲備、學(xué)科專業(yè)特點、學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)心理等多方面因素,使得案例式教學(xué)能夠發(fā)揮出最優(yōu)的教學(xué)效果。

3) 案例選材要簡單而貼近生活,易于理解。并非高大上的案例就是好案例,案例的選取要立足學(xué)生的既有知識和日常生活,容易被學(xué)生理解和接納,否則會適得其反,造成畏難情緒,使學(xué)生失去學(xué)習(xí)興趣。

3 結(jié) 語

為順應(yīng)國內(nèi)外工程教育改革的新形勢,線性代數(shù)作為一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課,教學(xué)改革勢在必行,近幾年來這方面的研究層出不窮[7-15]?；凇靶鹿た啤钡木€性代數(shù)案例式教學(xué)模式的探索是一項長期的任務(wù),特別是設(shè)計出與各專業(yè)契合度高的案例對任課教師而言,是個不小的挑戰(zhàn),教師團隊需要投入大量的時間、精力去進行課程設(shè)計、錄制微視頻、制作PPT等。