劉永飛　李玉蘭　徐恒震

摘 ? 要：功的公式是定量研究功能關(guān)系的一個重要端口，但其適用范圍在實際教學(xué)中卻存在認知盲點。從大學(xué)力學(xué)的視角結(jié)合微積分對W=Flcosθ適用于曲線運動進行嚴(yán)密論證，并依托矢量運算對其在中學(xué)中的適用性進行推導(dǎo)，進而結(jié)合具體問題實例，從性質(zhì)力與合力兩種恒力類型展開分析，并將論證結(jié)果置于中學(xué)情境中予以說明，以此對一線教師的教學(xué)、變式教育提供有價值的參考。

關(guān)鍵詞：物理教學(xué);功的公式;適用范圍

中圖分類號：G633.7 ? ?文獻標(biāo)識碼：A ? ?文章編號：1009-010X（2019）29-0033-04

眾所周知W=Flcosθ是恒力下的直線運動功的表達式，也適用于重力及靜電力的做功問題，對后者在任意路徑下的求解，人們往往基于它們的保守力特征得出。經(jīng)深度探究發(fā)現(xiàn)，其同樣適用于曲線運動，這不僅科學(xué)、適用于高中階段，還極富功能問題解決的價值。

一、W=Flcosθ適于曲線運動的論證

（一）大學(xué)力學(xué)視角的科學(xué)論證

展開矢量式，則W=Flcosθ，其中F表示力的大小，l表示位移的大小，θ表示力和位移矢量間的夾角，這與恒力在直線運動情況下所做功的公式完全相同。由此可見，只要物體受到恒力作用，無論其運動軌跡是直還是曲，均能直接應(yīng)用W=Flcosθ進行求解。

二、W=Flcosθ在問題解決中的實用價值

功能教學(xué)在高中物理教學(xué)中占據(jù)舉足輕重的地位，功的計算更是定量研究能量問題的重要一環(huán)。作為其中一類重要的延伸知識，計算任意運動軌跡的物體所受恒力做功往往是難點?；谝陨险撟C，我們認為在實際問題中運用此結(jié)論能實現(xiàn)速解、妙解相關(guān)問題，同時還能搭建發(fā)散思維和抽象思維的支架，以此提高學(xué)生解決問題的能力。

對沿任意運動軌跡運動的物體，只要其受恒力作用，W=Flcosθ皆可適用，下文就不同性質(zhì)力與合力做功的求解，擇兩例具體闡釋。

（一）曲線運動下不同性質(zhì)的恒力做功求解

因重力、恒定靜電力等兩種性質(zhì)的力在高中屢見不鮮，所以其求解過程不再贅述。

案例1：如圖3為一簡易電梯模型，當(dāng)電梯以速度v1做勻速向上運動時，電梯中有一學(xué)生以大小恒為F的推力，將一質(zhì)量為m的箱子從電梯一側(cè)（初始空間位置，記為A點）推向另一側(cè)（末態(tài)空間位置，記為B點），水平方向上推出的距離為L，在此過程中電梯上升的高度為H。已知箱子與電梯間的摩擦系數(shù)為μ，求從A到B的過程中，箱子所受支持力和滑動摩擦力所做的功（當(dāng)?shù)刂亓铀俣扔洖間）。

1.方法一：常規(guī)（即微元）法求解

經(jīng)受力分析可得，箱子從A到B的過程中，受到支持力、滑動摩擦力、重力和推力四個力的作用。

（1）對支持力做功的求解

如圖4，類比教材中關(guān)于任意路徑下重力做功的推導(dǎo)，我們將運動路徑分成許多很短的間隔，則每段間隔皆可視為一段傾斜的直線。由于箱子在豎直方向上處于平衡狀態(tài)，所以FN=G，由此可知支持力在整個運動過程中為恒力。設(shè)每段小斜線的高度差分別為△h1，△h2，△h3，△h4…由公式WN=FNlcosθ，可得通過每段小斜線時支持力所做的功分別為FN△h1，F(xiàn)N△h2，F(xiàn)N△h3，F(xiàn)N△h4…;箱子通過整個路徑時支持力所做的功等于支持力在每小段上所做的功的代數(shù)和，即：

WN=FN△h1+FN△h2+FN△h3+FN△h4+…

WN=FN（△h1+△h2+△h3+△h4+…）

WN=FN△h=GH=mgH

（2）對滑動摩擦力做功的求解

根據(jù)滑動摩擦力的公式f滑=μFN可知，滑動摩擦力在整個運動過程中為恒力。應(yīng)用與上述求解恒定支持力做功時同樣的方法，我們可以得到箱子通過整個路徑時滑動摩擦力所做的功：Wf滑=-f滑L=-μFNL=-μGL=-μmgL.

2.方法二：公式（也即W=Flcosθ）法求解

如圖5，分析可得，在整個運動過程中支持力和滑動摩擦力為恒力，因此可直接運用恒力功公式求解：

WN=FNlcosθ=FNH=GH=mgH（θ為支持力與位移之間的夾角）

Wf滑=f滑lcosθ=-f滑L=-μFNL=-μGL=-μmgL（θ為滑動摩擦力與位移之間的夾角）

3.價值分析

除了常見的重力和勻強電場中的靜電力等兩種性質(zhì)的力之外，滑動摩擦力和彈力也可以在曲線運動中充當(dāng)恒力角色。針對摩擦力與彈力這兩類不同性質(zhì)的恒力做功的問題，并基于論證的結(jié)論來求解此案例，如此能夠巧妙規(guī)避“微元”思想的冗長演化，并搭建抽象思維的支架，使學(xué)生靈活轉(zhuǎn)換思維，以此訓(xùn)練學(xué)生的敏捷性和深刻性。

（二）曲線運動下多力合成的恒定合力做功求解

案例2：如圖6所示，在豎直平面內(nèi)有一場強為E的勻強電場，其方向與水平方向成α=30°斜向上，在電場中有一電荷量為q的帶點小球，用長為L的不可伸長的絕緣細線掛于O點，當(dāng)小球靜止于M點時，細線恰好水平?，F(xiàn)用外力將小球拉到最低點P，然后無初速度釋放，求小球從P到M的過程中，合外力對它做了多少功？

1.方法一：先求出各分力做功的值再取代數(shù)和求解

如圖7，分析可知拉力不做功。

3.價值分析

對于恒定合力，我們在求其做功問題時，若直接利用論證結(jié)論，則可規(guī)避“先求出各分力的做功值再取代數(shù)和”分步求解的復(fù)雜性，由此可實現(xiàn)復(fù)雜問題的速解、妙解。

三、對教學(xué)的啟示

“對W=Flcosθ適用于曲線運動的思考”擴寬了做功公式的適用范圍，為后期重力和靜電力沿任意曲線做功問題的教學(xué)提供了一條新思路，進而可以此簡化教師的教學(xué)過程，減輕學(xué)生的思維負擔(dān)。事實上，在實際教學(xué)中，這種巧妙創(chuàng)設(shè)探究性學(xué)習(xí)情境，以學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”為依托，以“過程性變式教學(xué)”為抓手的教學(xué)，正是突破思維定勢的壁壘，構(gòu)建深度學(xué)習(xí)的有效探索。

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