孫秀云　姜靜

摘 要：為了探索初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)的有效操作模式，提高課堂效率，本文以角的平分線復(fù)習(xí)課為例，從設(shè)計(jì)理念、實(shí)施流程、同伴評(píng)析三個(gè)層面進(jìn)行探索.

關(guān)鍵詞：課程標(biāo)準(zhǔn);過程目標(biāo);結(jié)果目標(biāo);數(shù)學(xué)素養(yǎng)

基金項(xiàng)目：國(guó)家級(jí)“十三五”規(guī)劃科研課題項(xiàng)目“初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)邏輯思維方法訓(xùn)練研究”（項(xiàng)目編號(hào)：P111-2016314）.

作者簡(jiǎn)介：孫秀云（1968-），女，山東即墨人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)理論和實(shí)踐的研究;

姜靜（1980-），女，吉林伊通人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，研究方向：初中數(shù)學(xué)教學(xué).

1 背景

作為一名教研員，每年組織開展主題教研活動(dòng)是我們的必修課.但如何通過教研活動(dòng)激發(fā)一線教師的參與熱情，并從中收獲卻是我們著重思考的問題.課堂教學(xué)的基本課型大致分為概念教學(xué)、復(fù)習(xí)課教學(xué)、試卷講評(píng)教學(xué)，于是我規(guī)劃了2016-2017年主題教研活動(dòng)圍繞概念教學(xué)開展;2018-2019年主題教研活動(dòng)圍繞復(fù)習(xí)課教學(xué)開展，并且申請(qǐng)了國(guó)家級(jí)“十三五”規(guī)劃科研課題——“初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)邏輯思維方法訓(xùn)練研究”.2018年5月29日，雞西市教育學(xué)院開展系列主題教研活動(dòng)之復(fù)習(xí)課教學(xué)，雞西市第一中學(xué)姜靜老師的一節(jié)“角的平分線復(fù)習(xí)課”受到與會(huì)老師和領(lǐng)導(dǎo)的普遍好評(píng)，下面基于這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)結(jié)合與會(huì)老師的現(xiàn)場(chǎng)研討以及本人后期的所思所悟整理成文.

2 明確目標(biāo)

2011版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)“角的平分線”要求是探索并證明角平分線的性質(zhì)定理.定理具體內(nèi)容是角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等;反之，角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.

不難發(fā)現(xiàn)，這里對(duì)“角平分線”的要求不是停留在“了解”和“理解”的層面，而是“探索并證明”，使用了兩個(gè)描述過程目標(biāo)的行為動(dòng)詞“探索”“證明”.一方面，“探索并證明”的要求比“對(duì)知識(shí)的含義有初步的、感性的認(rèn)識(shí)”要高;另一方面，課程標(biāo)準(zhǔn)更重視對(duì)獲取“角平分線”知識(shí)的過程要求.我們知道，描述結(jié)果目標(biāo)的行為動(dòng)詞按要求程度由低到高分別是“了解”“理解”“掌握”“運(yùn)用”;另一類描述過程目標(biāo)的行為動(dòng)詞按要求程度由低到高分別是“經(jīng)歷”“體驗(yàn)”“探索”.上面的“證明”的表述是與“運(yùn)用”這個(gè)行為動(dòng)詞具有同等水平的要求程度，它不是簡(jiǎn)單地會(huì)證明定理本身，而是達(dá)到“運(yùn)用”的要求程度.更加突出了“角平分線”的實(shí)際應(yīng)用，突出了“數(shù)學(xué)建?！钡乃枷?所以說，課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)本節(jié)課的要求不僅同時(shí)兼顧結(jié)果目標(biāo)和過程目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，而且都是最高層次的目標(biāo).實(shí)現(xiàn)“證明”這個(gè)目標(biāo)的途徑要靠學(xué)生去“探索”.獨(dú)立或與他人合作參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，理解或提出問題，尋求解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)對(duì)象的特征及其與相關(guān)對(duì)象的區(qū)別和聯(lián)系，獲得一定的理性認(rèn)識(shí).

3 教學(xué)流程與建議

3.1 課堂引入

我們之前學(xué)習(xí)了三角形全等的有關(guān)知識(shí)，知道利用三角形全等可以證明角（邊）相等，還可以求解未知的角（邊）的數(shù)量大小，是不是所有的證明角（邊）相等都只能用三角形全等來解決呢？讓我們一起來挑戰(zhàn)2018年大慶市一道中考選擇題，看你能否挑戰(zhàn)成

功！

例1 如圖1，∠B=∠C=90°，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，則∠MAB的度數(shù)是（ ）.

A.30°B.35°

C.45°D.60°

完成此題后教師引導(dǎo)學(xué)生：解決這道題的關(guān)鍵是抓住DM平分∠ADC這個(gè)條件，利用角平分線的性質(zhì)解決問題，那么角平分線的性質(zhì)還有哪些其他應(yīng)用呢？

課堂教學(xué)的引入是教學(xué)中一個(gè)重要環(huán)節(jié)，一個(gè)好的引入環(huán)節(jié)能第一時(shí)間激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生思考.本節(jié)復(fù)習(xí)課以一道中考選擇題引入，創(chuàng)設(shè)問題情境，大部分學(xué)生一看到中考題馬上萌發(fā)了想挑戰(zhàn)一下的欲望，衡量一下自己處于哪個(gè)層級(jí)，還有什么差距和不足，強(qiáng)烈的挑戰(zhàn)意愿帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入豐富的知識(shí)殿堂.

本節(jié)課的問題引入如果能讓問題生活化，用學(xué)生生活中熟悉的例子來引入新課，會(huì)讓學(xué)生既有親切感，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)源于生活，又應(yīng)用于生活，人人都能學(xué)有用的數(shù)學(xué)這個(gè)課程理念.

3.2 探索角平分線的應(yīng)用

例2 畫一畫，如圖2，在△ABC中，AD平分∠BAC.能否構(gòu)造出以AD為公共邊的全等三角形，你有幾種構(gòu)造方法，并說明理由.

探究結(jié)果：如圖3所示.

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生通過獨(dú)立動(dòng)手操作、動(dòng)腦思考，把比較枯燥的幾何內(nèi)容變得豐富多彩，并在老師的引導(dǎo)下動(dòng)手能力、幾何直觀、合情推理都得到了充分的發(fā)展，也滲透了分類的數(shù)學(xué)思想和方法;再利用信息技術(shù)輔助教學(xué)，動(dòng)畫地翻轉(zhuǎn)一個(gè)三角形到與之全等的三角形上，為學(xué)生理解結(jié)論、解決問題提供更直觀的幫助，以此來提升學(xué)生直觀想象與邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3.3 典型習(xí)題

題1 如圖4，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，BC>BA，∠A+∠C=180°，求證：AD=CD.

教師出示問題后，沒有急于讓學(xué)生去證明題目，而是給出了一系列問題串：

（1）從上面的“畫一畫”你能否得到有益于解決這道題的思路？

學(xué)生1：如果把上面的“畫一畫”移植到這個(gè)圖中，就是構(gòu)造以BD為公共邊的兩個(gè)全等三角形，也就是構(gòu)造以BD為對(duì)稱軸的對(duì)稱圖形.

（2）按著這個(gè)思路想下去，你可以想出幾種證明的思路呢？怎樣添加輔助線？

學(xué)生2：可以“截長(zhǎng)”“補(bǔ)短”“作垂直”.

（3）雖然輔助線作法不同，我們是否可以用同一句話總結(jié)這道題的分析思路？

學(xué)生3：想辦法構(gòu)造以BD為對(duì)稱軸的對(duì)稱圖形，找對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊，進(jìn)一步借助已知條件轉(zhuǎn)化，問題都可以解決.

（4）同學(xué)們，通過上面的方法可以體會(huì)到借助添加輔助線能解決很多幾何問題，實(shí)際上，我們還可以補(bǔ)充其他圖形，解決問題更便捷.以后學(xué)習(xí)了圓的有關(guān)知識(shí)，解決這道題會(huì)更簡(jiǎn)單，我們現(xiàn)在可以提前欣賞一下這種方法的簡(jiǎn)潔之處.

證明 出現(xiàn)對(duì)角互補(bǔ)條件時(shí)，聯(lián)想到四點(diǎn)共圓，作經(jīng)過A、B、C、D四點(diǎn)的圓.

因?yàn)椤螦BD=∠DBC，所以AD=CD .

作為課堂教學(xué)的基本課型之一的復(fù)習(xí)課，很多老師把它上成了習(xí)題課，老師就題講題，學(xué)生就題想題，師生都拘泥于一道題、一類題的解法上，而不是分析這類題后面隱含的數(shù)學(xué)思想，學(xué)生的思維打不開，很難提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).但本節(jié)課的設(shè)計(jì)者卻善于引導(dǎo)學(xué)生思考題目背后隱藏的本質(zhì)問題，教師設(shè)計(jì)的問題串把學(xué)生的思維帶入螺旋上升的幾何空間.這樣的課堂，不是簡(jiǎn)單地教知識(shí)和積累技能，而是教學(xué)生學(xué)會(huì)思考，體會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式.

學(xué)生們還沉浸在能用多種方法解決問題的喜悅中，教師適時(shí)給出變式題，使學(xué)生的思維散而不亂.

變式1 如圖4，在四邊形ABCD中，BC>BA，∠A+∠C=180°，AD=CD，求證：BD平分∠ABC.

變式2 如圖4，在四邊形ABCD中，BC>BA，DB平分∠ABC，AD=CD，求證：∠A+∠C=180°.

這個(gè)習(xí)題的變式雖然只是把條件和結(jié)論互換位置，但問題的核心卻依然在“角平分線”有什么性質(zhì)，用什么方法能推理出一條線段是一個(gè)角的平分線.如果能牢牢抓住這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，問題迎刃而解.教師經(jīng)常設(shè)計(jì)這種變式訓(xùn)練，學(xué)生才會(huì)不斷地從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，提高學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐能力.

3.4 綜合提高

例3 在ΔABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求證：AC=AB+BD.

課堂上，教師引導(dǎo)學(xué)生先獨(dú)立思考，然后小組交流，最后總結(jié)歸納出截長(zhǎng)和補(bǔ)短兩種添加輔助線的方法，如圖7.

2011版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出教學(xué)建議：教師要?jiǎng)?chuàng)造性地使用教材，積極開發(fā)、利用各種教學(xué)資源，為學(xué)生提供豐富多彩的學(xué)習(xí)素材;關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，有效地實(shí)施有差異的教學(xué)，使每個(gè)學(xué)生都得到充分的發(fā)展.依據(jù)這樣的教學(xué)建議，姜老師設(shè)計(jì)兩道綜合提高題，綜合應(yīng)用角平分線和三角形有關(guān)知識(shí)，雖然沒有直接用到角平分線的性質(zhì)，但卻又一次抓住了角平分線的本質(zhì)是它的對(duì)稱性，利用對(duì)稱性構(gòu)造全等，得出對(duì)應(yīng)角（邊）相等.課標(biāo)還建議：數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，應(yīng)注重學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián).能夠把多個(gè)知識(shí)點(diǎn)融合起來應(yīng)用才是真正理解了知識(shí)，所學(xué)知識(shí)才能得以“生長(zhǎng)”、得以“延伸”.

3.5 拓展延伸

完成上述探究角平分線的基本應(yīng)用后，學(xué)生對(duì)角平分線融入全等三角形有所理解：借助三角形的全等得到角（邊）相等，總結(jié)歸納出一些證明角（邊）相等的方法，學(xué)生的幾何直觀、合情推理能力得到鍛煉.如果有了角平分線這一條件再加上平行、垂直等表述位置關(guān)系的條件，同學(xué)們又會(huì)迸發(fā)出怎樣的思維火花呢？

例4 如圖8，在ΔABC中，∠B和∠C的角平分線相交于一點(diǎn)D，過點(diǎn)D作EF//BC，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F.請(qǐng)你猜想EF，BE，CF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

例5 如圖9，在Rt△ABC中，AB=AC， ∠BAC=90°， ∠1= ∠2，CE⊥BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.求證：BD=2CE.

教師出示題目后，先讓學(xué)生獨(dú)立思考、自主探究，待到大部分學(xué)生有了基本思路，個(gè)別學(xué)生有疑問時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生小組合作，能內(nèi)部解決的都在小組內(nèi)解決，最后把共性的問題集中起來，教師點(diǎn)撥、答疑，引導(dǎo)學(xué)生共同歸納解決方法.學(xué)生經(jīng)歷觀察、思考、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，把自己的想法更清晰地表達(dá)出來.學(xué)生的數(shù)學(xué)思想和思維方式逐漸形成.學(xué)生在老師的問題設(shè)計(jì)和活動(dòng)安排實(shí)施過程中，逐步形成了適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展所需要的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力，逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界.

3.6 課后作業(yè)

如圖10，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°， ∠ABC=45°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D， AE⊥BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F. 用多種方法證明：AB+AD=BC.

教師設(shè)計(jì)的課后作業(yè)雖然只有一道題，但卻是面向全體，又有分層，隨著證明方法的增多，學(xué)生的思維廣度和思維深度得到不同程度的鍛煉，這也體現(xiàn)了讓不同的學(xué)生都有不同發(fā)展的教育理念.

3.7 總結(jié)提升

綜合以上幾個(gè)題目可以引導(dǎo)學(xué)生歸納角平分線幾種輔助線的作法：

（1）已經(jīng)角平分線上一個(gè)點(diǎn)到角的一邊的距離，過這個(gè)點(diǎn)作另一邊的垂線段;

（2）已知角平分線和其上面的一點(diǎn)，過這一點(diǎn)作角的兩邊的垂線段;

（3）已知角平分線，以角的平分線為對(duì)稱軸構(gòu)造對(duì)稱圖形;

（4）利用角的平分線構(gòu)造等腰三角形.

學(xué)生一邊歸納輔助線作法，一邊舉例子畫圖，加深學(xué)生對(duì)輔助線作法的理解，同時(shí)教師給出下面四句順口溜的前半部分，讓學(xué)生思考補(bǔ)充后半部分，更進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對(duì)角平分線添加輔助線的理解.

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線;

也可將圖對(duì)折看，對(duì)折以后關(guān)系現(xiàn);

角平分線平行線，等腰三角形來添;

角平分線加垂線，三線合一試試看.

這樣的設(shè)計(jì)看似學(xué)生只學(xué)習(xí)了角平分線輔助線的作法，但學(xué)生卻在思考和回答中掌握了幾何學(xué)習(xí)中的基礎(chǔ)性、通用性知識(shí)，發(fā)展了合情推理和演繹推理能力，這正是學(xué)生適應(yīng)未來發(fā)展所必備的知識(shí)和關(guān)鍵能力.

姜老師這節(jié)課立足課程標(biāo)準(zhǔn)的落實(shí)，精選、重組課程內(nèi)容，對(duì)復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)做了大膽的嘗試：改變了過去習(xí)題課以機(jī)械重復(fù)的解題訓(xùn)練為課堂主旋律的狀況，深刻理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作、獨(dú)立思考、自主探究出添加輔助線的方法;選取了有針對(duì)性、有層次性的范例， 解法靈活多變，并且進(jìn)行了題目變式;設(shè)計(jì)的問題串體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維性，讓學(xué)生自主地、有邏輯地思考.整節(jié)課突出學(xué)生的“主體地位”，學(xué)生經(jīng)歷了怎樣分析和怎樣學(xué)會(huì)分析的基本過程，不僅關(guān)注如何獲得解題思路，而且寄希望于對(duì)“思路”的進(jìn)一步分析而增強(qiáng)數(shù)學(xué)能力、優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)、提高思維品質(zhì)，學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思維”.按照這種設(shè)計(jì)理念實(shí)施課堂教學(xué)，不僅完成了課程標(biāo)準(zhǔn)提出的教學(xué)要求，而且學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)也得到了培養(yǎng)和提升.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

（收稿日期：2019-06-14）