顧新佳

【摘要】推理是數(shù)學的基本思維方式，新課程標準明確指出要重視學生合情推理能力的培養(yǎng)，在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，促進學生合情推理能力的發(fā)展。本文通過對分數(shù)乘法意義的教學，通過類比、猜想、驗證等合情推理活動，使學生明晰求一個數(shù)的幾分之幾是多少可以用乘法計算的合理性，并且通過類比、操作等活動幫助學生建構(gòu)分數(shù)乘法的知識模型，有效促進學生合情推理能力的發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】推理 推理能力 合情推理 類比推理

新課程標準在“課程設(shè)計思路”部分明確指出：“推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿整個數(shù)學學習過程。推理是數(shù)學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式。”推理一般包括合情推理和演繹推理?！昂锨橥评硎菑囊延械氖聦嵆霭l(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果。合情推理又有歸納推理、類比推理等形式?！惫P者在執(zhí)教蘇教版數(shù)學六年級上冊“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾是多少”一課時，充分運用合情推理，幫助學生理解“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾是多少”可以用乘法計算的合理性，并通過類比分數(shù)乘整數(shù)的計算，幫助學生建立分數(shù)乘法的知識模型。

一、運用合情推理，完善數(shù)量關(guān)系認識

“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾是多少”的實際問題，是對乘法運算意義的一次重要擴展，同時也是后面分析并解決分數(shù)、百分數(shù)實際問題的前提，是分數(shù)的認識及其運算內(nèi)容中的核心知識。筆者在幾次試上的過程中，發(fā)現(xiàn)教材在引導學生用整數(shù)乘、除法算出紅花有多少朵后，教材直接出示：“求10朵的1/2是多少，可以用乘法計算?！睂τ谶@樣的直接告知，學生普遍表示不大理解。于是，筆者運用合情推理中的類比推理，由求“倍數(shù)”類推到求“幾分之幾”也可以用乘法來計算。課始，筆者出示三道復習題：

（1）合唱隊有女生16人，男生8人，女生人數(shù)是男生的幾倍？

（2）圖書館有科技書80本，文藝書70本，科技書本數(shù)是文藝書的幾倍？

（3）李伯伯家養(yǎng)了4只母雞，5只公雞，母雞只數(shù)是公雞只數(shù)的幾分之幾？

學生答完題后，問：這三道題有什么相同的地方？

生1：這三道題，都是求幾倍的。

生2：我補充一下，這三道題，有的是求誰是誰的幾倍，有的是求誰是誰的幾分之幾。

生3：老師，我再補充一下，其實不管是求誰是誰的幾倍，還是求誰是誰的幾分之幾，都是在求數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系。

師：幾分之幾也可以表示倍數(shù)關(guān)系嗎？

生3：我覺得可以，只不過因為是幾分之幾，說明前一個數(shù)量比后一個數(shù)量小了，我們一般不說“倍”了。

小結(jié)：嗯，總結(jié)得真好，不管是求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍，還是幾分之幾，都表示求數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系。

《現(xiàn)代漢語詞典》中對“倍數(shù)”的解釋是：“倍數(shù)，表示一個數(shù)除以另一個數(shù)的商?！蓖瑯?，幾分之幾，也是表示一個數(shù)除以另一個數(shù)的商。兩者在意義上是相同的。合情推理的本質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)—猜想”，本環(huán)節(jié)從學生已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，引導學生通過觀察題組的相同點，讓學生類比出不管是求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍還是幾分之幾，都表示倍數(shù)關(guān)系，使得學生完善了對數(shù)量關(guān)系的認識。

二、運用合情推理，明晰計算方法

三組復習題過后，學生心中已經(jīng)建立了對倍數(shù)關(guān)系的完整認識，在此基礎(chǔ)上，我們繼續(xù)設(shè)計題組訓練，通過類比推理，幫助學生明晰計算方法。

1.題組類比：幫助學生理解算法的合理性

課件出示三道練習題：

⑴學校田徑隊有20人，跳繩隊人數(shù)是田徑隊人數(shù)的3倍，跳繩隊有多少人？

⑵水果店運進梨30箱，蘋果是梨的4/3倍，蘋果有多少箱？

⑶小明有郵票40張，小紅的郵票是小明郵票的1/4，小紅有郵票多少張？

前兩題，學生很快根據(jù)數(shù)量關(guān)系，分別用乘法算出了結(jié)果。第三題，學生出現(xiàn)了兩種不同的方法：（1）運用整數(shù)乘、除法計算;（2）直接用分數(shù)乘法計算。

所謂類比推理，是根據(jù)兩個或兩類對象在一系列屬性上是相同或相似的，而且已知其中的一個或一類對象還具有其他的屬性，從而推出另一個或另一類對象也具有同樣的其他屬性的推理。求一個數(shù)的幾分之幾是多少，可以用乘法計算這個道理我們沒有選擇直接告知學生，而是通過題組訓練，引導學生類比推理，得到三題都是研究數(shù)量間的倍數(shù)關(guān)系，從而順利推出：“求小紅郵票多少張，也可以直接用40×（1/4）來計算。”

但是，類推到這一步并未結(jié)束，而是通過學生呈現(xiàn)的兩種算法的進一步對比，通過演繹推理，證明用乘法計算的合理性，從而幫助學生順利完成對算法合理性的把握。

2.題組類比：引導學生驗證結(jié)論的正確性

通過三道例題的類比，學生得到了“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”可以直接用乘法計算，雖然學生也經(jīng)歷了演繹推理的證明，但畢竟學生是初次接觸類似的算法，要想在學生腦海中建立完整清晰的計算方法模型，就必須強化訓練。于是，筆者繼續(xù)出了一組題：

小星做了10朵綢花，其中1/2是紅花，2/5是綠花。

（1）紅花有多少朵？

（2）綠花有多少朵？

師：求紅花多少朵，就是求什么？求綠花呢？

生：求紅花多少朵就是求10朵綢花的1/2是多少朵，求綠花多少朵就是求10朵綢花的2/5是多少朵。

學生獨立計算。

根據(jù)統(tǒng)計，大約有超過93%的學生選擇直接用乘法計算，并且學生對選用乘法計算的道理講得也非常清晰。

通過上述題組的訓練，學生再一次經(jīng)歷了求一個數(shù)的幾分之幾是多少的計算方法，進一步鞏固了可以直接用乘法計算結(jié)論的正確性。

三、運用合情推理，建構(gòu)知識體系

1.對比練習，清晰分數(shù)乘法意義的結(jié)構(gòu)

從運算的意義來說，分數(shù)乘法有兩種意義，既可以表示幾個相同分數(shù)連加的和，也可以表示“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”。為了幫助學生清晰地認識分數(shù)乘法的意義，我們設(shè)計了一組對比題。

（1）水果店運來12筐蘋果，運來的橘子是蘋果的3/4。橘子有多少筐？

（2）做一個中國結(jié)用3/4米彩繩，小英做了12個，一共用彩繩多少米？

學生獨立地做題。

師：兩道題都可以用算式12×（3/4） 來計算，它們表示的意義一樣嗎？為什么？

生1：我認為是不一樣的。第一小題表示求12的 3/4是多少，第二小題表示求12個3/4的和是多少。

師：也就是說12×? 既可以表示12的3/4是多少，也可以表示求12個3/4的和是多少。

師：這兩道題有什么相同的地方嗎？

生2：都是有關(guān)分數(shù)的實際問題，根據(jù)數(shù)量關(guān)系，都可以用乘法計算。

2.獨立編題，豐富分數(shù)乘法意義的認識

學生通過上述兩道題的類比推理后，加強了對分數(shù)乘法意義的認識。這時，筆者趁熱打鐵，要求學生編寫一道用分數(shù)乘法計算的實際問題。學生根據(jù)對分數(shù)乘法意義結(jié)構(gòu)的認識，創(chuàng)造性地編寫出了許多符合要求且有價值的實際問題。（如圖1、圖2、圖3和圖4、）

通過題組對比和編題訓練，將第一課時“分數(shù)乘整數(shù)”意義與本節(jié)課學習的“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”的意義相勾連，學生能夠從對比分析中，感受到分數(shù)乘法的意義，幫助學生建立分數(shù)乘法意義的知識體系。

四、差異對比，強化對分數(shù)乘法意義的理解

在幫助學生鞏固了對分數(shù)乘法意義的清晰認識的基礎(chǔ)上，筆者進一步通過類比推理的訓練，強化了學生對分數(shù)乘法意義模型的深刻理解。

（1）一堆沙，每次運走1/8噸，4次共運走多少噸？

（2）學校有72個籃球，六（3）班分得這批籃球的2/3，六（3）班分得多少個籃球？

（3）一塊3米長的布，剪去3/5米，還剩多少米？

師：為什么前兩題可以用乘法計算？

生1：第一小題是求4個1/8噸是多少，可以用乘法計算;第二小題是求72的2/3是多少，也可以用乘法計算。

師：為什么第三小題你們用了減法。

生2：因為剪去了3/5米，是實際數(shù)量，要用3米剪去3/5米才能算出還剩多少米。

師：做完這三道題，你有什么想說的嗎？

生3：有的分數(shù)問題是可以用乘法計算的，有的分數(shù)問題是可以用減法計算的。

生4：并不是所有題目都可以用乘法計算的，要看清楚數(shù)量關(guān)系再計算。

生5：只有當求一個數(shù)的幾分之幾是多少或者幾個相同的分數(shù)連加的時候才能用分數(shù)乘法。

生6：老師，我還想到一道題，就是“長方形的長是4米，寬是3/4米，求長方形的面積是多少”。這也可以用乘法計算，但是它不屬于我們今天學習的情況。

學生通過差異化問題的對比分析，進一步鞏固了對分數(shù)乘法意義模型的認識，將學生腦海中的新舊知識有機地聯(lián)系起來，形成了完整的知識網(wǎng)絡(luò)。

能力的發(fā)展絕不等同于知識與技能的獲得，能力的獲得是一個緩慢吸收內(nèi)化的過程，有其自身的特點和規(guī)律。合情推理能力的發(fā)展同樣具有其特點和規(guī)律，需要我們在平時的教學過程中加強研究。合情推理的實質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)”，學生如何將自己通過做題和觀察所得的“發(fā)現(xiàn)”表達出來是形成推理能力的重要表現(xiàn)。幾何直觀可以幫助學生清晰地表達自己的推理過程。如在執(zhí)教蘇教數(shù)學版六年級上冊“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾是多少”一課時，我們給出了圖例，并引導學生在圖上畫一畫，通過畫圖將算理和算法講清楚。

新課程標準指出：“教師要重視學生合情推理能力的培養(yǎng)，在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，促進學生合情推理能力的發(fā)展，使學生能有條理地思考問題。”在平時的教學過程中，教師應(yīng)有效運用合情推理，有助于提升學生的推理能力和對知識體系的理解。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]盧明，崔允漷.教案的革命——基于課程標準的學歷案[M].上海：華東師范大學出版社，2016.

[3]楊豫暉.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）案例式解讀（小學數(shù)學）[M].北京：教育科學出版社，2014.

[4]李華，劉延柏.用“倍數(shù)”類比推理效果更優(yōu)[J].中小學數(shù)學，2017（1～2）.

[5]陶蓮華.小學生合情推理能力的培養(yǎng)[J].小學教學參考，2016（4）.