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        基于數(shù)學(xué)史的勾股定理教學(xué)設(shè)計

        2019-11-04 06:44:01盧明一李碧榮
        廣西教育·A版 2019年8期
        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)史勾股定理教學(xué)設(shè)計

        盧明一 李碧榮

        【摘要】本文以勾股定理為例,論述在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中基于數(shù)學(xué)史進行教學(xué)設(shè)計的途徑,提出在探討勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中,通過再現(xiàn)歷史事件、介紹數(shù)學(xué)史等方法在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史的教學(xué)建議,以期使學(xué)生站在古人的角度去發(fā)現(xiàn)問題和解決問題,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

        【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 勾股定理 數(shù)學(xué)史 教學(xué)設(shè)計

        【中圖分類號】G 【文獻標(biāo)識碼】A

        【文章編號】0450-9889(2019)08A-0074-03

        數(shù)學(xué)史展現(xiàn)了歷史人物遇到問題和解決問題的過程,教師可以從中汲取思想養(yǎng)料,少走彎路,獲取最佳的教學(xué)方法。在課堂中融入數(shù)學(xué)史越來越受到數(shù)學(xué)教師的重視。數(shù)學(xué)教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)計算、數(shù)學(xué)論證乃至數(shù)學(xué)決策等能力,勾股定理教學(xué)充分體現(xiàn)了上述思想。本文筆者以勾股定理教學(xué)設(shè)計為例,論述在教學(xué)設(shè)計中融入數(shù)學(xué)史,幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)活動本質(zhì)的途徑,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

        一、教學(xué)內(nèi)容分析

        勾股定理是人教版數(shù)學(xué)八年級下冊第十八章第一課時的內(nèi)容,在初中數(shù)學(xué)幾何知識中有著重要地位,與解決直角三角形三邊問題,甚至是其他多邊形的問題有直接聯(lián)系,為后面幾何的學(xué)習(xí)鋪墊。

        二、學(xué)情分析

        學(xué)生在學(xué)習(xí)勾股定理之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形,對幾何知識和代數(shù)知識有了一定的基礎(chǔ)認識,初步掌握了探索圖形性質(zhì)的基本方法,但是學(xué)生探索意識比較弱,邏輯推理能力比較差,會出現(xiàn)盲目操作等問題,所以本節(jié)課以“勾股定理的證明”為教學(xué)難點,重在引導(dǎo)學(xué)生自主證明,提高學(xué)生的推理能力和分析能力。

        三、教學(xué)目標(biāo)

        知識與技能:通過觀察方格圖,說出直角三角形的三邊關(guān)系,說出勾股定理的定義;會用拼圖法和面積法證明勾股定理,能解決一些簡單的直角三角形三邊的問題。

        過程與方法:通過觀察、探討、猜想、驗證勾股定理,體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。在探索過程中,學(xué)會與人合作,培養(yǎng)觀察圖形和分析問題的能力。

        情感態(tài)度價值觀:通過自主探究的拼圖活動,增強學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、獨立解決問題的能力。同時在學(xué)習(xí)的過程中,體會數(shù)學(xué)文化的價值。

        四、教學(xué)重點和難點

        教學(xué)重點:勾股定理的發(fā)現(xiàn)及證明。

        教學(xué)難點:勾股定理的證明。

        五、教學(xué)過程

        (一)創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入

        我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚在多年前曾提出這樣的設(shè)想:向太空發(fā)射一種圖形,因為這種圖形在幾千年前就已經(jīng)被人類所認識,如果他們是“文明人”,也必定認識這種圖形。這是怎樣的圖形?我們一起來看看。

        設(shè)計意圖:由高科技引出數(shù)學(xué),體現(xiàn)數(shù)學(xué)的奧妙,一方面提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,另一方面激起學(xué)生的好奇心——是什么樣的圖形幾千年前就被人類所認識呢,為后面的探索鋪墊。

        (二)新課講解

        1.發(fā)現(xiàn)規(guī)律,提出猜想

        (1)活動一:等腰直角三角形三邊的關(guān)系

        故事導(dǎo)入:“兩千多年前,數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯在朋友家做客時,發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面反映了三個正方形面積之間的數(shù)量關(guān)系,進而發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系。畢達哥拉斯是怎樣由三個正方形面積之間的關(guān)系推出直角三角形三邊的關(guān)系呢?我們穿越歷史和數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯一起探討?!苯又?,教師用幻燈片展示“畢達哥拉斯朋友家的地面”(如圖1)。

        問題1:“同學(xué)們,請你們觀察圖1的地板,每塊磚都是由什么三角形組成的呢?這三個正方形A、B、C的面積有什么關(guān)系呢?”

        教師提出問題,讓學(xué)生身臨其境,引導(dǎo)學(xué)生觀察圖1,讓學(xué)生通過自己的思考,發(fā)現(xiàn)每塊磚都是由相同的等腰直角三角形拼成的,進而得出結(jié)論:正方形A、B的面積之和等于正方形C的面積,即SA+SB=SC。

        問題2:“如果A、B、C三個正方形的邊長用a、b、c表示(如圖2),那它們的面積關(guān)系又是怎樣的呢?”

        數(shù)學(xué)知識的運用要先把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)符號,教師提出用a、b、c字母表示三個正方形的邊長,實際上是為把勾股定理化成數(shù)學(xué)語言鋪墊,引導(dǎo)學(xué)生通過正方形面積公式,將正方形A、B、C的面積關(guān)系表示為:a2+b2=c2。

        問題3:“正方形A、B、C的邊長與等腰直角三角形DEF的三邊(圖2)有什么關(guān)系呢?”

        教師進一步追問,回應(yīng)了故事中“三個正方形和直角三角形有什么聯(lián)系”的問題,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)原來三個正方形的邊長正好是等腰直角三角形DEF的三邊,a、b為等腰直角三角形的兩條直角邊,c為斜邊,讓學(xué)生類比問題2的結(jié)論,求出等腰直角三角形三邊關(guān)系為:a2+b2=c2,引導(dǎo)學(xué)生用自己的語言表述結(jié)果,再由教師歸納結(jié)論:等腰直角三角形的三邊關(guān)系——兩直角邊的平方和等于斜邊的平方,即:a2+b2=c2。

        設(shè)計意圖:通過再現(xiàn)畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理的過程,設(shè)置問題串,由淺入深,層層遞進,引人入勝,讓學(xué)生穿越時空回到那個時代,感受畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理的過程。在HPM視角(融入數(shù)學(xué)史的教學(xué)設(shè)計)下,不僅提高學(xué)生的學(xué)習(xí)樂趣,而且提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和探索性。

        (2)活動二:一般直角三角形三邊的關(guān)系

        問題1:“通過活動1的結(jié)論,我們知道特殊的等腰直角三角形三邊的關(guān)系為a2+b2=c2,那對于一般的直角三角形是否也存在這樣的關(guān)系呢?”“網(wǎng)格中三角形RQS是一般的直角三角形(如圖3),那等式SA+SB=SC還成立嗎?圖中每個小方格是1個單位面積?!?/p>

        教師組織學(xué)生分組討論,引導(dǎo)學(xué)生分別求出正方形A、B、C的面積并尋求它們之間的關(guān)系。C的面積求法是難點,教師先讓學(xué)生思考總結(jié),再和學(xué)生一起歸納方法——割補法,最后求出正方形C的面積為25,學(xué)生發(fā)現(xiàn)正方形A、B、C的關(guān)系為:SA+SB=SC。

        問題2:“直角三角形RQS三邊與三個正方形A、B、C又有什么關(guān)系呢?”

        教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)活動1的經(jīng)驗,由正方形的面積等于邊長的平方遷移出:直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。

        追問:“從特殊的直角三角形到一般的直角三角形的兩次探討,我們發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊有什么規(guī)律呢?”

        教師拋出問題,讓學(xué)生根據(jù)兩次活動的結(jié)論發(fā)現(xiàn)規(guī)律,并用自己的語言陳述猜想:如果直角三角形兩直角邊長分別為a、b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2。

        設(shè)計意圖:兩個活動的設(shè)計,由特殊直角三角形到一般直角三角形,根據(jù)歷史相似性,再現(xiàn)割補法產(chǎn)生的思路,引導(dǎo)學(xué)生猜測出勾股定理的內(nèi)容,發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用、學(xué)生的主體作用,體現(xiàn)了一般到特殊的數(shù)學(xué)思想,在猜測的過程中也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴謹性。

        2.驗證勾股定理的實驗

        (1)活動三:學(xué)生拼圖法證明

        ①你能用四個相等的直角三角形(設(shè)直角三角形兩直角邊為a、b,斜邊為c)拼出一個正方形嗎?

        ②你能求出拼出的正方形的面積嗎?

        ③你能否用你拼出的圖形說明a2+b2=c2?

        小組討論時間限制在5分鐘以內(nèi),教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)活動的要求拼圖,預(yù)設(shè)學(xué)生有兩種拼法和證明。

        教師通過展示學(xué)生兩種不同的拼法和證法,引導(dǎo)學(xué)生觀察,進而發(fā)現(xiàn)這兩個圖形都是通過面積法求出a、b、c之間的關(guān)系,最后證明猜想是正確的。接著,教師提出第一種圖形很像我國的“趙爽弦圖”,但是“趙爽弦圖”和學(xué)生的證法不一樣,為下一步介紹“趙爽弦圖”的證法鋪墊。

        設(shè)計意圖:通過動手操作自主探索,用拼圖法和面積法發(fā)現(xiàn)勾股定理,培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性,讓他們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理就在生活中,從而勇于發(fā)現(xiàn)探索。

        (2)活動四:“趙爽弦圖”的證法

        “趙爽弦圖”用到了剪拼證明法,以直角三角形的兩條直角邊a、b為邊作兩個正方形,把兩個正方形拼排連在一起,通過剪、拼把它拼成下圖6。教師可以用幻燈片展示剪拼的動態(tài)過程,讓學(xué)生直觀地看到“趙爽弦圖”證法的整個過程。

        設(shè)計意圖:教師通過介紹“趙爽弦圖”證明過程,一方面讓學(xué)生理解剪拼法的不同,加深對定理的理解,另一方面體現(xiàn)我國古人的智慧,激發(fā)學(xué)生的愛國熱情。

        (3)活動五:利用幾何畫版證實勾股定理

        教師運用幾何畫板任意變換直角三角形ABC的三邊邊長,讓學(xué)生觀察、確認幾何畫板中展示的直角三角形三邊的關(guān)系,從而證實猜想是正確的(如圖7)。

        設(shè)計意圖:幾何畫板展示的直角三角形更具有隨機性,也具有動態(tài)性,更具有說服力,可以讓學(xué)生更直觀地觀察到直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系,快速反饋任意直角三角形三邊邊長的關(guān)系。

        3.驗證結(jié)論

        勾股定理內(nèi)容:如果直角三角形兩直角邊長分別為a、b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2,即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

        4.勾股定理命名的歷史背景

        在我國古代,古人把較短的直角邊稱為“勾”,較長的直角邊稱為“股”,斜邊稱為“弦”,因此稱此定理為勾股定理。

        設(shè)計意圖:印證開頭情境引入部分,讓學(xué)生毛塞頓開,幾千年前人類就已經(jīng)探討了勾股定理,讓學(xué)生深深為古人的探索精神所折服,體會到古人的聰明才智。

        (三)課堂練習(xí)

        1.求出下列直角三角形中未知邊的長。

        2.求圖中字母所代表的正方形的面積。

        設(shè)計意圖:通過適當(dāng)?shù)木毩?xí),鞏固學(xué)生對勾股定理的理解,并結(jié)合勾股定理的發(fā)現(xiàn)巧妙地設(shè)計題目,鞏固定理并運用定理解決問題。

        (四)課堂小結(jié)

        1.本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容?

        2.本節(jié)課證明勾股定理運用了什么方法?

        設(shè)計意圖:歸納性的課堂小結(jié),培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的能力,鞏固本節(jié)課的內(nèi)容,抓住本節(jié)課的重點。

        (五)課后作業(yè)

        1.課后練習(xí)1、2題。

        2.勾股定理的證法有五百多種,請同學(xué)們課后上網(wǎng)詳細了解。

        設(shè)計意圖:通過練習(xí)加深學(xué)生對勾股定理的理解與運用,同時提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力,養(yǎng)成獨立思考的習(xí)慣,豐富數(shù)學(xué)史知識。

        (六)小結(jié)

        教學(xué)設(shè)計中三次滲透數(shù)學(xué)史:教師首先在教學(xué)開始時介紹畢達哥拉斯的故事,然后讓學(xué)生觀察畢達哥拉斯朋友家的地板,導(dǎo)入學(xué)習(xí)的內(nèi)容,引起學(xué)生的注意,激起學(xué)生探索的興趣;其次,在探討證明勾股定理這一新知識時,介紹我國“趙爽弦圖”的證明過程,使教學(xué)變得生動且富有探索意義,調(diào)動學(xué)生的積極性;最后,向?qū)W生解釋古人怎樣定義“勾股定理”的名稱,使學(xué)生體會到古人的聰明才智,在布置作業(yè)時要求學(xué)生利用課后時間閱讀一些勾股定理相關(guān)的數(shù)學(xué)史知識。整節(jié)課在設(shè)計過程中注重數(shù)學(xué)史的融入。另外在課堂練習(xí)環(huán)節(jié)中結(jié)合勾股定理的發(fā)現(xiàn)巧妙設(shè)計了題目,使學(xué)生理解勾股定理的同時能夠掌握和運用定理。

        數(shù)學(xué)史的滲透,不僅啟發(fā)學(xué)生思考,調(diào)動學(xué)生的主觀能動性,而且讓學(xué)生對數(shù)學(xué)定理有更加深刻的理解,加深對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認識,在教學(xué)中能達到事半功倍的效果。同時讓學(xué)生愛學(xué)、樂學(xué),使枯燥的數(shù)學(xué)課堂變得生動且有趣。

        【參考文獻】

        [1]劉頓.讓我們一起來認識“勾股定理”[J].初中生世界,2006(29)

        [2]潘瑞.基于數(shù)學(xué)命題教學(xué)下的勾股定理教學(xué)設(shè)計研究[D].成都:四川師范大學(xué),2014

        注:本課題系廣西教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題(編號:2016ZJY002)和廣西研究生教育創(chuàng)新計劃項目(編號:JGY2017086)的階段性成果。

        作者簡介:盧明一(1989— ),女,壯族,廣西大化人,南寧師范大學(xué)在讀碩士研究生,研究方向:數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)。

        李碧榮(1964— ),女,廣西南寧人,副教授,研究方向:教師教育及數(shù)學(xué)教學(xué)研究。

        (責(zé)編 劉小瑗)

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