■北京市第十二中學(xué)

從高中數(shù)學(xué)內(nèi)容來看,利用導(dǎo)數(shù)研究可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性,求可導(dǎo)函數(shù)的極值和最值,以及用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際應(yīng)用題是導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的主要應(yīng)用。從高考數(shù)學(xué)試題來看,高考對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查加強(qiáng)了試題的綜合性和應(yīng)用性,由此可見,導(dǎo)數(shù)成了解題中必不可少的工具,所以導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用也成為久考不衰的考點(diǎn)。

類型一、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義處理切線問題

例1 已知k,b∈R,設(shè)直線l:y=k x+b是曲線y=ex+x的一條切線,則( )。

A.k＜1且b≤1 B.k＜1且b≥1

C.k＞1且b≤1 D.k＞1且b≥1

解析：曲線y=ex+x的導(dǎo)數(shù)為y'=ex+1＞1,得k＞1;直線l:y=k x+b在y軸上的截距為b,對(duì)于曲線y=ex+x,當(dāng)x=0時(shí),y=1,可以知道b≤1。故選C。

評(píng)注：利用導(dǎo)數(shù)處理切線問題,注意三個(gè)條件的運(yùn)用：設(shè)切點(diǎn)M(x0,y0),則切線斜率為k=f'(x0),切點(diǎn)坐標(biāo)滿足切線方程。但值得注意的是“曲線過某點(diǎn)的切線方程”與“該曲線在某點(diǎn)處的切線方程”是有區(qū)別的。

相關(guān)鏈接1.已知直線2x-y+1=0與曲線y=aex+x相切(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則實(shí)數(shù)a的值是( )。

A.e B.2 e C.1 D.2

解析：對(duì)y=aex+x求導(dǎo)可得y'=aex+1,則切線的斜率令可得則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為,整理得,結(jié)合題中所給的切線,所以a=1。

類型二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

例2 若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )。

解析：因?yàn)閒'(x)=x2-a x+1,由題設(shè)知x2-a x+1≤0在上恒成立,故解得

評(píng)注：恒成立問題的兩種常見解題思路：①參變分離;②構(gòu)造函數(shù)。由導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性上的應(yīng)用知,已知條件可轉(zhuǎn)化為f'(x)≤0恒成立,經(jīng)過參變分離轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題。

相關(guān)鏈接2.已知函數(shù)f(x)=ex+e2-x,若關(guān)于x的不等式[f(x)]2-a f(x)≤0恰有3個(gè)整數(shù)解,則實(shí)數(shù)a的最小值為( )。

解析：因?yàn)閒(x)=ex+e2-x＞0,所以[f(x)]2-a f(x)≤0,等價(jià)于f(x)-a≤0,即f(x)-a≤0恰有3個(gè)整數(shù)解,即f(x)≤a有3個(gè)整數(shù)解。因?yàn)?2 e,當(dāng)a=1時(shí),不等式無解;當(dāng)a=2 e時(shí),不等式只有一個(gè)整數(shù)解1,排除選項(xiàng)A,B。當(dāng)a=e2+1時(shí),由f'(x)＜0可得f(x)在(-∞,1)上遞減,由f'(x)＞0可得f(x)在(1,+∞)上遞增,f(0)=e2+1≤a,x=0合題意;x＜0時(shí),f(x)＞a,不等式無解;f(1)=2 e＜a,x=1合題意;f(2)=e2+1≤a,x=2合題意,當(dāng)x＞2時(shí),f(x)＞a,不等式無解。故a=e2+1時(shí),有且只有3個(gè)整數(shù)解。又因?yàn)?所以a的最小值為e2+1。

類型三、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值

例3 若函數(shù)-alnx存在唯一的極值,且此極值不小于1,則a的取值范圍為( )。

解析：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到f'(x)=x-1+,因?yàn)楹瘮?shù)存在唯一極值,所以導(dǎo)函數(shù)存在唯一的零點(diǎn),且零點(diǎn)大于0,故得到x=1是唯一的極值,此時(shí)

評(píng)注：(1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值,先求f'(x)=0的根x0,再和函數(shù)的定義域比較,如果落在定義域外或者落在定義域端點(diǎn),此時(shí)函數(shù)單調(diào),無極值;當(dāng)落在定義域內(nèi)時(shí),將定義域分段,分別考慮x0兩側(cè)導(dǎo)數(shù)是否異號(hào),從而判斷是否有極值。(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,先求f'(x)=0的根x0,如果落在定義域外或者落在定義域端點(diǎn),此時(shí)函數(shù)單調(diào),利用單調(diào)性求最值;當(dāng)落在定義域內(nèi)時(shí),將定義域分段,分別考慮x0兩側(cè)導(dǎo)數(shù)是否異號(hào),從而判斷函數(shù)的大致圖像,進(jìn)而來求最值。

相關(guān)鏈接3.若實(shí)數(shù)a滿足方程lnx+x-2=0,實(shí)數(shù)b滿足方程ex+x-2=0,則函數(shù)的極值之和為( )。

解析：依題意,a是與y=2-x交點(diǎn)的橫坐標(biāo),b是y=ex與y=2-x交點(diǎn)的橫坐標(biāo),因y=lnx與y=ex互為反函數(shù),故圖像關(guān)于y=x對(duì)稱,由解得x=y=1,故a+b=2。由于y=xln|x|為奇函數(shù),故極值點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。當(dāng)x＞0時(shí)令,解得極值為;當(dāng)x＜0時(shí),同理求得極值為a+b。故兩個(gè)極值之和為2(a+b)=2×2=4。

歸納領(lǐng)悟：

1.與導(dǎo)數(shù)幾何意義有關(guān)問題的常見類型及解題策略。

(1)已知切點(diǎn)求切線方程:①求出函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù),即曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處切線的斜率;②由點(diǎn)斜式求得切線方程為y-y0=f'(x0)·(x-x0)。

(2)已知斜率求切點(diǎn):已知斜率k,求切點(diǎn)(x1,f(x1)),即解方程f'(x1)=k。

(3)求切線傾斜角的取值范圍:先求導(dǎo)數(shù)的取值范圍,即確定切線斜率的取值范圍,然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決。

2.求解或討論函數(shù)單調(diào)性問題的解題策略。

討論函數(shù)的單調(diào)性其實(shí)就是討論不等式的解集的情況。大多數(shù)情況下,這類問題可以歸結(jié)為一個(gè)含有參數(shù)的一元二次不等式的解集的討論:

(1)在能夠通過因式分解求出不等式對(duì)應(yīng)方程的根時(shí),依據(jù)根的大小進(jìn)行分類討論。

(2)在不能通過因式分解求出根的情況時(shí),根據(jù)不等式對(duì)應(yīng)方程的判別式進(jìn)行分類討論(討論函數(shù)的單調(diào)性是在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行的,千萬不要忽視定義域的限制)。

3.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值、最值的方法。

(1)若求極值,則先求方程f'(x)=0的根,再檢查f'(x)在方程根的左右兩側(cè)函數(shù)值的符號(hào)。

(2)若已知極值大小或存在情況,則轉(zhuǎn)化為已知方程f'(x)=0根的大小或存在情況來求解。

(3)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最值時(shí),在得到極值的基礎(chǔ)上,結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a),f(b),然后與f(x)的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值。