一、選擇題

1.C 2.C 3.C 4.A 5.D 6.B

7.C 8.C 9.C 1 0.D 1 1.A 1 2.D

二、填空題

15.(2,+∞)

16.(-∞,-2)∪(2,+∞)

三、解答題

17.(1)當(dāng)k=2時(shí),f(x)=e2x(2-x)。

因?yàn)閒'(x)=2 e2x(2-x)-e2x=e2x(3-2x),所以f'(1)=e2。

又因?yàn)閒(1)=e2,所以所求的切線方程為y-e2=e2(x-1),即y=e2x。

設(shè)g(x)=e-k x+k x-k2,則g'(x)=-ke-k x+k=k(1-e-k x)。

當(dāng)x＜0時(shí),g'(x)＜0,當(dāng)x＞0時(shí),g'(x)＞0,所以g(x)在(-∞,0)上是減函數(shù),在(0,+∞)上是增函數(shù),所以g(x)min=g(0)=1-k2≥0,得-1≤k≤1。又k＞0,所以0＜k≤1。

綜上可得,實(shí)數(shù)k的取值范圍是(0,1]。

18.(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=-x3+a x2+b x+c(a,b,c∈R),所以f'(x)=-3x2+2a x+b。

因?yàn)閒'(-1)=f'(3)=0,所以f'(-1)=-3-2a+b=0,f'(3)=-2 7+6a+b=0,解得a=3,b=9。

(2)由(1)可知f'(x)=-3x2+6x+9。

當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),f'(x)＜0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)x∈(-1,3)時(shí),f'(x)＞0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)x∈(3,+∞)時(shí),f'(x)＜0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減。

已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值為2 0,f(x)=-x3+a x2+b x+c=-x3+3x2+9x+c,f(-2)=2+c,f(2)=2 2+c,f(-1)=c-5為最小值。

若f(-2)=2+c=2 0,即c=1 8時(shí),則f(-1)=c-5=1 8-5=1 3為最小值;

若f(2)=2 2+c=2 0,即c=-2時(shí),則f(-1)=c-5=-2-5=-7為最小值。

19.(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=ex-sinx+1,則f'(x)=ex-cosx≥0,且當(dāng)x=0時(shí),f'(x)=0,所以f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(0)=2,所以對(duì)于任意x∈[0,+∞),有f(x)≥2恒成立。

(2)令f(x)=0,則,令g(x),函數(shù)f(x)在[0,π]上存在兩個(gè)零點(diǎn),即函數(shù)y=a與函數(shù)g(x)=在[0,π]上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。

令g'(x)=0,則

因?yàn)閤∈[0,π],所以或x=π。

所以g(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以

20.(1)函數(shù)f(x)=(1+a)x2-lnxa+1的定義域?yàn)?0,+∞),且f'(x)=

當(dāng)a≤-1時(shí),f'(x)＜0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;

當(dāng)a＞-1時(shí),令f'(x)=0,解得x=,此時(shí)f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增。

(2)若a＜1,則當(dāng)x＞0,時(shí),問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式x f(x)＞lnx+(1+a)x3-x2在(0,+∞)上恒成立。

只需要證明x[(1+a)x-lnx-a+1]＞lnx+(1+a)x3-x2在(0,+∞)上恒成立,即證+1在(0,+∞)上恒成立。

因?yàn)閍＜1時(shí),即,所以-a+1在(0,+∞)上恒成立。

所以當(dāng)x＞0時(shí),函數(shù)y=x f(x)的圖像恒在函數(shù)y=lnx+(1+a)x3-x2的圖像上方。