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        有限域上兩類卷積碼的構造

        2019-09-23 00:45:40李鳳偉孫曉明
        棗莊學院學報 2019年5期
        關鍵詞:卷積碼漢明單位根

        李鳳偉,孫曉明

        (棗莊學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院,山東 棗莊 277160)

        0 引言

        在編碼器復雜度相同的情況下,卷積碼的性能優(yōu)于分組碼,因此卷積碼幾乎被應用在所有無線通信的標準之中.近幾年來,卷積碼以及量子卷積碼受到許多專家學者的注意,相繼出現(xiàn)不少優(yōu)秀的成果.Lee[1]闡述了存儲級數(shù)等于1的卷積碼的重要性,他指出相同比率的卷積碼中,存儲級數(shù)等于1的卷積碼比存儲級數(shù)大于1的卷積碼具有更大的自由距離.Hole[2]與Rosenthal[3]利用BCH碼分別構造了存儲級數(shù)等于1的卷積碼.通過Reed Solomon碼和BCH碼,H.Gluesing-Luerssen等研究了雙循環(huán)卷積碼[4].另一方面,對經(jīng)典卷積碼和它們相應屬性的研究以及構造最大距離可分 (簡稱MDS)卷積碼也在許多文獻中提出.Gluesing-Luerssen等[5]給出了一類強MDS卷積碼.最近,Guardia教授[7~10]根據(jù)Piret[6]提出的方法構造了MDS卷積碼以及量子MDS卷積碼并做了進一步的推廣;熊茂盛教授[11]研究了存儲級數(shù)為1的MDS卷積碼的構造,同時得到了更多的強MDS卷積碼.

        1 相關知識

        在這一節(jié)里,我們簡單地介紹一下負循環(huán)碼、duadic 碼以及卷積碼的基本知識和相關的概念.

        1.1 負循環(huán)碼和duadic碼

        wt(c)=|{j:cj≠0,0≤j≤n-1}|,

        常循環(huán)碼C的最小漢明距離d(C)定義為

        d(C):=min{wt(c)|c∈C,c≠0}.

        我們把碼字c=(c0,c1,…,cn-1)寫成多項式形式

        c(x)=c0+c1x+…+cn-1xn-1∈Fq[x],

        則C是λ-常循環(huán)碼當且僅當C是環(huán)R=Fq[x]/(xn-λ)中的一個理想.由于R的每個理想都是主理想,所以存在首相系數(shù)為1的多項式g(x)∈Fq[x],g(x)|(xn-λ),使得

        C=(g(x))=g(x)R={a(x)g(x)∈R:a(x)∈R},

        這也就是說,λ-常循環(huán)碼C和g(x)是一一對應的,我們稱g(x)為λ-常循環(huán)碼C的生成多項式,稱h(x)=(xn-λ)/g(x)為λ-常循環(huán)碼C的校驗多項式.設β為Fq的某個擴域的一個n次本原單位根,稱集合T={1≤i≤n-1:g(βi)=0}為C的定義集,βi稱為C的根或零點.顯然C由T唯一確定.

        對于以g(x)為生成多項式的長度為n,維數(shù)為k的q元的常循環(huán)碼C,g(x),xg(x),…xk-1g(x)構成C的一組Fq基.

        設g(x)=g0+g1x+…+gn-kxn-k(gn-k=1),則C的一個生成矩陣可以表示為

        設C的校驗多項式h(x)=h0+h1x+…+hk-1xk-1,則C的一個校驗矩陣可以表示為

        Duadic碼是循環(huán)碼中非常重要的一類,是二次剩余碼的推廣.Duadic碼分為兩種:even-like Duadic碼與odd-like Duadic碼.

        引理1.1.1[12]:(BCH界)設C=(g(x))是長度為n的循環(huán)碼,gcd(q,n)=1.設β為Fq的某個擴域的一個n次本原單位根,若對某一正整數(shù)l,g(x)的根為βl+i,i=1,2,…,d-1,其中d-1≤deg(g(x)),則碼C的最小漢明距離至少是d.

        引理1.1.2[12]:(singleton界)若存在參數(shù)為[n,k,d]的q元碼C,其中1≤d≤n-1,則n≥k+d-1.若等號成立,稱C為MDS碼.

        1.2 卷積碼

        定義 1.2.1比率為k/n參數(shù)為(n,k,γ;m,df)q的卷積碼V是Fq[D]n的一個子模,它可由多項式矩陣G(D)生成,G(D)=(gij)∈Fq[D]k×n為一個基本不可約的矩陣,即

        V={u(D)G(D):u(D)∈Fq[D]k},

        在上面的定義中,元素v(D)=(v1(D),v2(D),…,vn(D))∈Fq[D]n的重量定義為

        其中wt(vi(D))表示vi(D)的非零系數(shù)的個數(shù).若考慮洛朗級數(shù)域Fq((D)),定義u(D)的重量為

        wt(u(D))=∑i∈Zwt(ui(D)).

        如果存在無窮漢明重量的u(D)k∈Fq((D))k,使得u(D)kG(D)的漢明重量有限,我們稱生成矩陣G(D)為catastrophic.本文里,我們構造的卷積碼都是noncatastrophic.

        V⊥={u(D)∈Fq[D]n|=0,?v(D)∈V}.

        2 新的卷積碼的構造

        在這一節(jié)里,我們將利用代數(shù)的方法從循環(huán)duadic碼和負循環(huán)duadic碼來構造新的卷積碼.首先我們給出一個引理.

        (a) 矩陣G(D)是卷積碼V的一個基本不可約的矩陣.

        2.1 由循環(huán)duadic碼構造新的卷積碼

        2.2 由負循環(huán)duadic碼構造新的卷積碼

        引理 2.2.1[15]令s∈{1,2,…,2n-1}且(s,2n)=1.設q≡3(mod4)且n為oddlyeven,則存在多項式A(x),B(x)和置換

        使得

        xn+1=A(x)B(x)(x2+1),

        這里μs(A(x))=(B(x)),μs(B(x))=(A(x)).令

        C1=<(x2+1)A(x)>,C2=<(x2+1)B(x)>,D1=,D2=

        則C1,C2是一對even-like負循環(huán)duadic碼,D1,D2一對odd-like負循環(huán)duadic碼.

        定理 2.2.2 設p,q為不同的奇素數(shù)且q≡3(mod4).令n=2pt,(n,q)=1.設r為q模n的乘法階,如果2

        證明:由[15,定理8]可知:

        x2pt+1=λA(x)A*(x)(x2+1),

        其中λ∈Fq,A(x)∈Fq[x],A*(x)為A(x)的互反多項式.令

        C1=<(x2+1)A(x)>,C2=<(x2+1)A*(x)>,

        D1=,D2=,

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