林良斌

【摘要】高中立體幾何是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和邏輯思維能力的重要載體，在高考試卷中，以立體幾何為載體的試題，一般有兩種形態(tài)，一個是靜態(tài)的，通過靜止幾何體的一些點線面的關(guān)系通過推理得到另一些點線面間的關(guān)系，這種題目相對比較固定，學(xué)生們通過訓(xùn)練就能基本得到分數(shù);另一類就是動態(tài)的，在原來固定幾何體的線、面上加入了若干動點或動直線，讓靜止的東西運動起來，這樣的考題更加靈活，更富變通性，對學(xué)生來說，解決這類問題對其空間想象能力、邏輯推理能力的要求更高，這類問題往往把立幾知識和其他部分的知識有機地結(jié)合起來，難度一般比較大，解決問題的關(guān)鍵就是轉(zhuǎn)化與化歸，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的降維處理，經(jīng)過這樣處理以后，這個問題就變成平面問題，再按照平面問題的方法來解決.本文將從降維的角度來剖析這類問題轉(zhuǎn)化策略.

【關(guān)鍵詞】立體幾何;動態(tài)問題;轉(zhuǎn)化策略

一、引 言

新課標高考題對立體幾何的考查有關(guān)直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系及其度量的問題，在學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)和發(fā)展考生的數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理、直觀想象能力和運算求解素養(yǎng)，體會數(shù)學(xué)研究方法的模式化特點，感受理性思維的力量，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

二、立體幾何動態(tài)問題從空間到平面的轉(zhuǎn)化分析

空間直觀想象能力是對空間形式的觀察、分析、抽象的能力.要在立體幾何學(xué)習(xí)中形成.縱觀近幾年全國及各省高考試題，對立體幾何中的動態(tài)問題的考查逐年加重，要求學(xué)生要有較強的空間想象力和準確的計算運算能力，才能順利解答.從實際教學(xué)和考試來看，學(xué)生對這類題看到就頭疼.分析原因，首先是學(xué)生的空間想象力較弱，其次是學(xué)生對這類問題沒有形成解題的模式和套路，以至于遇到類似的題目便產(chǎn)生畏懼心理.

（一）通過作點到面的垂線把點面距離轉(zhuǎn)化為點線距離

例1 空間點到平面的距離如下定義：過空間一點作平面的垂線，該點和垂足之間的距離即為該點到平面的距離.平面α，β，γ兩兩互相垂直，點A∈α，點A到β，γ的距離都是3，點P是α上的動點，滿足P到β的距離是到P到點A距離的2倍，則點P的軌跡上的點到γ的距離的最小值.

很多學(xué)生看到這道題目時，都被這個復(fù)雜的題目嚇到，都不知道該如何下手，于是筆者指導(dǎo)他們先把圖畫出來，等他們把圖畫出來以后，一些人就會從A往直線a，b引垂線，進而發(fā)現(xiàn)點A到β，γ的距離就是A到a，b的距離，如果還有沒發(fā)現(xiàn)的人，筆者就指導(dǎo)他們做垂線，進而讓他們證明與發(fā)現(xiàn)，這個過程從表面上來看是很自然的過程，但對一些空間想象能力較差的學(xué)生來說就比較困難，這就需要教他們怎么把問題進行轉(zhuǎn)化與化歸處理.

評析 本題中把空間中另一個平面β內(nèi)的兩條線段的長度比，通過三角形的相似比把空間中的兩條直線的長度之比映射轉(zhuǎn)移到平面α內(nèi)的兩條線段的比，進而通過平面幾何的方法來解決問題.

三、拓展思考

在這類立體幾何問題中，三維空間點線面與二維平面的點線本質(zhì)上就是映射關(guān)系，例如，投影變化，一個幾何體在一個平面上的投影，點投成點，線可以投成點，也可以投成線，面可以投成線也可以投成面，不同的映射關(guān)系把空間三維中的點面關(guān)系映射為二維平面的點線關(guān)系，但通過這樣的映射關(guān)系，點線面之間保留了原來相對有規(guī)律的位置關(guān)系，比如，求異面直線夾角時，我們經(jīng)常通過平移變換把原本異面的直線移動到同一個平面內(nèi)，這個過程中就保持了線線夾角的不變，再通過余弦定理就可以輕松求出異面直線的夾角.

把空間三維問題轉(zhuǎn)變成平面二維問題的降維處理，一般需要三個步驟，一就是搞清楚立體圖形間的線線，線面，面面之間的位置關(guān)系;二就是把三維中的幾何元素間的關(guān)系通過一定的映射關(guān)系對應(yīng)到一個平面內(nèi)幾何元素間的關(guān)系，三就是利用平面幾何等相關(guān)的知識解決問題.這個過程中實現(xiàn)了由未知到已知，由陌生到熟悉的轉(zhuǎn)變，大大提高學(xué)生的解題興趣和效率.

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