馮春花

[摘? 要] 數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要教給學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，而且還要揭示獲取知識(shí)的思維過(guò)程. 我們要重視發(fā)現(xiàn)的過(guò)程和知識(shí)形成的過(guò)程，這樣更能加深對(duì)結(jié)論和知識(shí)的記憶與理解. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維過(guò)程，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的參與過(guò)程，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的合作交流的過(guò)程，是整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的提高過(guò)程和生成的過(guò)程.

[關(guān)鍵詞] 參與;合作;過(guò)程;生成

思維是人腦對(duì)客觀事物的一般特殊性和規(guī)律性的一種間接的、概括的反映過(guò)程. 數(shù)學(xué)思維是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象（空間形式、數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系等）的本質(zhì)屬性和內(nèi)部規(guī)律的間接反映，并按照一般思維規(guī)律認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理性活動(dòng).

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要教給學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，而且還要揭示獲取知識(shí)的思維過(guò)程. ”因而我們要重視發(fā)現(xiàn)的過(guò)程和知識(shí)形成的過(guò)程，這樣更能加深對(duì)結(jié)論和知識(shí)的記憶與理解.

理科學(xué)習(xí)重在平日，不適于突擊復(fù)習(xí). 平日學(xué)習(xí)最重要的是課堂45分鐘，聽(tīng)講要聚精會(huì)神，思維緊跟老師. 同時(shí)要說(shuō)明一點(diǎn)，許多學(xué)生容易忽略老師所講的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法，而注重題目的解答，其實(shí)諸如化歸、數(shù)形結(jié)合等思想方法遠(yuǎn)遠(yuǎn)重要于某道題目的解答. 這也就是一堂課該有的生成過(guò)程.

接下來(lái)筆者以“圓周角”一課為例，做具體說(shuō)明.

課前設(shè)計(jì)說(shuō)明：（1）讓數(shù)學(xué)思想方法滲透在課堂教學(xué)之中，本課引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想方法，將圓周角的度數(shù)與所對(duì)弧的度數(shù)之間的關(guān)系迎刃而解. 培養(yǎng)學(xué)生在分類討論時(shí)，要全面，同時(shí)要注重教學(xué)與實(shí)踐相結(jié)合的辯證唯物主義思想，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí). （2）本課設(shè)計(jì)時(shí)，貼近學(xué)生，注重課堂上讓學(xué)生主動(dòng)參與和合作交流，關(guān)心交流的過(guò)程，因?yàn)檫^(guò)程比結(jié)論更重要.

重視定理或結(jié)論的合作交流過(guò)程和推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)過(guò)程

步驟1：（1）復(fù)習(xí)回顧，什么叫圓心角及圓心角的特征，接著請(qǐng)一位學(xué)生上來(lái)在已畫好的圓上任畫一個(gè)圓心角;（2）如何確定圓心角的大??？

學(xué)生甲：用量角器直接量出.

老師：此方法可行嗎？說(shuō)說(shuō)你們的理由. 下面以小組為單位交流，是否有更好的辦法？

學(xué)生乙：此法可行，而且比較直截了當(dāng)，也容易操作.

學(xué)生丙：此法可行，但有不利的一面，就是在度量時(shí)容易產(chǎn)生誤差.

老師：圓心角是一種比較特殊的角，能否根據(jù)圓中的其他量來(lái)確定圓心角的大小呢？請(qǐng)大家繼續(xù)交流.

不一會(huì)兒有一組學(xué)生經(jīng)過(guò)交流，有了發(fā)現(xiàn)：圓心角的大小與它所對(duì)弧的度數(shù)是一樣的. 大家都投去贊許的眼光，筆者請(qǐng)?jiān)撔〗M的學(xué)生來(lái)解釋這個(gè)問(wèn)題.

（一個(gè)學(xué)生操作，一個(gè)學(xué)生解釋. 如圖1）

將☉O的圓周六等分，得======60°，沿6條半徑剪開(kāi)，將圓分成6份，每份拼在一起正好能完全重合，說(shuō)明∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOA=60°，即圓心角∠AOB= 的度數(shù). （對(duì)此，其他學(xué)生和筆者都給予了該組學(xué)生贊許的眼光. ）

重視對(duì)概念的形成和辨析過(guò)程

首先對(duì)于規(guī)律、定理，不僅要知其然，還要知其所以然，做到刨根問(wèn)底，這便是理解的最佳途徑. 其次，學(xué)習(xí)任何學(xué)科都應(yīng)抱著懷疑的態(tài)度，尤其是理科. 對(duì)于老師的講解、課本的內(nèi)容，有疑問(wèn)應(yīng)盡管提出，與老師討論. 總之，思考、提問(wèn)是清除學(xué)習(xí)隱患的最佳途徑.

在教學(xué)中，對(duì)于一些概念、定義，若直接給出結(jié)果，則收益很小，不如讓學(xué)生注重自我發(fā)現(xiàn)，在錯(cuò)誤辨析中加強(qiáng)記憶，通過(guò)舉例子、打比方等方法，加深理解.

步驟2：由圓心角的特征，（1）請(qǐng)學(xué)生畫出一個(gè)圓周角，（2）說(shuō)出什么叫圓周角，（3）指出圓周角的特征.

基本上所有學(xué)生都能準(zhǔn)確畫出一個(gè)圓周角，但關(guān)于定義有兩種分歧，即頂點(diǎn)在圓周上的角是圓周角和頂點(diǎn)在圓周上且兩邊與圓相交的角是圓周角. 經(jīng)過(guò)小組交流、探討，看書本第49頁(yè)4張圖形，最后達(dá)成共識(shí)，即頂點(diǎn)在圓周上且兩邊與圓相交的角是圓周角. （最后指出，以圓心為頂點(diǎn)畫一個(gè)角，則兩邊永遠(yuǎn)與圓相交，因而圓心角的條件只要滿足頂點(diǎn)在圓心即可. ）

注重教師的引導(dǎo)過(guò)程，做到形

散神收

數(shù)學(xué)課畢竟不是活動(dòng)課和勞動(dòng)課，新課程注重學(xué)生的活動(dòng)和參與，但若不加以引導(dǎo)，那么有可能會(huì)脫離主題甚至脫離實(shí)際，離開(kāi)數(shù)學(xué)這個(gè)軌道. 要提高學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，必須嚴(yán)格要求，加強(qiáng)訓(xùn)練. 落實(shí)到孩子學(xué)習(xí)生活中去，就是要求在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)從基本理念開(kāi)始，做到在思路清晰的前提條件下穩(wěn)扎穩(wěn)打，逐步深入，在這個(gè)相對(duì)來(lái)說(shuō)緩慢的過(guò)程中養(yǎng)成思考問(wèn)題周密的思維習(xí)慣，在進(jìn)行論證推理時(shí)掌握足夠的理由作為依據(jù);在練習(xí)試題時(shí)善于留心題干中的隱蔽條件，做到形散神收.

步驟3：圓周角的大小與它所對(duì)的弧是否也存在著某種關(guān)系呢？

老師：為了研究它們內(nèi)在之間的關(guān)系，我們要學(xué)會(huì)猜想和分析，其中常用的方法是從特殊到一般的思想方法.

（如圖2，當(dāng)圓周角所對(duì)的弧是半圓時(shí)）

已知：在☉O中，AB為直徑，探索∠ACB與弧AB之間的關(guān)系.

分析：（先猜想，后著手說(shuō)明）由圖易猜得∠ACB=90°，

即∠ACB=的度數(shù).

學(xué)生說(shuō)明：（即如何說(shuō)明△ABC為直角三角形）

連接OC，則OA=OB=OC=R，

所以∠A=∠ACO，∠B=∠BCO.

又∠A+∠B+∠ACB=180°，

所以∠ACO+∠BCO+∠ACO+∠BCO=180°，

所以∠ACO+∠BCO=90°，

即∠ACB=90°.

歸納：①當(dāng)圓周角所對(duì)的弧是半圓時(shí)，可知圓周角的度數(shù)就等于它所對(duì)弧度數(shù)的一半;

②半圓所對(duì)的圓周角為直角，反之也成立;

③直徑所對(duì)的圓周角為直角，反之也成立;

④此方法是證明一個(gè)三角形為直角三角形的常用方法，即一邊上的中線等于這邊的一半時(shí)，此三角形為直角三角形.

注重學(xué)生的主動(dòng)參與和合作交流的過(guò)程

只有學(xué)生主動(dòng)參與結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，才更有利于知識(shí)的記憶和理解，通過(guò)學(xué)生自己的分析、猜想、探索、合作、交流、綜合、歸納，不斷提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，同時(shí)也加強(qiáng)了學(xué)生之間互幫互助的美德，在學(xué)習(xí)的同時(shí)也學(xué)會(huì)與人相處.

步驟4：分析一般情況.

老師：這只是一種特殊情況，要是一個(gè)圓周角所對(duì)的弧不是半圓呢，它又會(huì)有什么結(jié)論呢？請(qǐng)大家畫圖，并進(jìn)行小組討論. （不過(guò)多久，各組上的學(xué)生就開(kāi)始紛紛舉手，筆者請(qǐng)其中一組同學(xué)說(shuō)明他們的發(fā)現(xiàn)，展示他們的成果. ）

（一位學(xué)生畫出圖形，一位學(xué)生解釋，如圖3）

學(xué)生：仿照?qǐng)D2，我們畫出了圖3，區(qū)別在于圓周角∠ACB所對(duì)的弧AB不再是半圓. 但我們依然發(fā)現(xiàn)∠ACB=的度數(shù)，或者說(shuō)∠ACB=∠AOB.

理由是，連接OA，OB，OC，并延長(zhǎng)CO交☉O于點(diǎn)D，同理∠A=∠ACO，∠B=∠BCO，而∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO， 所以∠ACO+∠BCO=（∠AOD+∠BOD）， 即∠ACB=∠AOB=的度數(shù).

結(jié)論是，圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧度數(shù)的一半;或者說(shuō)等于它所對(duì)圓心角度數(shù)的一半.

（另一組學(xué)生中有人舉手說(shuō)，他們的結(jié)論下得過(guò)早，他們只說(shuō)明了圓周角所對(duì)的弧是劣弧是的情況，而圓周角所對(duì)的弧還有可能是優(yōu)弧. 如圖4，理由如上，不必詳述. ）

步驟5：看書，理解不同的說(shuō)明方法. （老師適當(dāng)點(diǎn)評(píng)）

（1）圓心O在圓周角∠CAB的一邊上時(shí)，如圖5：

易知∠CAB=∠ACO，∠COB=∠CAB+∠ACO，所以∠CAB=∠COB=的度數(shù).

即圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧度數(shù)的一半;或者說(shuō)圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)圓心角度數(shù)的一半.

（2）圓心O在圓周角∠CAB的內(nèi)部時(shí)，如圖6，結(jié)論同樣成立.

（3）圓心O在圓周角∠CAB的外部時(shí)，如圖7，∠CAD=∠COD，∠BAD=·∠BOD，所以∠CAD-∠BAD=（∠COD-∠BOD），即∠CAB=∠COB，結(jié)論同樣成立.

注重師生的歸納和點(diǎn)評(píng)過(guò)程

對(duì)學(xué)生盡可能加以肯定，讓學(xué)生充滿自信;同時(shí)點(diǎn)評(píng)要注意準(zhǔn)確性，要讓學(xué)生有所提高. 因?yàn)樵跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，學(xué)生要善于從已有的答案和解題過(guò)程中提煉出自己想要的東西，發(fā)表自己的見(jiàn)解. 不能一味盲從，要學(xué)會(huì)用批判性的思路去進(jìn)行各種方式的反思和檢驗(yàn). 就算思想上完全接受了，也要謀改善，提出新的想法和見(jiàn)解.

學(xué)生：不管用哪種說(shuō)明方法，都隱含了一種數(shù)學(xué)思想方法——從特殊到一般，以后要加以重視和運(yùn)用.

教師：大家都積極思考，主動(dòng)參與，而且發(fā)現(xiàn)了正確結(jié)論，老師很為你們高興，有你們這種討論和探索的精神，你們肯定會(huì)不斷進(jìn)步. 另外，我感到特佩服的是——你們不死讀書，你們發(fā)現(xiàn)結(jié)論的過(guò)程和書上是不一樣的，而你們的方法也非常簡(jiǎn)潔明了.

總之，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維過(guò)程，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的參與過(guò)程，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的合作交流的過(guò)程，是整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的提高過(guò)程和生成的過(guò)程.