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        連續(xù)函數(shù)的單調性與

        2019-09-10 07:22:44何俊
        海外文摘·學術 2019年24期
        關鍵詞:單調性

        何俊

        摘要:本文證明對于定義在單個區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),其嚴格單調性與一一對應性是等價的,并以此為基礎對教材上的反函數(shù)連續(xù)定理及反函數(shù)導數(shù)定理稍作改進。

        關鍵詞:連續(xù)函數(shù);單調性;一一對應;反函數(shù)

        中圖分類號:O151 文獻標識碼:A ? 文章編號:1003-2177(2019)24-0067-02

        0引言

        函數(shù)的單調性與一一對應性是我們非常熟悉的概念,中學數(shù)學中就開始涉及。為行文方便,現(xiàn)將其定義敘述如下:

        顯然,嚴格單調必定一一對應,但反之不然。例如f(x)= 在定義域上是一一對應的,但不是嚴格單調的。又如f(x)= 在定義域上也是一一對應的,但不是嚴格單調的,甚至在任何一個區(qū)間上都不是嚴格單調的。

        而本文要指出的是,對于單個區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)而言,一一對應和嚴格單調這兩個概念是等價的。

        在現(xiàn)行的大多數(shù)數(shù)學分析與高等數(shù)學教材中,關于反函數(shù)的連續(xù)性定理以及反函數(shù)的導數(shù)定理,定理條件中均要求函數(shù)是嚴格單調的,定理的完整敘述如下。

        首先我們要注意到,一方面,這兩個定理主要是為了證明初等函數(shù)的連續(xù)性以及對初等函數(shù)求導,就這個目的而言,嚴格單調的要求并不高;另一方面,假設函數(shù)是嚴格單調的,會讓證明過程簡潔得多。正是出于這兩個考慮,所以現(xiàn)行教材上大多采用這個版本。但是就理論的嚴謹性而言,我們也要知道,嚴格單調這個條件是多余的。下文我們將證明定義在單個區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)只要有反函數(shù),則必定是嚴格單調的。

        參考文獻

        [1]費為銀,王傳玉,項立群,等.高等數(shù)學[M].合肥:中國科學技術大學出版社,2018.

        [2]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析[M].北京:高等教育出版社,2010.

        (編輯:楊梅)

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