鄭義富

【摘要】數(shù)學是一門需要敏銳感覺的學科。數(shù)學理解要憑借數(shù)感，要從感覺上把握數(shù)學現(xiàn)象。培養(yǎng)學生形成“數(shù)感”應作為小學數(shù)學課程教學主要目標。教者對數(shù)學教學內容的認識視閾，決定學生可能理解的程度以及數(shù)感發(fā)展的深度、廣度及敏銳性。在“乘法的初步認識”教學中應“注重縱橫關聯(lián)，發(fā)展數(shù)感的廣度；夯實思維基礎，發(fā)展數(shù)感的深度；順應認知心理，發(fā)展數(shù)感的悅納度。”

【關鍵詞】小學數(shù)學；乘法教學；數(shù)感

我們通常認為數(shù)學是一門講求邏輯嚴密的學科。但是小平邦彥，這位菲爾茲獎、沃爾夫獎、日本文化勛章得主的當代著名數(shù)學家，認為“雖然數(shù)學要遵循邏輯，但數(shù)學在本質上與邏輯不同”。他篤定，數(shù)學是一門需要敏銳感覺的學問。數(shù)學理解要憑借數(shù)感，要從感覺上把握數(shù)學現(xiàn)象?！罢鐦犯胁缓玫娜藷o法理解音樂，數(shù)感不好的人同樣無法理解數(shù)學。”這和我們一直以來對數(shù)學學習的基本認識不同。

以往，我們傾向于“只要通過努力教學數(shù)學的邏輯，再通過反復地練習，學生就會掌握數(shù)學?！比绻麑W生學習成績不理想，我們就會懷疑自己的教學方式方法是否有效，并企望通過改進教學以及加大練習強度來促進學生數(shù)學水平的提升。但是，如果數(shù)學學習更依靠“數(shù)感”而不是學科知識體系內在的邏輯，那么，我們的教學重心就要調整了。相信贊同小平邦彥的數(shù)學老師應該不少。我們在教學中也的的確確有過這樣的“閃念”，只不過礙于可能會給學生“貼標簽”，所以不愿“直視”問題。小平邦彥甚至深信那些在數(shù)學上有所成就的人都是因為“數(shù)感”得到了良好的發(fā)展。他認為“數(shù)學家對于數(shù)感并不自知，數(shù)感應該是人類進化過程尚未被開發(fā)的感覺。”從這一點來講，數(shù)感的重要性就不僅僅是學好數(shù)學了，而是關系到人類自身的進步，關乎人腦的開發(fā)與進化。在小學階段，教師建立起對數(shù)感的正確認識必然有助于提升學生數(shù)學思維能力，繼而培養(yǎng)并發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)。那么，在小學數(shù)學教學中該如何發(fā)展學生的數(shù)感？本文試圖以“乘法的初步認識”為例，闡述筆者對于數(shù)感發(fā)展的認識，并提出相應的教學策略。

一、發(fā)展數(shù)感是計算教學的主要目標

“數(shù)感”一詞在“義務教育數(shù)學課程標準”中被解讀為“關于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關系、運算結果估計等方面的感悟”英國教育家茱莉亞·安吉來瑞指出，“數(shù)感指的是一個人對數(shù)字和運算的一般理解力，以及靈活應用這種理解力的傾向和能力，用這種方式可以做出明智的數(shù)學判斷，并開發(fā)出應用數(shù)字和運算法則的有效策略。”由此可見，相對于其他知識板塊，與數(shù)感關聯(lián)最為緊密的應是計算教學部分。數(shù)感的發(fā)展與運算能力的提升是相互促進的：一方面，運算能力的發(fā)展標志著數(shù)感的增強；另一方面，數(shù)感的形成是計算教學的基礎，發(fā)展數(shù)感必然會促進運算能力的提升。數(shù)感的培養(yǎng)與發(fā)展毫無疑問是計算教學的主要目標。有學者甚至認為，包括小學階段在內的初等教育階段的數(shù)學教學都不是為了片面地講授數(shù)學各個領域的知識，而是為了培養(yǎng)數(shù)學思考能力和數(shù)感。21世紀的生活所必須的技能和理解力之一就是對數(shù)字模式和數(shù)字關系的辨認，這些模式和關系是數(shù)字運算的重點。目前，已有多個國家基于這一認識開展數(shù)學課程改革。在全球課程改革中，美國學校數(shù)學課程與評估標準和全澳學校聲明最為典型，它們都是把培養(yǎng)學生形成“數(shù)感”作為學校課程教學主要目標。認為“數(shù)感”意味著計算策略中的“靈活性”和“創(chuàng)造性”。

二、“乘法的認識”教學中發(fā)展數(shù)感的基本策略

1.延展“乘法”認識視閾

教者對教學內容的認識視閾，決定學生可能理解的程度以及數(shù)感發(fā)展的深度、廣度及敏銳性。過去我們經(jīng)常說“要想給學生一碗水，教師必須要有一桶水”。以單純的知識教學和能力發(fā)展的角度來看，這一描述并不為過。在“乘法的認識”教學活動開展前，教者有必要下下功夫，盡可能地延展自己對此內容的認識視閾。那么，打開視野之后再去審視“乘法”，可以看到哪些層面呢？

①“乘法”是“求幾個相同加數(shù)的和的簡便運算”。這是我們最為基本的一個認識。這一“說法”至少傳遞了幾個信息：一是，乘法實際上就是一種特殊的加法；二是，乘法是一種簡便運算的形式；三是，多個相同加數(shù)求和就可以用乘法計算。在這種對乘法的“感知”中，乘法可以理解為加法計算的一種特定模型，或者說是加法的一種快捷計算方式?？梢宰鳛榉磸妥黾臃ǖ囊粋€簡短的縮寫形式。也可以理解為一種自動化的計算程序，其“效率”就如使用算盤等計算工具一樣。由此拓展開來，乘法在自然數(shù)域、整數(shù)域、有理數(shù)域、實數(shù)域乃至虛數(shù)域都被賦予了不同的運算意義。

②“乘法”用來表示一個數(shù)量多次“復制”的結果。這一理解已經(jīng)突破了“加結構”的認識，將有助于學生理解“倍”的概念。

③“乘法”是矩形面積的求積方式。這種理解可以幫助學生建立乘法結構的直觀表象。有研究表明，乘法就是為了矩形面積求積而“誕生”，并非是“加法”直接“升華”。

④“乘法”就是因變量與幾個自變量的正比關系。這是代數(shù)思維的認識，對中學階段學習函數(shù)有一定幫助。

⑤“乘法”是一種概率問題的解答模式。如“乘法原理”類問題、“搭配”問題、“排列組合”問題等。

⑥從哲學角度解析，“乘法”是加法的量變導致的質變結果。

2.注重縱橫關聯(lián)，發(fā)展數(shù)感的廣度

《數(shù)學學習的心理基礎與過程》一書中轉述了格里爾等學者的教學主張。認為“算術運算教學應該關聯(lián)到不同情境。教師應該聚集在如何有組織地布置不同類型的文字題，兒童經(jīng)過真正的解題，建構與發(fā)展有意義的運算與解題策略，逐步建構運算意義。筆者認為，“關聯(lián)”可能是數(shù)感強弱最為關鍵的體現(xiàn)了?！瓣P聯(lián)”既包括橫向的，即多種應用情境的互相關聯(lián)。也包括縱向的，即新舊知識的關聯(lián)。關聯(lián)程度越強、角度越開放，說明發(fā)散思維能力就越強。

①建立新舊知識的關聯(lián)。茱莉亞.安吉來瑞試圖辨別出數(shù)感的典型特征，她強調“學生具有數(shù)感的典型特征是他們能對所遇到的數(shù)字模式和計算過程做出歸納，并能把新知識和已有知識相聯(lián)系?！痹凇俺朔ǖ某醪秸J識”教學中，很多老師會不自覺地忽視了加法的計算過程，認為學生已經(jīng)不需要具體的“計算”了。如“5+5+5”，加法的計算過程一般為：先算前兩個“5”相加得到“10”，再和第三個“5”相加得到15。切莫因為“多數(shù)”學生能夠“脫口而出”就忽略了這一“連續(xù)加”的思考過程。在認識“乘法”的初始階段，非常有必要讓學生思考并且要準確表達這一過程，以期后續(xù)對乘法進行“轉化”，并形成新概念的“凝聚”。鄭毓信教授在《數(shù)學思維與小學數(shù)學》一書中這樣闡釋：所謂“凝聚”，籠統(tǒng)地說，就是由“過程”向“對象”的轉化。就心理表征而言，是由一個包含多個運作過程凝聚成了單一的數(shù)學對象。

②建立多樣化的現(xiàn)實情境關聯(lián)。教學中還要設置多樣化情境，以期建立多種情境之間的關聯(lián)，豐富學生的乘法認知結構。那么，乘法有哪些現(xiàn)實的情境模型呢？

格里爾區(qū)分了應用整數(shù)乘法的四種主要情境：等組；倍數(shù)比較（比率系數(shù)）；矩形隊列；笛卡爾積。上述每種情境都可以用特定的方式對學生進行提問，在某種程度上，它們分別指向重復集合、多一對應、多行多列以及交叉對應。與此類似，劉加霞在《作為模型的乘法——對數(shù)學概念多元表征的思考》一文中，借鑒福賴登塔爾、格里爾等人的研究，也概括了乘法的幾種現(xiàn)實情境模型，包括：等量組聚集、矩形模型、映射模型、配對模型、倍數(shù)模型以及其他幾種現(xiàn)實模型。以下為筆者根據(jù)該文進行的分類并舉例。

A.等量組聚集。即我們通常所說的“相同數(shù)連續(xù)加”或“求幾個幾的和”。這一類現(xiàn)實情境比比皆是。但在情境創(chuàng)設時要突出“聚集”，不能生硬地“求和”，盡可能避免無具體情境的枯燥的算式，如“3+3+3+3+3”，這不會讓學生產(chǎn)生任何有益的思考，即使能熟練計算也意義不大。但，下面這樣的例子就會促進學動腦筋去“構造畫面”，也就是在頭腦里“演”一變。教師也可以借助“圖示”或課件演示。如“每個學習小組有5名小朋友，當一組中的同學全部完成學習任務后會端正坐好?，F(xiàn)在有1組小朋友完成了任務，接著另1組完成任務，最后又兩組完成了，那么已經(jīng)完成任務的各個小組共有多少小朋友？

B.矩形模型。如“計算寬4厘米、長5厘米的長方形面積”。可以結合“格子圖”直觀演示。即4排小正方形，每排5個，每個1平方厘米。這個長方形面積就是5×4=20（平方厘米）。

C.映射模型。一般是“多一映射”。如，一只貓有4只爪子，5只貓有多少只爪子？列算式為5×4=20（只）。

D.配對模型。如“有4件上衣，5件褲子，能搭配多少套衣服？”5×4=20（套）。

F.倍數(shù)模型。如“小明今年5歲，哥哥的年齡是小明的4倍，哥哥今年幾歲？”5×4=20（歲）。

G.其他幾種現(xiàn)實模型。包括：速度——時間模型；單價——數(shù)量模型；工時——工效模型；密度——體積模型等。如“一本書5元，4本這樣的書共多少元？”列算式5×4=20（元）。這就是單價——數(shù)量模型。

上面的例子中，雖然計算形式相同，但其蘊含的現(xiàn)實意義大不相同。教學中，可以通過設置不同的現(xiàn)實情境，呈現(xiàn)“乘法”的多元化表征，促進其對乘法意義的理解，發(fā)展數(shù)感的廣度。

③夯實思維基礎，發(fā)展數(shù)感的深度。乘法的表征是多元的，乘法的現(xiàn)實模型又是多樣的，那么教學中是否需要面面俱到平均發(fā)力呢？很顯然不可以。必須要緊緊圍繞基礎核心的思維模型，借助最為直觀的表征形式發(fā)展數(shù)感的深度，使學生對數(shù)學的理解更加透徹更為深刻。在“乘法的認識”教學過程中，要找準切入點進行深挖深耕，努力使學生建立起對乘法本質的直接領悟和洞察能力。

④等量組聚集模型是乘法的基礎模型

乘法從本質上講并不是特殊加法的簡化形式。從加法到乘法不僅僅是計算形式的變化，更重要的是認知結構的變化。有研究者認為，小學生的數(shù)學認知結構主要是加法結構和乘法結構，而乘法結構是在加法結構基礎上的高層次認知結構，是最重要的結構。對乘法的認識顯然不能只停留在記住一個形式化的定義。

因此，我們就要在“定義化”的基礎上強化“思維路徑”。這一思維路徑應該是那種簡單易懂且具有基礎性的。那么，哪一種思維模型才是乘法的基礎性模型呢？努涅斯和布萊恩特認為，學生遇到的最簡單的乘法形式可能是這樣一種情況，即包含了兩個集合之間的多一對應關系（如1輛車有4個輪子），這種對應關系與比率或比率系數(shù)有關，這是乘法思維的基礎而不是加法思維基礎。與“重復加”進行比較，這一思維更加復雜。閆云梅等學者在《小學階段乘法的不同現(xiàn)實模型分析與教學建議》一文中對人教版教材中乘法不同模型進行了梳理，發(fā)現(xiàn)“一步乘法的現(xiàn)實情境問題共計307個，其中等量組聚集模型問題有148個，占總數(shù)的48.2%，印證了等量組的聚集模型是基礎的乘法模型，是學生學習乘法的第一個模型，也是學生接觸最多的模型?！惫P者進一步提出建議，應“突出等量組聚集模型在乘法概念建構中的基礎作用”，并“通過多種表征方式相互轉換，如動作表征、語言表征、圖形表征、符號表征等，實現(xiàn)對等量組聚集模型的一般化認知，達到對乘法概念的初步理解。”再者，對等組的數(shù)字結構進行強化還有一個重要作用，就是促使學生試著選擇對什么“數(shù)字”進行疊加。這有利于培養(yǎng)解決問題所必須的靈活性，并在后續(xù)學習中會進行與舊知之間主動的“關聯(lián)”。比如，在學習乘法交換律時，這些等組的例子，或者多行多列的圖表，會讓學生們產(chǎn)生“會心的一笑”。

⑤強化“矩形面積”模型的直觀特性

費斯賓等人的研究主張：“每一種算術基本運算，一般都結合著一個隱藏的、潛意識的、原始的直觀模式，當解一個含有兩項數(shù)值資料的應用問題時，對運算的選擇并非直接發(fā)生，而是通過一個中介模式（原始直觀模式）來發(fā)生，且這個模式會對選擇過程加以一些限制。

“多行多列”或“矩形面積”的模式應該就是乘法的原始直觀模式。一般情況下，乘法的“幾何解釋”往往使得學生感覺到容易理解。但老師們可能存在一個誤區(qū)，“矩形面積計算”與“乘法的算術表達”在數(shù)學史上誰先誰后？事實上，“將兩個數(shù)的乘積解釋為一個矩形的面積具有悠久的歷史。直到笛卡爾時代，這都是理解數(shù)的乘法的唯一方式。只是在1600年左右，笛卡爾提出乘法也可以作為一個獨立于幾何的抽象概念，乘法才開始純粹地作為數(shù)與數(shù)之間的一個運算被廣泛接受。矩形模型具有形象、直觀的特點，不但為學生理解等量組的聚集模型提供了直觀表象，而且還可以進一步推廣用來理解分數(shù)乘法的算理。在學生初步認識乘法時，教師就可以通過圖形排列的方式的變化，為正式建立矩形模型奠定基礎。將乘法與矩形面積進行關聯(lián)，對于發(fā)展學生數(shù)感意義深遠。比如在后續(xù)接觸到乘法分配律時將會感受到先前的“滲透”之功用。

三、順應認知心理，發(fā)展數(shù)感的悅納度

1.關注數(shù)學文化的滲透，涵養(yǎng)學生文化底蘊

每一處數(shù)學知識都不是冰冷生硬的，都會留有歷史的溫度?！俺朔ā边@部分內容中的關鍵材料“九九乘法表”就承載著無數(shù)古代圣哲先賢的“智慧”。據(jù)史料，“九九歌”遠在春秋戰(zhàn)國時期即被廣泛使用，最初的九九歌是從“九九八十一”開始到“二二得四”共36句。這是“小九九”，還有81句的“大九九”。一直到現(xiàn)在，人們在生活中也經(jīng)常會以“小九九”這個詞表示某人的“謀略”或“心機”，這就是一種文化的烙印。隨著學習的深入，教師還可以幫助學生進一步涵養(yǎng)多元數(shù)學文化觀。例如，可以和學生一起了解“中國算盤中的乘法、埃及連續(xù)加倍運算的乘法、俄羅斯古老的乘法算法、格子乘法、納皮爾乘法”等。

2.注重材料的趣味性，培養(yǎng)學生數(shù)學學習興趣

數(shù)學思考，并非是絞盡腦汁的思考，而是憑借數(shù)感享受數(shù)學的樂趣（小平邦彥）。數(shù)學學習困難的一個間接但很普遍的原因就是學生沒有感受到數(shù)學學習樂趣。因此，教師必須要“絞盡腦汁”增強教學的趣味性。但是，這里所強調的“趣味”不能簡單的等同于游戲活動等“有形”的趣味化，相比之下，我們更要挖掘數(shù)學材料本身的“趣味”。比如，在認識“×”號的時候，與其冗長地介紹乘號的來歷，講一些歷史故事等，不如賦予“乘號”以“新意”，并找到一定的關聯(lián)?；诖耍环涟选啊痢笨醋鳌皾L動著的加號”。在教學素材的選擇上也是如此，近年來各種版本的教材都比較注重“趣味性”，如以“螞蟻做操”為問題情境，借助直觀模型“點子圖”理解乘法算理，就比較直觀生動、易于理解。

當然，對于數(shù)感的培養(yǎng)除了要關注以上幾個特性，還應注意發(fā)展數(shù)感的精細性，鼓勵學生源自直覺的表達，發(fā)展數(shù)感的敏銳性等等。只是在小學階段“乘法”教學活動中要有一個輕重緩急的區(qū)分才好。

綜上，筆者舉隅“乘法”，梳理了對數(shù)感的認識和理解，并對發(fā)展數(shù)感提出一些實操建議。雖然筆者極力呼吁中小學教師們要重視學生數(shù)感培養(yǎng)，甚至認為“數(shù)感”是數(shù)學核心素養(yǎng)之核心。然而，也多少有一些擔憂，就是我們往往會“矯枉過正”，重視了數(shù)感卻又忽視了邏輯！毫無疑問，在數(shù)學教學中，數(shù)感與邏輯一定要“并駕齊驅”。鄭毓信教授在《數(shù)學思維與小學數(shù)學》一書中，已經(jīng)為我們指明了這一點。他說，我們的確應該通過數(shù)學學習發(fā)展學生數(shù)感。然而，作為問題的另一方面，我們應該清楚地看到數(shù)感的局限性。這表明了數(shù)學思維的思辨性質。應該明確肯定的是，在數(shù)學直覺與邏輯思辨之間存在著相互促進、相互依賴的辯證關系。這或許就像一枚硬幣的兩個面，抹平了任何一面，就不再是“幣”了。

參考文獻：

[1]（日）平邦彥.尤斌斌（譯）.惰者集——數(shù)感與數(shù)學[M].北京：人民郵電出版社，2017：2-17.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012：5.

[3]（英）茱莉亞﹒安吉來瑞.徐文斌（譯）.如何培養(yǎng)學生的數(shù)感[M].北京：北京師范大學出版社，2006.

[4]鮑建生，周超.數(shù)學學習的心理基礎與過程[M].上海：上海教育出版社，2009，253.

[5]鄭毓信.數(shù)學思維與小學數(shù)學[M].南京：江蘇教育出版社，2008，8.