汪慶康

摘要：文章介紹了線性微分方程的一些基本解法，針對不同類型的微分方程的解法，體現(xiàn)了常見微分方程的一般求解規(guī)律，從而尋找最優(yōu)求解法.

關鍵詞：線性微分方程;常數(shù)變易;積分因子;比較系數(shù);冪級數(shù)

中圖分類號：O1-O29? 文獻標識碼：A? 文章編號：1673-260X（2019）06-0003-03

1 引言

常微分方程不僅在數(shù)學科學領域起著重要作用，而且在其他領域也有著重要價值，許多情況下將實際問題轉(zhuǎn)化成微分方程進行求解，為我們解決問題帶來很大的方便，所以研究常微分方程對社會發(fā)展有重要意義和價值.

文章針對性的研究了不同類型線性微分方程的解題方法.首先，從解一階線性微分方程開始入手，敘述了一階線性微分方程的簡單解法，變量分離法、常數(shù)變易法和積分因子法;其次，分類探討了求解高階線性微分方程的方法，包括將解一階方程的常數(shù)變易法拓展到解高階方程，另外，給出了幾種求解高階線性微分方程特有的方法.

2 一階線性微分方程的解法

一階線性微分方程是微分方程的基礎，由以往的認知水平可以知道學習一個新的方程，必然要學習它的解法，只有掌握了基本知識，才可能學習好微分方程的解法，并且由一階微分方程的解法向高階微分方程解法的過度符合學生的思維邏輯，本節(jié)重點列舉了一階線性微分方程的幾種簡單解法，變量分離法，常數(shù)變易法和積分因子法.

2.1 變量分離法

由（1.2）分離變量得=P（x）dx，兩邊同時積分有l(wèi)n|y|= p（x）dx+c1，進一步得y=ce;顯然y=0是原方程的一個特解.故得原方程的通解為y=ce（c為任意常數(shù)）.

2.2 常數(shù)變易法

2.3 積分因子法

多數(shù)情形下積分因子求解過程是比較復雜的，由于本段討論的是線性微分方程的積分因子，所以令ψ（x）=，由文獻[2]可知積分因子u（x，y）只與x有關，這種情形只是求解積分因子的一個特例，從而由文獻[2]可以求出積分因子u=e.

利用積分因子法求解方程時，不需要知道（2.1）及其對應齊次方程的通解和特解之間的關系和性質(zhì)，而使用常數(shù)變易法求解方程，可能會有不能理解其中替換思想的，于是按上述步驟循序漸進地逐步求解，即使我們進一步理解線性微分方程的求解步驟，也使得我們在求解線性微分方程過程中有更多的選擇性，從而達到一題多解的效果，同時也使得我們更容易理解常數(shù)變易法，但是此方法涉及恰當方程的概念，所以總體內(nèi)容相對較難，另外，在求解積分因子的過程中技巧性較高，難度較大[3].

4 結(jié)論

在已有知識邏輯的基礎上，討論了線性微分方程的解法，主要是對已學知識的歸納和總結(jié)，有利于幫助我們理解微分方程相關內(nèi)容，構(gòu)建完整的微分方程知識體系，提高我們的數(shù)學素養(yǎng).

解線性微分方程的過程是復雜多變的，需要選取適合自己認知水平的解題方法，掌握線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，特別需要考慮線性微分方程的特解問題.總之，通過對線性微分方程解法的探析，使我對微分方程有了更深層次的認識.

參考文獻：

〔1〕李秀榮，宋國華.線性微分方程的解法探析[J].北京建筑工程學院學報，2006（9）：51-53.

〔2〕王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松.常微分方程第三版[M].高等教育出版社，2006.

〔3〕魏明彬.一階線性微分方程的幾種解法和思路分析[J].成都師范學院學報，2014（7）：122-124.

〔4〕高仕學.淺談二階線性常系數(shù)微分方程的解法[J].中國校外教育中旬刊，2013（2）：57-57.

〔5〕高巧琴.二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法及教學[J].呂梁高等?？茖W校學報，2009（3）：6-8.

〔6〕郭冰怡.二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的解法[J].教育理論研究，2016（4）：17-17.

〔7〕塞蒙斯GF.微分方程.張理京譯[M].北京：人民教育出版社，1981.

〔8〕凱哥.高階常系數(shù)齊次微分方程的解法[J].研究與開發(fā)，2016（2）：26-28.

〔9〕丁同仁，李承治.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，1985.