胡旭東

摘要：求冪級數(shù)的和函數(shù)是級數(shù)學習的重點及難點內(nèi)容，找到一個突破口，以點帶面不失為一種尋求突破的好方法，這便是等比級數(shù) 。

關鍵詞：冪級數(shù) ；等比級數(shù)

冪級數(shù)是高等數(shù)學的重要內(nèi)容之一，它在工程問題中有著較為廣泛的應用，冪級數(shù)的應用和計算卻相對復雜，不易掌握.。找到一個突破口，以點帶面不失為一種尋求突破的好方法，這便是等比

級數(shù) 。以此為突破口，對研究函數(shù)項級數(shù)的收斂性判斷、求和等問題有獨到的作用，本文就此作簡要描述。

一、求冪級數(shù)的收斂半徑

利用冪級數(shù) 的收斂區(qū)間 容易理解 的收斂區(qū)間為 ，進而一步可以了知如下定理。

定理 1（柯西—阿達瑪定理） 設 ，

則冪級數(shù) 在 內(nèi)絕對收斂，在 內(nèi)發(fā)散。特別地，冪級數(shù) 在 內(nèi)絕對收斂，在 發(fā)散。這說明冪級數(shù) 在研究冪級數(shù)的收斂半徑上有

著重要的作用，可以讓初學者擺脫過度抽象帶來的負面影響。

二、求冪級數(shù)的和函數(shù)

定理2設冪級數(shù) 的收斂半徑是R，和函數(shù)為 ，那么（1） 在收斂域內(nèi)連續(xù)。（2）冪級數(shù)在收斂域上可積，并且可以逐項積分或求導，即： ，或 ，并且積分或求導后的級數(shù)不改變收斂半徑。

由此我們可以得到以下結(jié)論，這對于我們求冪級數(shù)和函數(shù)是大有幫助的。

推論 在 時，有如下結(jié)論：

（1） （2）

（3） （4）

（5） （5）

（7） （8）

（9） （10）

（11） （12）

上述變化可謂豐富多彩，對（1）兩端求導則生出（2），同理由（2）可以推出（3），對（1）兩端積分則有（4），將（1）到（4）中 替換成 就得到（5）至（8），把（1）（4）（5）中 替換成 則演化為（9）（10）（11），對（11）兩端積分便得（12）。如上真乃行云流水，嘆為觀止。

下面僅舉一例說明上述變換的運用。

例、求 的和函數(shù)，其中 。

解：當 時，次級數(shù)一致收斂且有和函數(shù)存在，設

，那么

，利用推論公式（4）可得，

綜上可見， 既是最簡單的冪級數(shù)，也是最重要的冪級數(shù)。

通過對此級數(shù)的收斂性及和函數(shù)的研究與拓展，可以對冪級數(shù)的學習起到重要作用，特別是對求冪級數(shù)和函數(shù)必不可少，這是突破冪級數(shù)和函數(shù)學習的關鍵。

參考文獻：

[1] 復旦大學數(shù)學系 《數(shù)學分析》（第二版） 高等教育出版社1983年11月第二版

[2] 《高等數(shù)學》 科學出版社 2011年2月第一版