郭志華，秦小雨，曹懷信

(陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安710119)

冪級(jí)數(shù)是數(shù)學(xué)分析的重要概念之一，在級(jí)數(shù)理論中具有極其重要的地位。關(guān)于一元冪級(jí)數(shù)的概念、收斂性及和函數(shù)等性質(zhì)已有一套成熟的理論［1］，而對(duì)于多元冪級(jí)數(shù)的相關(guān)概念和性質(zhì)研究甚少。多項(xiàng)式函數(shù)是一類結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、性質(zhì)良好的函數(shù)類，在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)中具有重要應(yīng)用［2－3］。在文獻(xiàn)［4］中，筆者引入了多元函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念，給出了其收斂域及和函數(shù)的定義，通過詳實(shí)的例子討論了多元冪級(jí)數(shù)的收斂域、和函數(shù)及多元函數(shù)展開為多元冪級(jí)數(shù)的計(jì)算方法。文獻(xiàn)［5］討論了二元冪級(jí)數(shù)收斂半徑的計(jì)算公式，但沒有明確給出二元冪級(jí)數(shù)收斂半徑的定義。文獻(xiàn)［6］討論了一個(gè)關(guān)于SP(n)的無窮級(jí)數(shù)的收斂性問題，文獻(xiàn)［7］研究了關(guān)于冪級(jí)數(shù)在自然數(shù)列中的應(yīng)用。

本文根據(jù)一元冪級(jí)數(shù)相關(guān)原理，通過探究二元函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念及收斂性，引出二元冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑等概念，給出收斂半徑的相關(guān)性質(zhì)，證明一些收斂和絕對(duì)收斂性定理，并以實(shí)例給出求解收斂半徑的方法。

1 二元函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1.1 二元函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念

設(shè){un(x，y)}是定義在區(qū)域D上的一個(gè)函數(shù)列，稱表達(dá)式

為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)的部分和。

1.2 二元函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性

定義1 若點(diǎn)P0=(x0，y0)∈D使得數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

收斂，即當(dāng)n→∞ 時(shí)，部分和

的極限存在，則稱二元函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)在點(diǎn)P0=(x0，y0)收斂，且稱點(diǎn)P0=(x0，y0)為級(jí)數(shù)(1)的收斂點(diǎn);若級(jí)數(shù)(3)發(fā)散，則稱級(jí)數(shù)(1)在點(diǎn)P0=(x0，y0)發(fā)散。若級(jí)數(shù)(1)在D的某個(gè)子集H上每一點(diǎn)都收斂，則稱級(jí)數(shù)(1)在H上收斂。若H為級(jí)數(shù)(1)全體收斂點(diǎn)的集合，則稱H為級(jí)數(shù)(1)的收斂域。此時(shí)，級(jí)數(shù)(1)在H上每一點(diǎn)P=(x，y)與其所對(duì)應(yīng)的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(3)的和S(x，y)構(gòu)成一個(gè)定義在H上的函數(shù)，稱為級(jí)數(shù)(1)的和函數(shù)，并寫作

即

2 二元冪級(jí)數(shù)

2.1 二元冪級(jí)數(shù)的概念

稱其為一個(gè)二元冪級(jí)數(shù)，其中常數(shù)

稱為該冪級(jí)數(shù)的系數(shù)。由定義知

例如，當(dāng)

時(shí)，相應(yīng)的二元冪級(jí)數(shù)為

2.2 二元冪級(jí)數(shù)的收斂性

類似于一元冪級(jí)數(shù)的收斂性定理，我們有下面關(guān)于二元冪級(jí)數(shù)的收斂性定理。

定理1 (1)若二元冪級(jí)數(shù)(6)在點(diǎn)P0=(x0，y0)≠(0，0)收斂，則當(dāng)

時(shí)，二元冪級(jí)數(shù)(6)收斂且絕對(duì)收斂;

(2)若二元冪級(jí)數(shù)(6)在點(diǎn)P0發(fā)散，則當(dāng)

時(shí)，二元冪級(jí)數(shù)(6)發(fā)散。

證明 (1)因?yàn)槎獌缂?jí)數(shù)(6)在點(diǎn)P0=(x0，y0)≠(0，0)收斂，所以

收斂，從而當(dāng)n→∞ 時(shí)，通項(xiàng)un(x0，y0)收斂于0。于是，存在常數(shù)M ＞0，使得

于是，當(dāng)

時(shí)，有

(2)由結(jié)論(1)可知。

推論1 若二元冪級(jí)數(shù)(6)在某個(gè)圓周Cr:x2+y2=r2(r＞0)上的每個(gè)點(diǎn)處都收斂，則它在該圓內(nèi)處處絕對(duì)收斂。

證明 設(shè)P=(x，y) 為圓周Cr內(nèi)的任一點(diǎn)，則它可表示為(x，y)=k(x0，y0)(|k| ＜ 1)，其中:(x0，y0)∈Cr。從而，由定理1知二元冪級(jí)數(shù)(6)在P=(x，y)處絕對(duì)收斂。

基于這個(gè)推論，我們引入二元冪級(jí)數(shù)(6)的收斂半徑的概念。

定義3 稱

為二元冪級(jí)數(shù)(6)的收斂半徑。

例1 對(duì)于二元冪級(jí)數(shù)(7)，由于

所以，由根式判別法知:當(dāng)|x+y|＜1時(shí)，二元冪級(jí)數(shù)(7)絕對(duì)收斂;當(dāng)|x+y|＞1時(shí)，二元冪級(jí)數(shù)(7)發(fā)散。因此，其收斂半徑同時(shí)，當(dāng)|x+y|=1時(shí)，二元冪級(jí)數(shù)(7)的通項(xiàng)不收斂于0，從而級(jí)數(shù)發(fā)散。故二元冪級(jí)數(shù)(7)的收斂域?yàn)?，如圖1所示。

圖1 |x+y|=1的圖像及收斂半徑R，收斂域?yàn)閮蓷l直線圍成的無界開域

下面給出收斂半徑的意義。

定理2 (1)當(dāng)R=0時(shí)，二元冪級(jí)數(shù)(4)的收斂域不能完全包含任何以原點(diǎn)為中心的圓周;(2)當(dāng)R→+∞時(shí)，二元冪級(jí)數(shù)(6)在整個(gè)平面處處絕對(duì)收斂;(3)當(dāng)0＜R＜∞時(shí)，二元冪級(jí)數(shù)(6)在圓CR:x2+y2=R2內(nèi)處處絕對(duì)收斂;在圓CR:x2+y2=R2外，至少一點(diǎn)處發(fā)散。

證明 (1)由收斂半徑的定義可知。

(2)當(dāng)R→+∞時(shí)，由收斂半徑的定義知:存在一個(gè)趨近于正無窮大的正數(shù)列{rn}，使得在圓周Crn:x2+y2=上，二元冪級(jí)數(shù)(6)處處收斂。對(duì)于任何圓周Cr:x2+y2=r2(r＞0)，當(dāng)n足夠大時(shí)，有rn＞r。于是，根據(jù)推論1知二元冪級(jí)數(shù)(6)在圓Cr上處處絕對(duì)收斂。由r的任意性可知:二元冪級(jí)數(shù)(6)在整個(gè)平面處處絕對(duì)收斂。

(3)設(shè)P=(x，y)為圓周CR內(nèi)任一點(diǎn)，則x2+y2＜R2。由收斂半徑的定義知:存在正數(shù)列{rn}使得rn→R(n→∞)且二元冪級(jí)數(shù)(6)在Crn上的每個(gè)點(diǎn)都收斂。取充分大的自然數(shù)n，使得R2。由推論1知二元冪級(jí)數(shù)(6)在點(diǎn)P=(x，y)處絕對(duì)收斂。

注1 當(dāng)R=0時(shí)，二元冪級(jí)數(shù)(6)可能在除了原點(diǎn)之外的點(diǎn)處收斂。

推論2 對(duì)于二元冪級(jí)數(shù)(6)，記

注2 對(duì)于例2中的冪級(jí)數(shù)，有u2n(x，y)=n!xnyn，u2n+1(x，y)=0，a→+∞，但R=0。這說明不等式(10)中的小于號(hào)是可以成立的。對(duì)于二元冪級(jí)數(shù)，有u2n(x，y)=(x2+y2)n，u2n+1(x，y)=0，從而

例3 求二元冪級(jí)數(shù)

的收斂半徑及收斂域。

解 由于原級(jí)數(shù)可寫為

這是z=x2y3的一元冪級(jí)數(shù)，其收斂半徑為所以，當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)時(shí)，有，可見，原級(jí)數(shù)的通項(xiàng)不趨近于0，從而發(fā)散。因此，原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?/p>

圖2

解 因?yàn)?/p>

為z=x+y2的冪級(jí)數(shù)，其收斂半徑為1，收斂域?yàn)椋郏?，1］，從而原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?/p>

進(jìn)一步，由一元函數(shù)的泰勒展開式知，原級(jí)數(shù)的和函數(shù)為arctan(x+y2)，即

現(xiàn)在考慮該二元冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。首先，畫出|x+y2|=1的圖像(見圖3)。收斂域就是兩條曲線y2=－(x－1)(x≤1)和y2=－(x+1)(x≤－1)圍成的無界閉域。設(shè)在曲線y2=－(x－1)(x≤1)上任意一點(diǎn)(x，y)到原點(diǎn)的距離為d，則它在處取得最小值由于曲線y2=－(x+1) (x≤－1)上任意一點(diǎn)(x，y)到原點(diǎn)的距離大于等于所以該二元冪級(jí)數(shù)的收斂半徑如圖3所示。

圖3 |x+y2|=1的圖像及其收斂半徑，收斂域?yàn)閮蓷l拋物線之間的無界閉域

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