朱志平

(渭南師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院，陜西 渭南714099)

0 引言

帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動規(guī)律在物理學(xué)和科學(xué)技術(shù)的許多研究領(lǐng)域有著重大意義。就應(yīng)用而言，質(zhì)譜儀、示波管、電子顯微鏡、電視顯像管、磁聚焦、粒子加速器等都與它有密切關(guān)系。［1］就基礎(chǔ)研究而言，人們對原子核和基本粒子的認(rèn)識大多來源于對其間相互碰撞過程的研究，而帶電粒子的碰撞過程則與它們在電磁場中的運(yùn)動規(guī)律密切相關(guān)。對于空間物理和天體物理的研究，其研究對象大多是等離子體，其中又存在著各種磁場(如地球磁場、太陽磁場、恒星磁場、星系磁場等)，研究帶電粒子在這些磁場中的運(yùn)動對許多現(xiàn)象和過程的認(rèn)識至關(guān)重要。

對于在電磁場中運(yùn)動的帶電粒子，因受庫侖(Coulomb)力和洛侖茲(Lorentz)力作用，其運(yùn)動方程為:

其運(yùn)動規(guī)律比較復(fù)雜，難以由理論分析給出一個直觀的圖像，也不易用實驗方法實現(xiàn)。因此，在研究帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動規(guī)律時，可以借助MATLAB軟件功能將帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動直觀地描繪出來。［2－4］

1 帶電粒子在均勻恒定電磁場中的運(yùn)動

1.1 帶電粒子在均勻恒定電場中的運(yùn)動

帶電粒子在電場中，受電場力作用，其運(yùn)動方程為:

在水平方向(x方向)粒子的運(yùn)動方程為:

在鉛直方向(y方向)粒子的運(yùn)動方程為:

當(dāng)α=0或π時，粒子的運(yùn)動軌跡為:

當(dāng)α≠0或π時，粒子的運(yùn)動軌跡為:

取 E=1 N/C，q=1．6 × 10－19C，m=1．6 × 10－19kg=2 m/s，對粒子以不同入射角進(jìn)入電場進(jìn)行模擬，模擬圖如圖1所示。

圖1 帶電粒子在均勻恒定電場中的運(yùn)動軌跡

圖2 帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的螺旋運(yùn)動

1.2 帶電粒子在均勻恒定磁場中的運(yùn)動

1．2．1 帶電粒子在均勻恒定磁場中的運(yùn)動

帶電粒子在磁場中運(yùn)動，受洛侖茲力的作用，其運(yùn)動方程為:

運(yùn)動方程的分量形式為:

對式(10)求微分并作代換，得

對式(11)積分，得

再積分，得

其中:v⊥=v0sinθ，v‖=v0cosθ，α及x0、y0、z0都是由初始條件確定的常數(shù)，其中α為初速度在xoy平面內(nèi)的投影與x軸的夾角。

式(13)表明，帶電粒子從初始位置(x0，y0，z0)出發(fā)，以初速度的平行磁場分量v‖沿磁場方向作勻速直線運(yùn)動。同時，在垂直磁場的xoy平面內(nèi)，以初速度的垂直磁場分量v⊥繞半徑為的圓作勻速圓周運(yùn)動。即x、y、z的表示式(13)式說明此軌跡是一條螺旋線。取初始入射速度方向與z軸成30°夾角進(jìn)行模擬，模擬圖像如圖2所示。

1．2．2 磁聚焦原理

運(yùn)動電荷在磁場中的螺旋運(yùn)動被廣泛地應(yīng)用于“磁聚焦技術(shù)”［3］。磁聚焦在許多電真空系統(tǒng)中得到應(yīng)用(如電子顯微鏡)。

由于電子速度的垂直分量各不相同，在磁場力的作用下，電子將沿不同半徑的螺旋線前進(jìn)。［5］但由于水平速度分量近于相等，所有電子從P點經(jīng)過一個螺距之后又重新匯聚于P'點。這與透鏡將光束聚焦成像的作用類似，叫做磁聚焦。

設(shè)磁場軸向路徑長度為L，一束質(zhì)量為m、帶電量為e的電子先經(jīng)過較大的軸向電場加速，獲得速度v‖;再經(jīng)過徑向交變電壓發(fā)散，獲得不同的但很小的徑向速度v⊥;然后進(jìn)入軸向勻強(qiáng)磁場B中做螺旋運(yùn)動。電子作螺旋運(yùn)動的半徑為，由于電子帶負(fù)電荷，利用初始條件:t=0時，x=y=z=0，其運(yùn)動方程可表示為:

經(jīng)過1個周期，電子能在端點匯聚，則L/z=1。若L/z=n(n為整數(shù))，即增加磁感應(yīng)強(qiáng)度B而減小周期T，則電子束有n個匯聚點(焦點)。設(shè)發(fā)散角為θ，則散角越大，焦點越少，則半徑越大。如取電子束聚焦3次進(jìn)行模擬，模擬圖如圖3所示。

圖3 磁聚焦圖

圖4 空間正交電磁場

1.3 帶電粒子在均勻正交電磁場中的運(yùn)動

運(yùn)動方程的分量形式為:

對式(16)求微分并作代換，得

利用初始條件:t=0時，有

對式(18)積分，得帶電粒子的軌跡方程為:

根據(jù)不同的初始速度與電磁場大小對式(20)進(jìn)行數(shù)值模擬，模擬圖如圖5所示。

由圖5可知，若v0＜E/B時，帶電粒子的軌跡是短幅擺線，如圖5(a)所示;若v0＞E/B時，帶電粒子的軌跡是長幅擺線，如圖5(b)所示;若v0=E/B時，帶電粒子沿x軸作勻速直線運(yùn)動，如圖5(c)所示。

圖5 帶電粒子在均勻正交電磁場中的運(yùn)動軌跡

2 帶電粒子在電磁場中運(yùn)動的普遍情況

2.1 帶電粒子在均勻非正交電磁場中的運(yùn)動

以上討論了(1)只有電場而沒有磁場;(2)只有磁場而電場為三者兩兩互相垂直的三種情況?，F(xiàn)在討論普遍情況下帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動情況，即成任意夾角時，求解其運(yùn)動規(guī)律。

圖6 均勻非正交電磁場

代入式(21)，有

整理得一組微分方程:

對式(23)微分并整理，得:

積分，得:

此為帶電粒子在恒定電磁場中運(yùn)動時其速度在x、y、z軸上的3個分量式。

圖7 帶粒子在勻強(qiáng)非正交電磁場中運(yùn)動示意圖

解式(26)，得:

利用初始條件:在t=0時，帶電粒子從原點開始運(yùn)動，初速度為vo。即t=0時，有

并對式(28)積分得粒子的軌跡方程為:

取Ex=1 N/C，Ey=Ez=2 N/C，vox=voy=2 m/s，voz=1 m/s進(jìn)行模擬，軌跡曲線如圖7所示。

由圖7可知，在勻強(qiáng)非正交電磁場中運(yùn)動的帶電粒子，在xoy平面內(nèi)作擺線運(yùn)動，如圖7(a)所示;在沿z軸方向作勻加速直線運(yùn)動，如圖7(b)所示;帶電粒子在均勻非正交電磁場中的運(yùn)動軌跡如圖7(c)所示。

圖8 非勻強(qiáng)磁場

2.2 帶電粒子在非勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動規(guī)律

帶電粒子運(yùn)動矢量微分方程為:

由于

粒子運(yùn)動微分方程的分量形式為:

對式(32－3)積分，并利用初始條件可得

再積分，由于z(0)=0，可得

當(dāng)θ=0時，vx=vy=0，因此粒子沿z軸作勻速直線運(yùn)動。當(dāng)θ=π/2時，vx=v0，vz=vy=0，在x=0的平面，B=0，粒子沿x軸作勻速直線運(yùn)動。

再求解x方向和y方向的運(yùn)動方程:由式(33－1)(33－2)得，

利用初始條件:vx=v0sinθ，vy=0得

設(shè) vx=v0sinθcosφ，vy=v0sinθsinφ，φ 為角變量，代入式(32－1)，則得

當(dāng)t=0時，φ=0。對式(37)積分得

對式(38)積分得:

此積分稱為菲涅爾余弦 /正弦積分，只有數(shù)值解。當(dāng)積分上限趨于無窮大時，兩個菲涅耳積分都趨于則粒子的極限坐標(biāo)為:

粒子的極限坐標(biāo)為:

取θ=60°對式(42)進(jìn)行模擬，得到帶電粒子在非勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動規(guī)律與軌跡，如圖9(a)、圖9(b)所示。

圖9(a)之上圖和中圖表示，當(dāng)帶電粒子的入射角為60°時，其坐標(biāo)x和y隨時間均做周期性變化，時間越長，幅度越小。圖9(a)之下圖表示，帶電粒子的z坐標(biāo)隨時間直線增加。圖9(b)表示，帶電粒子的運(yùn)動軌跡是螺旋上升的，時間越長，粒子運(yùn)動得越高，半徑也越小。［6］由于磁場只有z分量，粒子在z方向作勻速直線運(yùn)動，因此，粒子不會返回來。

圖9 帶電粒子在非勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動的規(guī)律與軌跡

3 結(jié)語

借助MATLAB軟件的作圖動畫功能，對帶電粒子在電磁場中運(yùn)動的5種情況進(jìn)行模擬，將其運(yùn)動規(guī)律形象而直觀地描繪出來，加強(qiáng)了對帶電粒子在電磁場中運(yùn)動規(guī)律的理解和掌握，為進(jìn)一步研究帶電粒子在其他情況下的運(yùn)動以及運(yùn)動規(guī)律在科學(xué)技術(shù)中的應(yīng)用提供科學(xué)參考。

［1］陳秉乾，舒幼生，胡望雨．電磁學(xué)專題研究［M］．北京:高等教育出版社，2003．

［2］周博，謝東來，張憲海．MATLAB－科學(xué)計算［M］．北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2010．

［3］占亞波，于立志．計算機(jī)模擬帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動［J］．阜陽師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2010，27(1):40－43．

［4］牛懷崗，朱志平．MATLAB 求解力學(xué)問題探析［J］．渭南師范學(xué)院學(xué)報，2016，31(16):64－69．

［5］高永毅，張平柯．帶電粒子在均勻電磁場中運(yùn)動的普遍規(guī)律［J］．湘潭師范學(xué)院學(xué)報，1996，17(3):84－87．

［6］歐陽鈐，史兆憲．帶電粒子在電磁場中運(yùn)動的普遍情況［J］．零陵師專學(xué)報，1981，2(1):47－59．