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        關(guān)于不定方程x2-pqy4=16的正整數(shù)解

        2022-12-26 04:31:12管訓貴潘小明
        貴州大學學報(自然科學版) 2022年6期
        關(guān)鍵詞:利用

        管訓貴,潘小明

        (泰州學院 數(shù)理學院,江蘇 泰州 225300)

        設(shè)p,q為奇素數(shù),m為大于1的整數(shù),滿足q=p+2m。有一類典型的橢圓曲線是

        y2=x(x+εp)(x+εq),ε∈{-1,1}

        (1)

        在確定式(1)的整數(shù)點時,曾分解出一種情形:

        x=pqa2,x+εp=2spb2

        x+εq=2sqc2,y=±2spqabc

        此情形最終歸結(jié)為討論不定方程

        的正整數(shù)解。當s=0,1時,此方程的討論比較簡單;而s=2時,則較為復雜。基于上述考慮,本文討論不定方程

        x2-pqy4=16,gcd(x,y)=1,x,y∈N*

        (2)

        的解。當然,式(2)也是不定方程的基本類型之一[1-3]。本文用初等方法對式(2)的解進行了探究,獲得以下一般性的結(jié)果。

        1 主要結(jié)論

        定理設(shè)p,q為奇素數(shù),m為大于1的整數(shù),且q=p+2m。若不定方程

        X2-pqY2=16,gcd(X,Y)=1,X,Y∈N*

        u1≡3(mod 4),v1≡2(mod 4)

        u1?3(mod 8),v1≡4(mod 8)

        u1?7(mod 8),v1≡0(mod 8)

        則式(2)的解必滿足

        y2=un+(p+2m-1)vn,n≥0

        根據(jù)定理直接可得:

        推論1不定方程

        x2-33y4=16,x,y∈N*

        (3)

        僅有解(x,y)=(7,1)和(92,4)。

        推論2不定方程

        x2-209y4=16,x,y∈N*

        (4)

        僅有解(x,y)=(15,1)。

        推論3不定方程

        x2-65y4=16,x,y∈N*

        (5)

        僅有解(x,y)=(9,1)和(516,8)。

        2 一些引理

        X2-DY2=M,M∈N*

        (6)

        (ⅰ)un+2=2aun+1-un,u0=1,u1=a;vn+2=2avn+1-vn,v0=0,v1=b。

        (ⅲ)u-n=un,v-n=-vn。

        (ⅴ)un+2km≡(-1)kun(modum);vn+2km≡(-1)kvn(modum)。

        引理4[5]設(shè)D>0且不是平方數(shù),則不定方程

        x2-Dy4=1

        (7)

        由引理4即得引理5。

        引理5不定方程x2-33y4=1僅有正整數(shù)解(x,y)=(23,2)。

        證明因為33≠1 785,28 560,且v2=23×23為非平方數(shù),故由引理4知,該不定方程至多有一組正整數(shù)解。又由232-33×24=1知結(jié)論成立。證畢。

        類似可證引理6。

        引理6不定方程x2-65y4=1僅有正整數(shù)解(x,y)=(129,4)。

        引理7[6]設(shè)p,q為不同的奇素數(shù),若p≡3(mod 4),q≡3(mod 4),則不定方程x4-pqy2=1沒有正整數(shù)解(x,y)。

        引理8[7]設(shè)整數(shù)a>1,則不定方程

        ax2-Dy4=1

        (8)

        引理9不定方程

        x2-836y4=1

        (9)

        無正整數(shù)解(x,y)。

        x+1=418r4,x-1=2s4

        (10)

        x+1=2s4,x-1=418r4

        (11)

        x+1=38r4,x-1=22s4

        (12)

        x+1=22s4,x-1=38r4

        (13)

        這里,s,r∈N*,gcd(s,r)=1,y=rs。

        若式(10)成立,則得s4-209r4=-1。取模11,有s4≡-1(mod 11),不可能。

        若式(11)成立,則得s4-209r4=1。由于11≡3(mod 4),19≡3(mod 4),故由引理7知,不可能。

        若式(13)成立,則得

        11s4-19r4=1

        (14)

        vn=35xn+506yn

        (15)

        并且有序列:

        xn+2=93 102xn+1-xn,x0=1,x1=46 551

        yn+2=93 102yn+1-yn,y0=0,y1=3 220

        (16)

        利用式(16)對式(15)取模8,得v35≡5(mod 8),即v35不是完全平方數(shù)。因此,式(14)無正整數(shù)解。證畢。

        引理10不定方程

        x2-209y4=1

        (17)

        無正整數(shù)解(x,y)。

        x+1=1 672r4,x-1=2s4

        (18)

        x+1=2s4,x-1=1 672r4

        (19)

        x+1=418r4,x-1=8s4

        (20)

        x+1=8s4,x-1=418r4

        (21)

        x+1=152r4,x-1=22s4

        (22)

        x+1=22s4,x-1=152r4

        (23)

        x+1=88r4,x-1=38s4

        (24)

        x+1=38s4,x-1=88r4

        (25)

        這里,s,r∈N*,gcd(s,r)=1,y=2rs。

        若式(18)成立,則得s4-836r4=-1。取模11,有s4≡-1(mod 11),不可能。

        若式(19)成立,則得s4-836r4=1。根據(jù)引理9知,不可能。

        若式(20)成立,則得4s4-209r4=-1。取模11,有4s4≡-1(mod 11),不可能。

        若式(21)成立,則得4s4-209r4=1。取模4,有r4≡-1(mod 4),不可能。

        若式(23)成立,則得11s4-76r4=1。取模4,有s4≡-1(mod 4),不可能。

        若式(25)成立,則得19s4-44r4=1。取模4,有s4≡-1(mod 4),不可能。

        因此,式(17)無正整數(shù)解。證畢。

        3 定理的證明

        因為(p+2m-1)2-p(p+2m)·12=16,且不定方程

        X2-pqY2=16,gcd(X,Y)=1,X,Y∈N*

        (26)

        僅有2個非結(jié)合類的解,所以根據(jù)引理2,式(26)的一般解可表示為

        若式(2)有解,必有n,使得

        y2=±(un+(p+2m-1)vn)

        y2=±(un-(p+2m-1)vn)

        =±(u-n+(p+2m-1)v-n)

        當n≥0時,un+(p+2m-1)vn>0;當n<0時,un+(p+2m-1)vn<0。因此可歸結(jié)為:

        y2=un+(p+2m-1)vn,n≥0

        (27)

        y2=-un+(p+2m-1)vn,n>0

        (28)

        由引理3的(ⅰ)知:

        un+2=2aun+1-un,u0=1,u1=a

        (29)

        vn+2=2avn+1-vn,v0=0,v1=b

        (30)

        當u1≡3(mod 4),v1≡2(mod 4)時,對式(29)取模4,得剩余序列的周期為2:1,3,…;對式(30)取模4,得剩余序列的周期為2:0,2,…。此時,式(28)成為y2≡3(mod 4),不可能。

        當u1≡1(mod 8),v1≡4(mod 8)時,對式(29)取模8,得剩余序列的周期為1:1,1,…;對式(30)取模8,得剩余序列的周期為2:0,4,…。此時,式(28)成為y2≡7,3(mod 8),不可能。

        當u1≡5(mod 8),v1≡4(mod 8)時,對式(29)取模8,得剩余序列的周期為2:1,5,…;對式(30)取模8,得剩余序列的周期為2:0,4,…。此時式(28)成為y2≡7(mod 8),不可能。

        當u1≡7(mod 8),v1≡4(mod 8)時,對式(29)取模8,得剩余序列的周期為2:1,7,…;對式(30)取模8,得剩余序列的周期為2:0,4,…。此時,式(28)成為y2≡7,5(mod 8),不可能。

        當u1?7(mod 8),v1≡0(mod 8)時,式(28)成為y2≡3,5,7(mod 8),也不可能。

        證畢。

        4 推論的證明

        先證推論1。若2|y,則有4|x。令x=4x1,y=2y1,則式(3)可化為

        (31)

        根據(jù)引理5,式(31)給出x1=23,y1=2。此時可得式(3)的解為(x,y)=(92,4)。

        y2=un+7vn,n≥0

        (32)

        根據(jù)引理3,有

        un+2=46un+1-un,u0=1,u1=23

        (33)

        vn+2=46vn+1-vn,v0=0,v1=4

        (34)

        v2n=2unvn

        (35)

        (36)

        u-n=un,v-n=-vn

        (37)

        un+2km≡(-1)kun(modum)

        vn+2km≡(-1)kvn(modum)

        (38)

        約定:下文中“T”表示取模所得剩余序列的周期。

        利用式(33)和式(34),對式(32)取模151,得T=8,且當n≡1,4,6,7(mod 8)時,y2≡51,150,71,146(mod 151)均為模151的平方非剩余,故排除,剩n≡0,2,3,5(mod 8)。

        對式(32)取模7,得T=8,且當n≡3,5(mod 8)時,y2≡5(mod 7)為模7的平方非剩余,故排除,剩n≡0,2(mod 8),即n≡0,2,8,10,16,18(mod 24)。

        對式(32)取模433, 得T=24,且當n≡2,8,10(mod 24)時,y2≡180,344,231(mod 433)均為模433的平方非剩余,故排除,剩n≡0,16,18(mod 24)。

        對式(32)取模1 153,得T=48,且當n≡16,40(mod 48)時,y2≡964,189(mod 1 153)均為模1 153的平方非剩余,故排除n≡16(mod 24),剩n≡0,18(mod 24),故n≡0(mod 6)。

        若n≠0,可設(shè)n=2×3t(3k±1)(t≥1),并取m=3t,則m≡3(mod 6)。

        利用式(37)和式(38),可將式(32)化為

        y2≡±(u±2m+7v±2m)

        ≡±(u2m±7v2m)(modu3m)

        (39)

        矛盾。因此n=0。代入式(32),得y=1。此時可得式(3)的解(x,y)=(7,1)。

        綜上,方程(3) 僅有解(x,y)=(7,1)和(92,4)。證畢。

        再證推論2。若2|y,則有4|x。令x=4x1,y=2y1,則式(4)可化為

        (40)

        根據(jù)引理10,式(40)無正整數(shù)解,故此時式(4)無解。

        y2=un+15vn,n≥0

        (41)

        根據(jù)引理3,有

        un+2=93 102un+1-un,u0=1,u1=46 551

        (42)

        vn+2=93 102vn+1-vn,v0=0,v1=3 220

        (43)

        v2n=2unvn

        (44)

        un+2km≡(-1)kun(modum)

        vn+2km≡(-1)kvn(modum)

        (45)

        利用式(42)和式(43),對式(41)取模59,得T=4,且當n≡1,2(mod 4)時,y2≡38,58(mod 59)均為模59的平方非剩余,故排除,剩n≡0,3(mod 4),即n≡0,3,4,7,8,11,12,15,16,19(mod 20)。

        對式(41)取模41,得T=40,且當n≡3,23,8,28,12,32,16,36,19,39(mod 40)時,y2≡14,27,12,29,6,35,30,11,27,14(mod 41)均為模41的平方非剩余,故排除,剩n≡0,4,7,11,15(mod 20)。

        對式(41)取模281,得T=40,且當n≡7,27,11,31,15,35(mod 40)時,y2≡21,260,104,177,278,3(mod 281)均為模281的平方非剩余,故排除n≡7,11,15(mod 20),剩n≡0,4(mod 20)。

        對式(41)取模601,得T=40,且當n≡4,24(mod 40)時,y2≡7,594(mod 601)均為模601的平方非剩余,故排除n≡4(mod 20),剩n≡0(mod 20)。

        利用式(45),可將式(41)化為

        y2≡±(u2m+15v2m)

        ≡±15v2m(modu2m)

        (46)

        考慮到2|m時,um≡1(mod 8),u2m≡1(mod 8)。令2s‖vm,結(jié)合式(44),則式(46)可化為

        (47)

        綜上,方程(4)僅有解(x,y)=(15,1)。證畢。

        最后證推論3。若2|y,則有4|x。令x=4x1,y=2y1,則式(5)可化為

        (48)

        根據(jù)引理6,式(48)給出x1=129,y1=4。此時可得式(5)的解為(x,y)=(516,8)。

        y2=un+9vn,n≥0

        (49)

        根據(jù)引理3,有

        un+2=258un+1-un,u0=1,u1=129

        (50)

        vn+2=258vn+1-vn,v0=0,v1=16

        (51)

        v2n=2unvn

        (52)

        (53)

        u-n=un,v-n=-vn

        (54)

        un+2km≡(-1)kun(modum)

        vn+2km≡(-1)kvn(modum)

        (55)

        利用式(50) 和式(51),對式(49)取模29,得T=14,且當n≡1,2,3,5,6,8,9,10,12,13(mod 14)時,y2≡12,21,12,14,15,17,8,17,15,14(mod 29)均為模29的平方非剩余,故排除,剩n≡0,4,7,11(mod 14),即n≡0,4,7,11,14,18,21,25(mod 28)。

        對式(49)取模43,得T=4,且當n≡2,3(mod 4)時,y2≡42,28(mod 43)均為模43的平方非剩余,故排除n≡7,11,14,18(mod 28),剩n≡0,4,21,25(mod 28),即n≡0,4,21,25,28,32,49,53(mod 56)。

        對式(49)取模503, 得T=56,且當n≡25,28,32,49(mod 56)時,y2≡248,502,358,93(mod 503)均為模503的平方非剩余,故排除,剩n≡0,4,21,53(mod 56)。

        對式(49)取模4 817,得T=56,且當n≡4,21,53(mod 56)時,y2≡1 644,3 726,3 233(mod 4 817)均為模4 817的平方非剩余,故排除,剩n≡0(mod 56),從而n≡0(mod 14)。

        對式(49)取模37,得T=3,且當n≡1,2(mod 3)時,y2≡14,22(mod 37)均為模37的平方非剩余,故排除,剩n≡0(mod 3)。結(jié)合n≡0(mod 14),可得n≡0(mod 42)。

        (ⅰ)k≡1(mod 3)時,令

        則m≡3(mod 12)。

        利用式(55),可將式(49)化為

        y2≡±(u2m+9v2m)(modu3m)

        (56)

        (57)

        (ⅱ)k≡-1(mod 3)時,令

        則m≡9(mod 12)。

        利用式(54)和式(55),可將式(49)化為

        y2≡±(u2m-9v2m)(modu3m)

        (58)

        (59)

        (60)

        因此n=0。代入式(49)得y=1。此時可得式(5)的解(x,y)=(9,1)。

        綜上,方程(5)僅有解(x,y)=(9,1)和(516,8)。證畢。

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