秦雪梅

摘 要：中學(xué)數(shù)學(xué)課程中引進(jìn)的關(guān)于排列、組合的計(jì)算公式都是以兩個(gè)計(jì)數(shù)原理為基礎(chǔ)的，而一些較復(fù)雜的排列、組合應(yīng)用題的求解，更是離不開兩個(gè)基本原理，所以正確理解兩個(gè)基本原理并能解決實(shí)際問題是學(xué)習(xí)分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理的重點(diǎn)內(nèi)容

關(guān)鍵詞：計(jì)數(shù)原理；探討和歸納；培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力；創(chuàng)新思維能力。

計(jì)數(shù)原理和染色問題均是高考中?？純?nèi)容，且與染色問題有關(guān)的試題內(nèi)容新穎有趣，數(shù)學(xué)思想豐富，解題技巧靈活多變，故這類問題有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，有利于培養(yǎng)分析和解決問題的能力。常見的解題原則有（1）.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，對(duì)各個(gè)區(qū)域分步涂色；（2）.特殊位置或特殊元素優(yōu)先考慮原則；（3）.分步處理過程中出現(xiàn)矛盾或問題則分類討論原則；

以下針對(duì)染色問題的特征分幾類情形進(jìn)行探討和歸納。

（一）平面直線型染色問題

【例1】如圖，用4種不同的顏色給圖中所給出的四個(gè)區(qū)域涂色，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，若要求相鄰（有公共邊）的區(qū)域不同色，那么共有多少種不同的涂色方法？

A B C D

解：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，按 的順序染色，故N=4X3X3X3=108（種）

說(shuō)明：本題也可以對(duì)C與A同色與否，B與D同色與否進(jìn)行討論解決，但計(jì)算過程復(fù)雜，解題不簡(jiǎn)潔，利用分別計(jì)數(shù)原理簡(jiǎn)潔。

（二）平面環(huán)形染色問題

【例2】將例1中四個(gè)區(qū)域的位置做出如下調(diào)整，如下圖，相鄰區(qū)域不同色，問共有多少種不同的染色方法？

解：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，按 的順序進(jìn)行染色，由于C區(qū)域是特殊位置，應(yīng)進(jìn)行討論：（1）當(dāng)C與A同色時(shí)，則 =4x3x1x3=36；

（2）當(dāng)C與A不同色時(shí)，則 =4x3x2x2=48；

所以N= =36+48=84（種）.

【變式1】如下圖，將一個(gè)圓分成4個(gè)扇形，每個(gè)扇形用4中不同顏色染色，要求相鄰區(qū)域不同色，問共有多少種不同的染色方法？

解：本變式題本質(zhì)與例2完全相同，故N=84（種）。

【變式2】如下圖，將一個(gè)圓形分成n個(gè)扇形（ ），每個(gè)扇形用4種不同顏色之一染色，要求相鄰區(qū)域不同色，問共有多少種不同的染色方法？

解：圓被分成n個(gè)扇形時(shí)：

（1）當(dāng)n=2時(shí)， 有 種，即

（2）當(dāng) 時(shí)，如圖知， 與 不同色， 與 不同色， ，

與 不同色，先將n個(gè)區(qū)域看作直線型染色問題，則共有 種染色方法，但由于 與 鄰，所以應(yīng)排除 與 同色的情形；而 與 同色時(shí)，可把 、 合并看成一個(gè)扇形，與前 個(gè)扇形加在一起為 個(gè)扇形，此時(shí)有 種染色法，故有如下遞推關(guān)系：

說(shuō)明：有了以上通項(xiàng)公式，可以解決所有扇形染色問題。

（三）棱錐型頂點(diǎn)染色問題

【例3】如圖，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染一種顏色，并使同一條棱上的兩端點(diǎn)異色，如果只有4種顏色可供使用，求不同的染色方法總數(shù)。

解法一：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，按 的順序染色，先對(duì)S、A、B染色，有4x3x2種，由于C點(diǎn)的顏色可能與A相同或不同，這影響到D點(diǎn)的染色方法，故分兩類情況討論：

（1）C與A同色，則C方法唯一，D有2種染色法，所以 =4x3x2x1x2=48種；

（2）C與A不同色，則C只有一種顏色可選，D有一種選法，所以 =4x3x2x1x1=24種；

綜上： 種。

解法二：按顏色的種數(shù)分類討論解題

（3）若用三種顏色，則A與C同色，B與D同色，所以 種；

（4）若用四種顏色，則先染P，有 種，再染A，B有 種，再染C有 種，再染D有1種，

所以 =48種；

所以 （種）

解法三：將立體問題轉(zhuǎn)化為平面相鄰區(qū)域染色問題

如下圖，原問題可以轉(zhuǎn)化為將圖中五個(gè)區(qū)域用4種不同顏色染色，要求相鄰區(qū)域不同色，求不同的染色方法？其中區(qū)域P對(duì)應(yīng)棱錐頂點(diǎn)P。

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，按 順序染色，由于C位置特殊，故分C與A同色和C與A不同色兩類討論：

（1）C與A同色時(shí)，則 =4x3x2x1x2=48種；

（2）C與A不同色時(shí)，則 =4x3x2x1x1=24種；

所以 種。

【變式3】如圖四棱錐 ，用4種不同的顏色涂在四棱錐的各個(gè)面上，要求相鄰不同色，有多少種涂法？

解：將立體圖形問題轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域染色問題，如左圖，

圖中5號(hào)區(qū)域相當(dāng)于四棱錐中底面ABCD，其他 4個(gè)區(qū)域相當(dāng)于四棱錐四個(gè)側(cè)面，問題又回到例3的解法三，所以

總結(jié)：變式題的解題方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想中的化歸思想，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生能力有很好的意義。

（四）線段染色問題

【例4】：如圖，用4種不同顏色給五邊形ABCDE每條邊染色，要求一條邊只染一色，且相鄰邊不同色，問共有多少種不同染色方法？

解：本題的本質(zhì)就是環(huán)形染色問題，

由通項(xiàng)公式

知：N

【變式4】如圖，用四種不同的顏色給正四面體A-BCD的每條棱染色，要求每條棱只染一色，且相鄰邊不同色，問共有多少種不同染色方法？

解：四面體A-BCD中共有三組對(duì)棱，AB與CD，AD與BC，BD與AC，共四種顏色，故必有兩組對(duì)棱組內(nèi)同色，但組與組之間不同色，所以

小結(jié)：計(jì)數(shù)原理是排列組合的基礎(chǔ)，也是染色問題研究的基礎(chǔ)，通過對(duì)四色染色問題的簡(jiǎn)單探討，我們發(fā)現(xiàn)染色問題中分類討論思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想等數(shù)學(xué)思想得到充分應(yīng)用，所以染色問題是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力，創(chuàng)新思維能力，空間想象能力和轉(zhuǎn)化能力的很好的平臺(tái)。

正確使用兩個(gè)基本原理的前提是要學(xué)生清楚兩個(gè)基本原理使用的條件.而原理中提到的分步和分類，學(xué)生不是一下子就能理解深刻的，面對(duì)復(fù)雜的事物和現(xiàn)象學(xué)生對(duì)分類和分步的選擇容易產(chǎn)生錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，所以分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理的準(zhǔn)確應(yīng)用是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)。必需使學(xué)生認(rèn)清兩個(gè)基本原理的實(shí)質(zhì)就是完成一件事需要分類還是分步，才能使學(xué)生接受概念并對(duì)如何運(yùn)用這兩個(gè)基本原理有正確清楚的認(rèn)識(shí)。教學(xué)中兩個(gè)基本問題的引用及引伸，就是為突破難點(diǎn)做準(zhǔn)備。

（作者單位：重慶市萬(wàn)州高級(jí)中學(xué)）