王友偉

摘 要：筆者在閱讀了《徐利治談治學方法與數(shù)學教育》后，將自己的所思所想從“立體幾何中概念和定理的發(fā)現(xiàn)”、“對函數(shù)圖象的認識”、“橢圓問題中的常見結(jié)論”、“解題時的直觀判斷”四個方面通過實例進行了論述，闡述了數(shù)學直覺思維在中學數(shù)學中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學;直覺思維;應(yīng)用

最近，筆者閱讀了徐利治教授所著的《徐利治談治學方法與數(shù)學教育》一書，里面談到了高等學校數(shù)學教育中培養(yǎng)數(shù)學直覺對數(shù)學教育的重要性，筆者以為對于中學生數(shù)學直覺的培養(yǎng)非常重要。中學數(shù)學的枯燥與無聊大概是由于過多的強調(diào)邏輯思維的培養(yǎng)，而忽略直覺思維的培養(yǎng)所造成的，在學生的邏輯思維能力達不到的情況下，要讓學生能夠熱愛和喜歡數(shù)學，應(yīng)先讓其能夠通過數(shù)學直覺思維去看待數(shù)學和欣賞數(shù)學，再讓其走進數(shù)學，即通過邏輯思維去理解數(shù)學.

數(shù)學直覺是人腦對于數(shù)學對象事物（結(jié)構(gòu)及其關(guān)系）的某種直接的領(lǐng)悟或洞察，其往往產(chǎn)生于經(jīng)驗、觀察、歸納、類比和聯(lián)想的基礎(chǔ)之上，有時以心理學上的“頓悟”形式出現(xiàn)，具有“了解事物整體”的作用，還具有將細節(jié)“組合成和諧性整體”的功能.數(shù)學直覺至少可以劃分為辨識直覺、關(guān)聯(lián)直覺和審美直覺三種類型.辨識直覺解決的是新想法是否值得去發(fā)展，關(guān)聯(lián)直覺解決的是不同知識領(lǐng)域之間的內(nèi)在聯(lián)系的問題，審美直覺解決的是新想法是否符合數(shù)學美的要求的問題.數(shù)學直覺的指導(dǎo)性原則包括簡單性原則、統(tǒng)一性原則、對稱性原則和奇異性原則.

下面筆者就在拜讀了徐利治教授的書之后談?wù)勚庇X思維在高中數(shù)學里的應(yīng)用.

1.立體幾何中概念和定理的發(fā)現(xiàn)

對空間幾何的直觀認知在學習空間幾何體這部分內(nèi)容有著重要的作用.在尚未學習直線和平面平行、直線和平面垂直、平面和平面平行以及平面和平面垂直的概念的時候，大部分學生已經(jīng)能夠?qū)@幾個概念有了直觀的感知，能夠通過幾何圖形認識到線面、面面平行和垂直的大致特征，只是還不能夠嚴格的用數(shù)學語言進行表述，但這對學生學好該部分內(nèi)容非常重要.

立體幾何的另一個難點就是定理的發(fā)現(xiàn)與應(yīng)用，筆者以為關(guān)鍵點就是發(fā)現(xiàn)這些定理.在學習線面平行的判定定理的時候，可通過開關(guān)門讓學生發(fā)現(xiàn)定理的內(nèi)容;學習線面垂直的判定定理的時候，可讓學生借助擺弄筆去感受定理中關(guān)鍵點是兩條相交直線;在學習面面垂直的判定定理的時候，可讓學生觀察通過已知平面的一條垂線的平面與該已知平面的位置關(guān)系而得到;在學習面面垂直的性質(zhì)定理的時候，學生能夠直觀感受一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直對于定理的發(fā)現(xiàn)和掌握非常重要等等.

2.對函數(shù)圖象的認識

函數(shù)這部分內(nèi)容，一直是高中數(shù)學里的重點和難點.在解決函數(shù)問題的時候經(jīng)常需要畫圖.除了常見一些函數(shù)以外，很多函數(shù)圖象需要學生去仔細研究，尤其需要直觀判斷的時候容易出錯.由于中學里還沒有學習洛必達法則，所以很多圖象在趨向于無窮時候的圖象需要通過對函數(shù)圖象的直觀認識去判斷.例如函數(shù)的圖象，在教學時，筆者發(fā)現(xiàn)學生基本上都能通過求導(dǎo)判斷出該函數(shù)在（0，e）時單調(diào)遞增，在（e，+∞）時單調(diào)遞減.但是進一步畫出圖象的時候很少有人能夠做對，根本問題在于當x趨向于0和x趨向于正無窮時圖象的判斷錯誤，此時需要學生有較好的函數(shù)圖象的直覺思維.當x趨向于0的時候，lnx趨向于負無窮，所以也趨向于負無窮;當x趨向于正無窮時，lnx亦趨向于正無窮，由于lnx增長速度較之x增長較慢，引導(dǎo)學生能夠直觀感覺到趨向于0，也就是說x軸是一條漸近線.這也是高考解答題考察零點問題時不允許轉(zhuǎn)化為畫出兩個函數(shù)圖象，求出交點個數(shù)的問題的原因.另一個常見的錯誤就是函數(shù)當0

3.橢圓問題中的常見結(jié)論

解析幾何問題對學生來講也是一個難點，里面蘊藏了大量的結(jié)論，尤以定點、定值和定直線問題居多.在解題時如果能夠直觀的認識到某些固定的結(jié)論那將事半功倍，也能夠使學生學習這部分內(nèi)容更有信心和興趣.解析幾何中最常見的結(jié)論就是高等數(shù)學中極點和極線的應(yīng)用，該內(nèi)容不僅在高考中大量的出現(xiàn)，在平時模擬卷以及競賽試題中也屢見不鮮.如果學生能夠了解這些內(nèi)容，并在做題中能夠直觀感覺到隱藏在圖形中的極點和極線，那將使問題變得容易多了.徐利治教授把從事數(shù)學問題的解決比作是人在迷霧中摸索前進，需要用眼睛辨識方向，要靠雙腿邁向目的地，直覺就好比眼睛，起到向?qū)ьI(lǐng)路作用，邏輯就是雙腿……

此外，由于橢圓可以看成是由圓壓扁而成的，所以圓里面的某些結(jié)論也在橢圓中有所體現(xiàn)，如中點弦的結(jié)論，切線的結(jié)論.所以在教學中，應(yīng)當培養(yǎng)學生在這方面的直覺認識，這樣學生會更有興趣的去學習和研究這部分內(nèi)容.

4.解題時的直觀判斷

我們知道周長一定的封閉圖形中圓的面積最小，大部分人只是一種直觀判斷.當碰到較難的問題時，可以引導(dǎo)學生通過直覺判斷可能出現(xiàn)的特殊情形.如碰到三角形問題時，可以利用等邊三角形的特殊性去解決;在遇到平行四邊形的問題時，也可以嘗試用矩形的情形去解決;數(shù)列問題也可以通過常數(shù)列去解決等等.

總之，直覺思維不僅在學習過程中有著重要的作用，在解題時也扮演著不可或缺的角色.Poincare認為：邏輯可以告訴我們走這條路或那條路保證不遇到任何障礙，但是它不能告訴我們哪一條路能引導(dǎo)我們到達目的地.因此，必須從遠處瞭望目標……瞭望的本領(lǐng)是直覺，沒有直覺，數(shù)學家就會像這樣的一個作家：他只是按語法寫詩，但是卻毫無思想.Hadamard亦曾指出：許多數(shù)學上的創(chuàng)造性成果可以看成為通過數(shù)學直覺俘獲來的“戰(zhàn)利品”，而邏輯好比是“關(guān)卡”，在這里起到了驗收戰(zhàn)利品的作用.