沈水仙 邵漢民

摘 要：“圖形的測量”是“空間與圖形”中重要的教學(xué)內(nèi)容，它主要包括長度、面積、體積的度量概念生成和圖形周長、面積、體積的計(jì)算公式推導(dǎo)兩大部分，但學(xué)生對這部分知識(shí)的掌握始終不夠扎實(shí)。我們有必要在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步把握度量的的本質(zhì)，積累必要的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并在教學(xué)實(shí)踐中加強(qiáng)概念之間的辨析，滲透估測意識(shí)，從而培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，以提高學(xué)生解決問題的能力。

關(guān)鍵詞：目標(biāo)定位; 估測意識(shí) ;圖形的測量

“圖形的測量”在“空間與圖形”中是一塊“難啃”的教學(xué)內(nèi)容，學(xué)生一到知識(shí)的整合階段，就開始出現(xiàn)各種問題，更多的學(xué)生是運(yùn)用知識(shí)解決生活問題的能力不強(qiáng)，簡單的對比都會(huì)，可在具體的應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際問題的過程中，對周長、面積或表面積、體積等經(jīng)常出現(xiàn)概念上的混淆，而對于度量的本質(zhì)缺少過程性的感悟。針對以上種種困惑，筆者對“圖形的測量”這塊內(nèi)容展開了實(shí)踐與思考。

一、梳理教材體系，理清知識(shí)脈絡(luò)

圖形的測量從縱向看，是以轉(zhuǎn)化的形式把新的圖形知識(shí)順應(yīng)于原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，而從橫向看，又可以以類比的形式把一個(gè)個(gè)“點(diǎn)”狀的新知建構(gòu)成一個(gè)完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在后續(xù)學(xué)習(xí)中要引導(dǎo)學(xué)生通過分類、比較、辨析，認(rèn)識(shí)圖形的聯(lián)系與區(qū)別，形成比較清晰的知識(shí)脈絡(luò)。

（一）了解教材的編排結(jié)構(gòu)，把握循序漸進(jìn)

為了便于研究“圖形的測量”的編排結(jié)構(gòu)，筆者把整套人教版教材中有關(guān)“圖形的測量”教學(xué)內(nèi)容做了如下的整理。

第一學(xué)段：二上長度單位米、厘米;二下克和千克，三上毫米、分米、千米、噸，周長與長方形正方形的周長計(jì)算;三下年級(jí)面積、單位單位（平方厘米、平方分米及平方米）及長方形、正方形的面積。

第二學(xué)段：四上公頃、平方千米，角的度量;五上多邊形的面積;五下體積與體積單位、容積與容積單位及長方體與正方體的表面積、體積;六上圓的周長與面積;六下圓柱的表面積、體積，圓錐的體積。

透過對教材結(jié)構(gòu)的簡要分析，有兩點(diǎn)啟示：一是要深入研究新增加內(nèi)容在每冊教材中的目標(biāo)定位，不能人為降低或拔高教學(xué)難度，這樣才能使教師的課堂教學(xué)行為具有一定的針對性和有效性;二是要投入相對多的時(shí)間在中段“圖形的測量”教學(xué)研究上，特別是在課堂教學(xué)中怎樣通過體驗(yàn)、操作、觀察、分析做好半具體到半抽象、半抽象到抽象的之間過渡和轉(zhuǎn)換。

（二）明確教學(xué)的目標(biāo)定位，做到有的放失

掌握幾何圖形的特征、周長、面積、體積的計(jì)算法則，進(jìn)而運(yùn)用它們解決問題?！皥D形的測量”這個(gè)領(lǐng)域的目標(biāo)定位具體要求如下。

（1）能由實(shí)物的形狀想象出具體的幾何圖形，由幾何圖形想象實(shí)物形狀，進(jìn)行幾何體、三視圖、展開圖之間的轉(zhuǎn)化。

（2）能根據(jù)條件做出立體模型或畫出圖形。

（3）能從較復(fù)雜的圖形中分解出基本圖形，能分析其中的基本元素及關(guān)系。

（4）能利用“圖形的測量”的相關(guān)知識(shí)來解決生活實(shí)際問題。

（5）能運(yùn)用圖形形象地描述問題，利用直觀來進(jìn)行思考。

二、把握度量本質(zhì)，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

“空間與圖形”領(lǐng)域中的度量單位主要包括常用的長度單位、面積單位、體積（容積）單位等。在認(rèn)識(shí)度量單位的過程中，我們除了要對學(xué)生滲透度量意識(shí)，使學(xué)生體會(huì)建立統(tǒng)一度量單位的重要性之外，也要使學(xué)生理解和把握度量的實(shí)際意義，并且會(huì)在具體的問題情境中恰當(dāng)?shù)剡x擇度量單位進(jìn)行測量。

（一）重視核心概念，形成測量技能

度量就是將一個(gè)待測量和一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量進(jìn)行比較，“標(biāo)準(zhǔn)”的個(gè)數(shù)就是度量的結(jié)果。學(xué)生在學(xué)習(xí)長度的最初階段如果能意識(shí)到這一點(diǎn)，建立一個(gè)長度單位的概念，必將對后續(xù)的學(xué)習(xí)起著不可估量的作用。

以“長度單位的認(rèn)識(shí)”為例，學(xué)生先學(xué)習(xí)厘米與米，然后是毫米和分米，最后學(xué)習(xí)千米，每個(gè)內(nèi)容是相通的。如認(rèn)識(shí)毫米的時(shí)候，重點(diǎn)研究怎樣把“大單位”1厘米平均分成若干份，其中的1份作為新的長度單位，這是毫米這個(gè)單位的構(gòu)建過程，也是度量活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累。而1毫米到底是多長這是對一個(gè)長度單位的感知，度量時(shí)有時(shí)會(huì)產(chǎn)生更長的線段就是幾個(gè)1毫米的累加，這才是度量的本質(zhì)。同樣，對于毫米能不能再分，是不是平均分成10份，產(chǎn)生的更小的長度單位叫什么，都為學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)“量”積累了一定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

讓學(xué)生在整體上建立這樣一種意識(shí)，這樣的經(jīng)驗(yàn)始終是貫穿“圖形的測量”的，因?yàn)閿?shù)單位的個(gè)數(shù)是度量活動(dòng)中的基礎(chǔ)，有利于學(xué)生把握度量的核心要素。如有了長度單位的基準(zhǔn)，就能進(jìn)一步加深對面積單位、體積單位的理解。

（二）理解實(shí)際意義，選好參照對比

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）要求學(xué)生“在實(shí)踐活動(dòng)中，體會(huì)并認(rèn)識(shí)長度單位千米、米、厘米，知道分米、毫米，能進(jìn)行簡單的單位換算，能恰當(dāng)?shù)剡x擇長度單位”。單位的選擇與換算都是建立在學(xué)生對單位感知的基礎(chǔ)之上的，厘米、分米、米等長度單位都可以提供可視性材料，參照物比較明確，但不是任何一個(gè)單位的構(gòu)建都可以“看得見、模得著”的，如千米則需要借助單位“米”進(jìn)行間接推算，學(xué)生缺少經(jīng)驗(yàn)的積累，在以下練習(xí)中經(jīng)常出錯(cuò)：

燕子每小時(shí)飛行20（? ? ? ? ）;飛機(jī)跑道長3000（? ? ? ? ）;長江長約6300（? ? ? ? ）;自行車每小時(shí)行15（? ? ? ? ）。

這樣的參照更具實(shí)際意義，達(dá)到了動(dòng)態(tài)教學(xué)的效果。同時(shí)還要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活周圍的參照物，如家到學(xué)校的距離、生活中汽車行駛的時(shí)間等，這些都是生活經(jīng)驗(yàn)的積累，不可忽視。

三、深化體驗(yàn)概念，加強(qiáng)概念辨析

“圖形的測量”教學(xué)中，部分學(xué)生對長度、面積和體積這三個(gè)概念始終辨析不清。教師要在教學(xué)中梳理和溝通這些概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，幫助學(xué)生形成既清晰又豐富的認(rèn)識(shí)，從而使學(xué)生建構(gòu)起正確的三維空間觀念。

（一）關(guān)注知識(shí)的辨析比較，整體感知區(qū)別

長度、面積、體積在概念內(nèi)涵的語言表述方面是有差異的，“長度”是一維的概念，表示物體或線段長短的程度;“面積”是二維的概念，表示物體表面或封閉圖形的大小;“體積”是三維的概念，表示物體所占空間的大小。直接比較的方法有觀察法和重疊法，間接比較的方法有借助物體或工具等。在此基礎(chǔ)上，形成了以二維的度量工具和單位為基礎(chǔ)的三維空間度量單位體系。

三者可以從概念涵義、常用單位、度量工具等方面來認(rèn)識(shí)與區(qū)別。在學(xué)生最早開始接觸“周長”與“面積”的概念時(shí)，不要過早地引入“周長”與“面積”的計(jì)算公式，而應(yīng)讓學(xué)生對周長和面積有了一定認(rèn)識(shí)以后再尋找公式。課堂上盡量讓學(xué)生多去接觸周長與面積的概念，幫助學(xué)生有效完成思維水平循序漸進(jìn)由低到高的過渡以及良好空間觀念的形成。

（二）關(guān)注計(jì)算比較，加深概念理解

除了概念對比分析，還要結(jié)合具體的情境來辨析與比較。例如周長與面積的區(qū)分（圖1）：左邊的兩個(gè)圖形是面積相等，周長不等，右邊的圖形是周長相等，面積不等。可以讓學(xué)生描一描圖形周長，摸一摸封閉圖形面的大小，具體感知一下什么是周長與面積。

體積與表面積的區(qū)分，體積比較容易，先計(jì)算一個(gè)小正方體的體積，再數(shù)一數(shù)有幾個(gè)小正方體就乘幾;而表面積則要計(jì)算露在表面的一共有幾個(gè)面積單位，先數(shù)出正面、右面、上面看到的小正方形的個(gè)數(shù)，然后乘2就可以知道有幾個(gè)面積單位了，圖2中學(xué)生用不同的符號(hào)進(jìn)行標(biāo)注就是一種很好的學(xué)習(xí)方法，值得推廣。顯然，這樣的練習(xí)能幫助學(xué)生區(qū)別表面積與體積的概念，提高運(yùn)用知識(shí)解決問題的靈活性，也有利于發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

四、溝通圖形聯(lián)系，形成整體設(shè)計(jì)

圖形之間的聯(lián)系不只局限于公式的推導(dǎo)及概念的生成，我們更應(yīng)在單元復(fù)習(xí)與練習(xí)中滲透這樣的聯(lián)系，這有利于學(xué)生運(yùn)用多種策略和方法解決實(shí)際問題。

（一）滲透動(dòng)態(tài)思想，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

多邊形的面積計(jì)算雖成獨(dú)立單元，但系統(tǒng)性不強(qiáng)，不容易揭示不同圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系。因?yàn)樵诙噙呅蚊娣e復(fù)習(xí)時(shí)將這些知識(shí)系統(tǒng)化、整體化，形成一個(gè)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)是很有必要的。

如在教學(xué)五年級(jí)下冊《多邊形的面積》學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生經(jīng)常碰到這樣的問題：

（? ? ? ）號(hào)圖形的面積最大。

（? ? ? ）號(hào)圖形和（? ? ? ）號(hào)圖形面積相等。

我們可以利用課件動(dòng)態(tài)演示梯形的上底慢慢縮短，而梯形上底與下底的和不變，下底會(huì)慢慢變長，上底縮短再縮短，最后變成0，而下底慢慢變長，可以把三角形看做上底為0的特殊梯形;反之，上底慢慢變長，上底與下底的和不變，當(dāng)上底和下底一樣長時(shí)，平行四邊形可以看做是上底和下底相等的特殊梯形。

利用現(xiàn)代教學(xué)手段引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)動(dòng)變化的視角進(jìn)行動(dòng)態(tài)思維，較好地參透了動(dòng)態(tài)幾何思想。

（二）透過習(xí)題的合理改編，豐富整體教學(xué)

教師在教學(xué)中要注意錯(cuò)題的收集及時(shí)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，然后合理選擇內(nèi)容，關(guān)注圖形之間的聯(lián)系和整合，進(jìn)行精心改編與設(shè)計(jì)，最大程度地體現(xiàn)習(xí)題的價(jià)值，要層層深入，以達(dá)到一題多練的效果。

如：人教版六上作業(yè)本第34頁第5題改編成如下的題組。

（1）圖1中，圓的面積與圓外正方形的面積比是（? ）：（ ）

我是這么想的：

（2）圖2中，圓的面積與小正方形面積比是? （? ? ?）︰（? ? ?），也就是說圖中圓的面積是這個(gè)小正方形面積的（? ? ? ）倍。當(dāng)小正方形面積是2dm2時(shí)，圓的面積是多少？

（3）圖3中，兩個(gè)正方形的面積又有什么關(guān)系呢？

習(xí)題經(jīng)過改編后比原來豐滿了很多，把平面圖形的知識(shí)點(diǎn)串連了起來，從整體上關(guān)注了圖形之間的聯(lián)系，既豐富了原來的習(xí)題，又突破了教材第72頁的教學(xué)難點(diǎn)，通過三組圖的對比分析，關(guān)注到不同圖形之間的面積關(guān)系。

五、重視估測教學(xué)，培養(yǎng)估測意識(shí)

估測意識(shí)的能力是在實(shí)踐中逐步發(fā)展起來的?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）要求學(xué)生“能估測一些物體的長度，并進(jìn)行測量”，能“探索并掌握長方形、正方形的面積公式，會(huì)估計(jì)給定簡單圖形的面積”，“會(huì)用方格估計(jì)不規(guī)則圖形的面積”。

（一）建立單位表象，修正估測策略

在日常生活中有時(shí)不需要得到精確的測量結(jié)果，只需要對結(jié)果作大致估計(jì)就可以了。如測量并計(jì)算一張給定正方形紙的面積，利用結(jié)果估計(jì)課桌面的面積;測量步長，利用步長估計(jì)教室的面積。這樣，把測量與面積計(jì)算有機(jī)地結(jié)合起來，有利于學(xué)生體會(huì)估測的作用以及估測的方法。

而測量單位是估測的基礎(chǔ)，教學(xué)中，教師要幫助學(xué)生建立測量單位的概念，形成表象，從而為估測奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)。學(xué)生如果積累了一定的實(shí)際測量的經(jīng)驗(yàn)，那么從估測到精確測量也就順理成章。這樣，把估測與精確測量有機(jī)地結(jié)合起來，有利于學(xué)生比較估測與精確測量所得到的結(jié)果，修正估測的策略。

選擇合適的估測“單位”是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效估測的關(guān)鍵，學(xué)生能在這樣的操作中體驗(yàn)逐漸逼近的極限思想。

（二）基于學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)探究欲望

以圓的面積為例，北師大版教材是這樣編排的，在方格紙上畫圓，再估算圓的面積，發(fā)現(xiàn)圓的面積比圓內(nèi)正方形的面積（2 r2）大，比圓外正方形的面積（4 r2）要小，從而引出了圓面積的取值范圍。筆者認(rèn)為這樣的估測是有必要的，事實(shí)上學(xué)生在接觸這之前并沒有“化曲為直”的經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生把一個(gè)曲邊圖形轉(zhuǎn)化為直邊圖形來計(jì)算確實(shí)有一定的困難，而北師大版教材的編排是基于學(xué)生已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，遵循了學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，也只有經(jīng)歷了這樣的估測過程，才能激發(fā)學(xué)生對圓的面積計(jì)算方法的探究欲望。

筆者深深感覺“圖形的測量”這一塊內(nèi)容是我們數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，怎樣讓學(xué)生理解度量的本質(zhì)、掌握圖形的知識(shí)點(diǎn)，又能看到各圖形之間的聯(lián)系，這都需要教師在教學(xué)設(shè)計(jì)上把握一個(gè)整體性的要求。

參考文獻(xiàn)：

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[2]劉加霞 石秀榮.小學(xué)數(shù)學(xué)空間與圖形教學(xué)研究[M] .上海：華東師范大學(xué)出版社，2004.

[3]宋煜陽.長度單位填寫：如何從感知臆斷走向參照推理[J] .小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2012（12）：49-54.

1浙江省杭州市蕭山區(qū)萬向小學(xué)，浙江 杭州 311200

2浙江省杭州市蕭山區(qū)所前二小，浙江 杭州 311200