許萬成

(江蘇省建湖縣第二中學(xué) 224700)

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的三個(gè)重要性質(zhì)之一，在解決函數(shù)問題時(shí)有著廣泛的運(yùn)用.對函數(shù)的單調(diào)性考查是高考的熱點(diǎn)，多數(shù)情況下是以中檔題形式呈現(xiàn).為了使同學(xué)們對函數(shù)的單調(diào)性有一個(gè)更好的認(rèn)識，筆者根據(jù)自己平時(shí)的教學(xué)，將平時(shí)利用函數(shù)的單調(diào)性來解決的常見題型以例題的形式呈現(xiàn)給讀者.

一、確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)

例1 函數(shù)f(x)=f(x)=log1/2(x2-4)的單調(diào)遞增區(qū)間為( ).

解析由x2-4>0，得x>2或x<-2.

所以f(x)的定義域?yàn)?-,-2)∪(2,+).

令t=x2-4，則y=log1/2t(t>0).

因?yàn)閠=x2-4在(-,-2)上是減函數(shù)，且y=log1/2t在(0,+)上是減函數(shù)，所以f(x)在(-,-2)上是增函數(shù)，即f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-2).

答案:D

當(dāng)a<0時(shí)，f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)

當(dāng)a>0時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)在(-1,1)上遞減；

當(dāng)a<0時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(-1,1)上遞增.

評注(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間，如例1.

(2)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法有：①定義法；②圖象法；③利用已知函數(shù)的單調(diào)性；④導(dǎo)數(shù)法.

(3)復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的單調(diào)性應(yīng)根據(jù)外層函數(shù)y=f(t)和內(nèi)層函數(shù)t=g(x)的單調(diào)性判斷，遵循“同增異減”的原則.

二、利用函數(shù)單調(diào)性求值域或最值

三、利用單調(diào)性解不等式

評注解函數(shù)不等式：首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為f(g(x))>f(h(x))的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時(shí)要注意g(x)與h(x)的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi).

四、利用單調(diào)性比較兩個(gè)函數(shù)值或自變量的大小

例5 (2017天津，理6) 已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1)，b=g(20.8)，c=g(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為( ).

A.a

C.b

解析因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)且在R上是增函數(shù)，所以在x>0時(shí)，有f(x)>0，從而g(x)=xf(x)是R上的偶函數(shù)，且在[0,+)上是增函數(shù).a=g(-log25.1)=g(log25.1).20.8<2，又4<5.1<8，則2

評注比較大小是高考常見題，指數(shù)式、對數(shù)式的比較大小要結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，借助指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較大小，特別是靈活利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性數(shù)、形結(jié)合不僅能比較大小，還可以解不等式.

五、利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍

例6 如果函數(shù)f(x)=ax2+2x-3在區(qū)間(-,4)上是單調(diào)遞增的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ).

解析(1)當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=2x-3，在定義域R上是單調(diào)遞增的，故在(-,4)上單調(diào)遞增.

評注利用單調(diào)性求參數(shù)．

①視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)；

②需注意若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的；

③分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點(diǎn)的取值．