仲秋月

[摘 要]推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)之一。通過(guò)收集大量與數(shù)學(xué)推理教學(xué)相關(guān)的文獻(xiàn)資料，進(jìn)行整理、比較和分析，從數(shù)學(xué)推理的內(nèi)涵、數(shù)學(xué)推理的分類(lèi)、數(shù)學(xué)推理的教育價(jià)值、數(shù)學(xué)推理的教學(xué)研究以及對(duì)數(shù)學(xué)推理的研究展望這五個(gè)方面，闡述了未來(lái)研究應(yīng)該注重科學(xué)規(guī)范地教學(xué)合情推理、演繹推理，加強(qiáng)對(duì)合情推理與演繹推理教學(xué)的分析與研究，積極開(kāi)展實(shí)證性研究和評(píng)價(jià)研究等。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)推理;研究綜述;演繹推理;歸納推理;類(lèi)比推理;合情推理

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)確定為十大核心概念。高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)分解為數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析六個(gè)方面。林崇德教授認(rèn)為，高中數(shù)學(xué)課標(biāo)組對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的解讀也是小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的根本依據(jù)。因此，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理將有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展，這已成為近幾年數(shù)學(xué)教育界的一種共識(shí)。本文將對(duì)中國(guó)當(dāng)前數(shù)學(xué)推理研究進(jìn)行一次全面綜述。

一、數(shù)學(xué)推理的內(nèi)涵

推理是由已知判斷（前提）推出未知判斷（結(jié)論）。

曹培英曾說(shuō)：“推理是人們學(xué)習(xí)、工作和日常生活中經(jīng)常進(jìn)行的一種思維活動(dòng)，歷來(lái)是邏輯學(xué)、心理學(xué)以及認(rèn)識(shí)論研究的重要對(duì)象?！边壿媽W(xué)稱(chēng)之為“思維形式”，心理學(xué)更愿意將它看作“思維過(guò)程”，認(rèn)識(shí)論則進(jìn)一步認(rèn)為推理僅是對(duì)人類(lèi)抽象思維一個(gè)方面的“單純模擬”，因?yàn)槿说恼鎸?shí)思維，總是多種心理因素的綜合活動(dòng)?！巴评怼笔且环N思維活動(dòng)，“能力”是使某種活動(dòng)順利完成的個(gè)性心理特征，那么“推理能力”就可以解釋為“順利完成推理的個(gè)性心理特征”。

吳宏在《推理能力表現(xiàn)：要素、水平與評(píng)價(jià)指標(biāo)》中指出，數(shù)學(xué)推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，不能等同于純演繹的邏輯推理。從邏輯學(xué)角度來(lái)看，數(shù)學(xué)推理分為論證推理和合情推理，結(jié)合方法論，觀察、實(shí)驗(yàn)、聯(lián)想、猜測(cè)、直觀、推廣、限定、抽象等科學(xué)發(fā)現(xiàn)手段也屬于合情推理范疇。吳宏還進(jìn)一步指出了一般推理和數(shù)學(xué)推理之間的關(guān)聯(lián)：一般推理可能是模糊的、不精確的，會(huì)導(dǎo)致不明確的結(jié)果，從而出現(xiàn)有偏差的行為。

二、數(shù)學(xué)推理的分類(lèi)

課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“推理一般包括合情推理和演繹推理。”曹培英認(rèn)為，推理具有多樣性，可以根據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)，比較常見(jiàn)的分類(lèi)如圖1所示。

演繹推理是從一般到特殊的推理，即從一般性知識(shí)的前提推出特殊性結(jié)論，因而是必然性推理。演繹推理模式由三部分組成，叫作“三段論”。大前提是已知的一般原理，小前提是所研究的特殊情況，結(jié)論是根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出判斷。有時(shí)為了簡(jiǎn)化，也可以省略大前提。王永春在此基礎(chǔ)上將演繹推理細(xì)分為三段論、選言推理、假言推理和關(guān)系推理。合情推理是由已有事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)，通過(guò)歸納和類(lèi)比推斷某些結(jié)果的推理形式。

歸納推理是從特殊到一般的推理，即從特殊（個(gè)別）性知識(shí)的前提推出一般性結(jié)論。歸納推理可以根據(jù)前提所考察對(duì)象的范圍，分為完全歸納推理和不完全歸納推理。完全歸納推理考察了某類(lèi)事物的全部對(duì)象，無(wú)一例外，它也是必然推理;不完全歸納推理則僅僅考察了某類(lèi)事物的部分對(duì)象，由此推出的一般結(jié)論，可能真，也可能假，它也是合情推理。

在此基礎(chǔ)上，還可以根據(jù)前提是否揭示了對(duì)象與其屬性之間的因果聯(lián)系，把不完全歸納推理細(xì)分為簡(jiǎn)單枚舉歸納推理和科學(xué)歸納推理。簡(jiǎn)單枚舉歸納推理是根據(jù)某類(lèi)事物的部分對(duì)象有無(wú)某種屬性，考察中沒(méi)有遇到相反的情況，從而推出該類(lèi)全部對(duì)象有無(wú)某種屬性的歸納推理?？茖W(xué)歸納推理是指在考察（觀察或?qū)嶒?yàn)等）某類(lèi)事物的部分對(duì)象的基礎(chǔ)上，通過(guò)分析找出原因，以此為依據(jù)，由點(diǎn)及面推出結(jié)論的推理方式。對(duì)簡(jiǎn)單枚舉歸納推理而言，前提所考察的對(duì)象數(shù)量盡可能多一些、全面一些，有利于提高結(jié)論的可靠性;但對(duì)科學(xué)歸納推理而言，前提所考察的對(duì)象數(shù)量的多少對(duì)結(jié)論的可靠程度不起主要作用，只要是真正揭示了對(duì)象預(yù)期屬性之間的因果聯(lián)系，“知其然”且“知其所以然”，即使前提所考察的對(duì)象數(shù)量不多（甚至只有一個(gè)），也能得到較為可靠的結(jié)論。

類(lèi)比推理是由特殊到特殊的推理，即以?xún)蓚€(gè)或兩類(lèi)對(duì)象有部分屬性相同為前提，推出它們的其他屬性也有相同的結(jié)論，也稱(chēng)類(lèi)推。

不完全歸納推理和類(lèi)比推理屬于或然推理、似真推理，因?yàn)樗鼈兂３？此坪锨楹侠?，卻可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論。課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“在數(shù)學(xué)里，常常依靠合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索證明思路，然后通過(guò)演繹推理證明結(jié)論?！?/p>

值得一提的是，連四清、方運(yùn)加對(duì)合情推理模式進(jìn)行了辨析，他們指出：“在數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育的發(fā)展歷程中，演繹推理和歸納推理的作用一直都是非常關(guān)鍵的?！睌?shù)學(xué)研究表明，兩者相互關(guān)聯(lián)、融合一體地發(fā)揮作用，這是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的真諦。因而，數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生歸納推理和演繹推理能力的培養(yǎng)，確實(shí)是充分發(fā)揮數(shù)學(xué)育人功能的關(guān)鍵所在。更進(jìn)一步，只有充分強(qiáng)調(diào)歸納推理和演繹推理的聯(lián)系與綜合，才能把培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用歸納和演繹推理解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力放在核心地位，才能高效地推動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展。

三、數(shù)學(xué)推理的教育價(jià)值

殷嫻在《小學(xué)階段數(shù)學(xué)推理目標(biāo)實(shí)施綜述》中梳理了我國(guó)數(shù)學(xué)推理課程目標(biāo)的演進(jìn)歷程，指出數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)一直是小學(xué)數(shù)學(xué)教材的主線，貫穿于各年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式……在解決問(wèn)題的過(guò)程中，兩種推理功能不同，相輔相成。合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論;演繹推理用于證明結(jié)論?！蓖评聿粌H促進(jìn)人的思維的發(fā)展，同時(shí)促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展、推動(dòng)科學(xué)的發(fā)展。推理能力的發(fā)展對(duì)于個(gè)人與社會(huì)的發(fā)展都有著重要的意義，許多專(zhuān)家學(xué)者都給出了這樣的論斷。

史寧中教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)具有邏輯性，從假設(shè)前提出發(fā)，通過(guò)推理得到數(shù)學(xué)的結(jié)果，推理促進(jìn)了數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展。

曹培英認(rèn)為，推理的本質(zhì)功能在于生成新結(jié)論、推出新知識(shí)，因而它是如此重要。我們可以這樣說(shuō)，沒(méi)有推理，就沒(méi)有今天的數(shù)學(xué)，同樣可以說(shuō)，沒(méi)有推理，就沒(méi)有真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

王瑾認(rèn)為，小學(xué)生通過(guò)歸納推理認(rèn)知數(shù)學(xué)規(guī)律、形成數(shù)學(xué)概念，從而構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系，又通過(guò)歸納推理解決問(wèn)題。因此，歸納推理是小學(xué)數(shù)學(xué)中提高兒童數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特別是培養(yǎng)創(chuàng)新精神的重要的內(nèi)容。小學(xué)數(shù)學(xué)中的列舉推理往往是在具體情境中，根據(jù)對(duì)象的外部特征作出一定結(jié)論的，解決“是什么”的問(wèn)題。然而，科學(xué)歸納推理是通過(guò)發(fā)現(xiàn)對(duì)象與屬性之間內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系來(lái)說(shuō)明和解釋規(guī)律，獲得解釋一般結(jié)論的內(nèi)在依據(jù)，也就是解決“是什么”和“為什么”的問(wèn)題，具有一定的抽象性。列舉推理使學(xué)生“知其然”，而科學(xué)歸納推理不但使學(xué)生“知其然”且“知其所以然”，特別有助于學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的實(shí)質(zhì)理解，有利于學(xué)生養(yǎng)成科學(xué)分析的習(xí)慣。

綜上所述，無(wú)論是從個(gè)別現(xiàn)象出發(fā)抽象其共性總結(jié)出一般的結(jié)論的歸納推理，還是通過(guò)條件預(yù)測(cè)結(jié)果以及由結(jié)論探究成因這類(lèi)從特殊到一般的推理，都能夠發(fā)現(xiàn)新的“知識(shí)”，雖然這種“知識(shí)”具有或然性，卻是數(shù)學(xué)創(chuàng)新的根本。數(shù)學(xué)直觀、聯(lián)想與發(fā)現(xiàn)并不是“學(xué)到的”，而是在伴隨數(shù)學(xué)推理的過(guò)程中“生長(zhǎng)而來(lái)的”。推理是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解決問(wèn)題過(guò)程中不可或缺的基本思維方式，也是創(chuàng)新能力發(fā)展的根本。

四、數(shù)學(xué)推理的教學(xué)研究

課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中?！?/p>

徐斌艷在《數(shù)學(xué)推理活動(dòng)在數(shù)學(xué)教育中的意義》中指出：“學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本過(guò)程是類(lèi)比式的推理?！迸囵B(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的類(lèi)比推理可以從明確數(shù)學(xué)類(lèi)比物、鼓勵(lì)學(xué)生探測(cè)問(wèn)題結(jié)構(gòu)、在活動(dòng)中強(qiáng)調(diào)類(lèi)比推理的過(guò)程等方面入手。

曹培英在《跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”核心詞的實(shí)踐解讀之七——推理能力（上）（下）》中提出，小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)合情推理多于演繹推理、小學(xué)數(shù)學(xué)蘊(yùn)含著很多有待發(fā)掘的演繹推理、“猜想→實(shí)驗(yàn)→說(shuō)理”過(guò)程能使合情推理與演繹推理相輔相成;培養(yǎng)小學(xué)生的推理能力應(yīng)從重視知識(shí)的理解、鼓勵(lì)學(xué)生猜想、啟發(fā)學(xué)生說(shuō)理、充分利用直觀、“數(shù)、形、事”結(jié)合、適當(dāng)開(kāi)展推理訓(xùn)練、培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣、增強(qiáng)教師自身的素養(yǎng)八個(gè)方面入手。他在《小學(xué)數(shù)學(xué)合情推理的教學(xué)研究》中以實(shí)際的題例說(shuō)明了怎樣培養(yǎng)學(xué)生感悟合情推理的或然性以及怎樣啟發(fā)學(xué)生確認(rèn)合情推理的結(jié)論。

王瑾在《小學(xué)階段數(shù)學(xué)歸納推理課程的實(shí)施研究》中指出：“歸納推理的學(xué)習(xí)應(yīng)該是一個(gè)貫穿整個(gè)小學(xué)階段的認(rèn)知活動(dòng)?！毙W(xué)數(shù)學(xué)的歸納推理除了關(guān)注列舉推理以外，還應(yīng)該在適當(dāng)?shù)臅r(shí)期增加對(duì)科學(xué)歸納推理的重視。具體而言，根據(jù)兒童的認(rèn)知發(fā)展特點(diǎn)，在小學(xué)低年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)側(cè)重于幾何形象的、直觀的、數(shù)量相對(duì)較少的數(shù)學(xué)對(duì)象，側(cè)重于外部關(guān)系的內(nèi)容;小學(xué)中年級(jí)要注意由直觀形象的水平向抽象本質(zhì)的水平過(guò)渡;小學(xué)高年級(jí)可以選擇數(shù)量相對(duì)較多的、抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象，側(cè)重于內(nèi)部關(guān)系的內(nèi)容，同時(shí)注意討論數(shù)學(xué)對(duì)象與屬性之間的因果關(guān)系。他將小學(xué)歸納推理的教學(xué)大致劃分為有關(guān)系的四個(gè)階段：前歸納階段、歸納推理的初級(jí)階段、歸納推理的完善階段、歸納推理的前演繹階段。

黃偉星在《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要處理好合情推理和演繹推理的關(guān)系》中提出，加強(qiáng)教學(xué)設(shè)計(jì)中的分析判斷發(fā)展學(xué)生演繹推理能力，通過(guò)歸納和類(lèi)比猜想探尋數(shù)學(xué)規(guī)律發(fā)展合情推理能力，通過(guò)正反兩方證明數(shù)學(xué)規(guī)律，使合情推理與演繹推理相輔相成、兩種推理能力協(xié)同發(fā)展，對(duì)激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新精神，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力有很大幫助。

王永春在《小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的梳理（四）》中對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)中推理思想的應(yīng)用進(jìn)行了初步的梳理，并通過(guò)實(shí)例介紹了一些推理能力教學(xué)的方法。

對(duì)合情推理做過(guò)教學(xué)實(shí)踐研究的還有貢紅娣、李艷梅、王秋歌，梁仁東等;對(duì)演繹推理的教學(xué)展開(kāi)分析與討論的有郭玉俠、吉智深、劉霞非，吳敏、周正文，王俊等;對(duì)類(lèi)比推理進(jìn)行教學(xué)研究的有卞愛(ài)存、劉德宏、顧曉東、許盛文等;討論合情推理與演繹推理教學(xué)關(guān)系的有魏常春、張德勤等。

值得一提的是，在課程標(biāo)準(zhǔn)頒布的早期，曾有學(xué)者提出演繹推理能力的培養(yǎng)至關(guān)重要。如，徐斌艷、寧連華都在各自的文章中表達(dá)了斯滕伯格的觀點(diǎn)：數(shù)學(xué)推理的三個(gè)方面——分析性推理、創(chuàng)造性推理和實(shí)踐性推理同時(shí)起著重要作用。其中，分析性推理側(cè)重于演繹式邏輯分析，創(chuàng)造性推理側(cè)重于發(fā)現(xiàn)與猜想的活動(dòng)過(guò)程，而實(shí)踐性推理是指在真實(shí)、具體的問(wèn)題情境中，推斷、規(guī)劃解決問(wèn)題的方法。分析性推理依舊是數(shù)學(xué)推理的基本要素，因?yàn)榉治鲂酝评碓谀撤N程度上對(duì)創(chuàng)造性推理和實(shí)踐性推理具有明顯的推進(jìn)和制約作用。進(jìn)而指出，數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生推理能力的培養(yǎng)要立足于演繹推理的培養(yǎng)，同時(shí)發(fā)展學(xué)生合情推理、實(shí)踐性推理等能力。

五、數(shù)學(xué)推理的研究展望

通過(guò)文獻(xiàn)研究，我們能夠基本了解我國(guó)目前數(shù)學(xué)推理的研究概貌。可以知道，數(shù)學(xué)推理對(duì)數(shù)學(xué)教育和學(xué)生智力發(fā)展意義重大，是數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)，也是個(gè)人發(fā)展的基本素養(yǎng)。然而，數(shù)學(xué)教育理論研究方面和數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐方面都存在著很多難題，使得推理能力的培養(yǎng)無(wú)法真正落實(shí)到數(shù)學(xué)教育教學(xué)實(shí)踐中。筆者認(rèn)為，我們的研究工作還應(yīng)從以下方面展開(kāi)。

1.數(shù)學(xué)合情推理的教學(xué)應(yīng)科學(xué)規(guī)范

合情推理包括不完全歸納推理、類(lèi)比推理、統(tǒng)計(jì)推理等。這些推理均具有或然性，它們的結(jié)論可能是正確的，也可能是錯(cuò)誤的。然而，在實(shí)際教學(xué)中，由于合情推理的結(jié)論多數(shù)是人類(lèi)已經(jīng)形成的數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生所經(jīng)歷的只是一個(gè)“簡(jiǎn)化版”的“數(shù)學(xué)再創(chuàng)造”過(guò)程。學(xué)生在經(jīng)歷了較多這樣的“結(jié)果一定正確”的合情推理之后，自然會(huì)對(duì)合情推理產(chǎn)生錯(cuò)誤認(rèn)知，即“合情推理的結(jié)論都是正確的”。同時(shí)，教師教學(xué)時(shí)也會(huì)因此弱化合情推理的過(guò)程，甚至出現(xiàn)“非邏輯的自由聯(lián)想”或“想當(dāng)然”地得出結(jié)論，等等。如何改變合情推理的學(xué)習(xí)過(guò)程與教學(xué)設(shè)計(jì)？怎樣讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到合情推理的或然性？應(yīng)為學(xué)生提供怎樣的合情推理的題例？合情推理的教學(xué)過(guò)程如何展開(kāi)？如何做到科學(xué)規(guī)范？怎樣讓學(xué)生確認(rèn)不完全歸納推理的結(jié)論是正確的？如何通過(guò)合情推理能力的培養(yǎng)提高學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新能力？

2.數(shù)學(xué)演繹推理的教學(xué)應(yīng)予以重視

在現(xiàn)行的課程標(biāo)準(zhǔn)引領(lǐng)下，我國(guó)的數(shù)學(xué)推理教學(xué)已由原先的強(qiáng)調(diào)邏輯推理，逐步轉(zhuǎn)向?qū)锨橥评淼闹匾?，出現(xiàn)了一定的淡化邏輯推理的趨向。這一點(diǎn)，從研究合情推理和演繹推理的文獻(xiàn)資料比例上就能看出。

從課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于“數(shù)學(xué)推理”的課程目標(biāo)可知，第三學(xué)段中明確“體會(huì)通過(guò)合情推理探索數(shù)學(xué)結(jié)論，運(yùn)用演繹推理加以證明的過(guò)程，在多種形式的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理與演繹推理”。事實(shí)上，演繹推理并不是到了第三學(xué)段才開(kāi)始被學(xué)習(xí)與運(yùn)用的，在第一、二學(xué)段也蘊(yùn)含著很多有待發(fā)掘的演繹推理。研究數(shù)學(xué)推理，需要研究演繹推理的內(nèi)涵，研究演繹推理的主要類(lèi)型，研究蘊(yùn)含演繹推理的例題與習(xí)題，研究小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中如何滲透演繹推理，研究初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中如何運(yùn)用演繹推理證明的過(guò)程，研究演繹推理對(duì)促進(jìn)學(xué)生邏輯思維能力發(fā)展的影響與作用……

3.加強(qiáng)對(duì)合情推理與演繹推理教學(xué)的分析與研究

合情推理與演繹推理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與解決問(wèn)題的過(guò)程中是相輔相成、無(wú)法截然分開(kāi)的。合情推理用于探索思路、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，演繹推理用于證明結(jié)論。兩者相結(jié)合的推理教學(xué)無(wú)疑是學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力培養(yǎng)的關(guān)鍵。教師應(yīng)著重研究?jī)烧呓Y(jié)合的典型教學(xué)內(nèi)容，研究數(shù)學(xué)教材中兩者結(jié)合的數(shù)學(xué)推理在不同數(shù)學(xué)內(nèi)容領(lǐng)域中的分布，研究這一數(shù)學(xué)推理內(nèi)容的教學(xué)策略，研究數(shù)學(xué)推理與數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模之間的關(guān)系，等等。

4.開(kāi)展實(shí)證性研究和評(píng)價(jià)研究

關(guān)于數(shù)學(xué)推理的理論分析和教學(xué)實(shí)踐的文章并不多，尤其是實(shí)踐定量分析的文章非常少，而有關(guān)數(shù)學(xué)推理評(píng)價(jià)方面的文章更是無(wú)從搜索。因而，我們需要多進(jìn)行數(shù)學(xué)推理的評(píng)價(jià)研究和實(shí)證性的量化研究。實(shí)證性的量化研究可以研究學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)及解決問(wèn)題中推理能力、數(shù)學(xué)推理能力形成的基本過(guò)程等的發(fā)展因素、數(shù)學(xué)推理發(fā)展與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平的相關(guān)性，等等。

課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于推理能力的要求在不同學(xué)段呈現(xiàn)不同的水平層次差異，然而因?yàn)楫?dāng)前的課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于數(shù)學(xué)推理能力要求包含于數(shù)學(xué)思考表述中，表現(xiàn)在較多地關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法和觀念，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力表現(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)是不具體的、籠統(tǒng)的，推理能力表現(xiàn)的變化性和差異性沒(méi)有得到足夠的重視。在研究數(shù)學(xué)推理的過(guò)程中，我們應(yīng)對(duì)推理能力的發(fā)展提出更為明確的要求。如，怎樣引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考？如何才能比較清楚地表達(dá)自己思考的過(guò)程和結(jié)果？作為中小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心能力，推理能力在不同年齡和學(xué)習(xí)水平上具體有哪些差異性？怎樣的思考才是“有條理的思考”？發(fā)展合情推理和演繹推理的能力應(yīng)達(dá)到怎樣的程度？如何判斷學(xué)生形成了某種推理能力，其表現(xiàn)指標(biāo)和項(xiàng)目是否有差異？具體評(píng)價(jià)指標(biāo)是什么？等等。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 曹培英.跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”核心詞的實(shí)踐解讀之七——推理能力（上）[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2014（Z1）.

[2] 曹培英.跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”核心詞的實(shí)踐解讀之七——推理能力（下）[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2014（9）.

[3] 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[4] 黃偉星.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要處理好合情推理和演繹推理的關(guān)系[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2014（2）.

[本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃重點(diǎn)自籌課題“基于學(xué)科關(guān)鍵能力發(fā)展的數(shù)學(xué)核心內(nèi)容教學(xué)設(shè)計(jì)研究”（課題編號(hào)：B-b/2018/02/07）成果。]

（責(zé)編 李琪琦）