武漢

彈簧是高考物理命題的一個經(jīng)典模型，高考涉及彈簧問題的題型多樣，主要圍繞彈力的特點、彈力做功與彈性勢能的變化等關(guān)系展開，與其他的知識如力的平衡、牛頓運動定律、動能定理、動量定理、機械能守恒定律、功能關(guān)系、動量守恒定律等問題進行綜合。高考中彈簧模型的知識點有：

1.一般為輕彈簧。發(fā)生形變時(設形變量為x)，彈簧對其兩端物體的彈力沿彈簧的中軸線方向大小相等、方向相反。在彈性限度內(nèi)，彈力的大小遵循胡克定律F=kx(k為彈簧的勁度系數(shù)，大小只由彈簧本身的因素決定)。

2.彈簧的彈性勢能變化ΔEp與彈力做功W的關(guān)系ΔEp=-W。即彈力做了多少正功，彈簧的彈性勢能就減少多少；彈力做了多少負功，彈簧的彈性勢能就增加多少。

本文通過典型實例，分類解析彈簧模型在高考中的三類問題。

一、彈簧彈力的大小與特點

圖1

【例1】(原創(chuàng))如圖1所示，用一段細線和一根輕彈簧分別系住A、B兩個小球。B球的質(zhì)量為m，A球的質(zhì)量為M=2m。手握住線的上端沿水平向右做勻加速運動，不計空氣阻力，已知重力加速度為g，系統(tǒng)運動穩(wěn)定時細線與豎直方向的夾角θ=60°，當系統(tǒng)速度為v時細線恰好斷開。則以下說法正確的是

( )

A.細線斷開前彈簧的軸線與豎直方向的夾角α>θ

B.細線斷開后的瞬間彈簧對B球拉力的功率為2mgv

C.細線斷開后的瞬間A、B兩球的加速度大小相等

D.細線斷開后到小球落地前系統(tǒng)沿任何方向的動量均不守恒

【答案】C

圖2

【點評】在彈性限度內(nèi)，彈力大小與彈簧的形變量成正比，即F=kx。彈簧彈力的大小不能發(fā)生突變，只有當彈簧的形變量發(fā)生變化時彈簧彈力才發(fā)生變化。

【例2】(2019年湖北黃岡模擬)(多選)如圖3所示，光滑水平地面上，可視為質(zhì)點的兩小滑塊A、B在水平外力F的作用下緊靠在一起壓縮彈簧，彈簧左端固定在豎直擋板上，此時彈簧的壓縮量為x0。以地面上兩滑塊此時的位置為坐標原點O，水平向右建立位移坐標軸Ox，現(xiàn)將外力F突然反向并使B向右做勻加速運動。則關(guān)于外力的大小F、兩滑塊間彈力的大小FN隨滑塊B位移x變化的圖象可能正確的是

( )

圖3

A

B

C

D

【答案】BD

【點評】本題是彈簧與動力學圖象相結(jié)合的選擇判斷問題，以上分析求解中通過運用牛頓運動定律分別導出力F、FN隨x變化的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)關(guān)系式及相關(guān)的數(shù)學知識和可能存在的條件對圖象作出正確的判斷。

【小結(jié)】彈簧的彈力與彈簧的形變量相對應。分析彈簧彈力及變化問題一般從彈簧的形變情況分析入手，確定彈簧原長位置、現(xiàn)長位置及臨界位置，找出彈簧形變量x與彈簧兩端物體空間位置變化的幾何關(guān)系，確定彈簧彈力的大小及方向，根據(jù)彈簧兩端物體的運動狀態(tài)再結(jié)合相關(guān)的力學規(guī)律求解。

二、彈力做功與彈性勢能的變化

圖4

【例3】(2019年哈爾濱模擬)(多選)如圖4所示，質(zhì)量相等的小物體A、B用豎直輕彈簧連接，B放在水平地面上，A用一根不可伸長的輕繩相連，輕繩的另一端繞過固定在物體A正上方的光滑小定滑輪D與小環(huán)C相連，小環(huán)C套在豎直固定的光滑細桿上。開始時小環(huán)位于桿上位置R處，此時繩與桿的夾角為θ，物體B與地面恰好無壓力。圖中SD水平，位置Q與R關(guān)于S點對稱。現(xiàn)讓小環(huán)從R點靜止釋放，已知在環(huán)下落的過程中細繩始終處于拉直狀態(tài)，且環(huán)到達位置Q時速度最大。則在小環(huán)由R到Q的過程中，下列說法正確的是

( )

A.小環(huán)C與物體A組成的系統(tǒng)機械能守恒

B.小環(huán)C在位置S處其機械能一定最大

C.小環(huán)C從位置R到Q的過程中彈簧的彈性勢能可能先減小后增大

【答案】BCD

【點評】當系統(tǒng)內(nèi)只有重力、彈簧彈力做功時系統(tǒng)的機械能守恒。彈簧彈力做功與路徑無關(guān)，只與初末位置有關(guān)。彈簧彈力做功對應彈簧彈性勢能的變化。彈簧的彈性勢能與彈簧的勁度系數(shù)及形變量有關(guān)。同一彈簧的形變量相同時彈性勢能相等。

【例4】(原創(chuàng))如圖5所示，勁度系數(shù)k=800 N/m的輕彈簧兩端分別連接著兩個質(zhì)量相同且均可視為質(zhì)點的物體A、B，豎立靜止在水平地面上。以A物體此時所在的位置為位移坐標的原點，豎直向上建立位移坐標系，給物體A加一豎直向上的力F，通過傳感器與DIS系統(tǒng)測出力F隨位移x變化的圖象如圖6所示。已知在A物體運動一段時間后B物體離開地面，設整個過程彈簧都處于彈性限度內(nèi)，g取10 m/s2。求：

圖5

圖6

(1)從A開始運動到B離開地面過程中F做的功WF；

(2)A物體運動多長時間B離開地面？

【答案】(1)49.5 J (2)0.4 s

【解析】(1)設兩物體質(zhì)量均為m，在A物體運動一段時間t到B物體離開地面的整個過程中，彈簧由壓縮量x1變?yōu)樯扉L量x2。加力F前對A有kx1=mg；當B離地有kx2=mg；由圖乙知x1+x2=0.3 m；解得m=12 kg，x1=x2=0.15 m。

(2)由題知B離地前A做勻加速運動，有

對A由牛頓第二定律得

F1+kx1-mg=ma；F2-kx2-mg=ma。

解以上幾式得t=0.4 s。

【點評】同一彈簧在壓縮與伸長的形變量相同時，彈簧的彈力大小相等、方向相反，彈性勢能相同，這是彈簧對稱性的表現(xiàn)。在彈簧由壓縮到伸長相同的形變量的過程中，彈簧彈力做的總功為零。根據(jù)彈簧的這一對稱性特點，為用動能定理、能量守恒定律來定量分析彈簧的功能問題帶來了可能，體現(xiàn)了彈簧問題的特殊性。

【小結(jié)】由于目前高考中全國卷考綱不要求利用彈性勢能的表達式進行定量計算彈性勢能的大小，因此有關(guān)彈簧彈性勢能的定量計算可用以下兩種方法：(1)通過彈力做功求彈性勢能大小。由于彈力大小F隨彈簧的形變量x是線性變化關(guān)系，可求這種變力的平均值(即為算術(shù)平均值)，由功的公式求其做的功，或利用F-x線性圖象中的“面積”求變化的彈力做功，或用“微元法”來計算變化的彈力做功，再根據(jù)彈力做功與彈性勢能的變化關(guān)系來確定彈性勢能的大??；(2)根據(jù)動能定理、能量轉(zhuǎn)化和守恒定律求彈性勢能的大小，在一些特殊情況下可充分利用彈簧的對稱性來分析問題。

三、彈簧類的探究性實驗

圖7

【例5】(2019年廣州模擬)如圖7所示為某同學做“探究彈力和彈簧伸長量關(guān)系”時實驗的裝置，讓刻度尺零刻線與彈簧上端平齊，彈簧不掛物體時下端指針所指的刻度為x0，在彈簧下用足夠長的輕質(zhì)細線掛上4個相同的鉤碼(彈簧處于彈性限度內(nèi))，靜止置于燒杯T內(nèi)，控制閥門S通過細膠管向燒杯中緩慢注水，依次浸沒4個鉤碼，記錄每浸沒一個鉤碼時指針所指的刻度x1、x2、x3、x4，已知每個鉤碼質(zhì)量為m，重力加速度為g，以xn為縱坐標，n為橫坐標建立坐標系，作出xn和浸沒鉤碼個數(shù)n的關(guān)系圖線，求得圖線斜率為a，縱截距為b，則該彈簧的勁度系數(shù)為________，每個鉤碼所受浮力為________。(均用a、b、m、g和x0表示)

圖8

【例6】(改編)某同學利用如圖8 所示裝置來驗證機械能守恒定律，并測量彈簧的勁度系數(shù)。A、B是由輕彈簧相連的質(zhì)量均為m的兩小物塊，C是質(zhì)量為M的重物，A、C間由輕質(zhì)細繩相連。在物塊B下放置一壓力傳感器，重物C下放置一速度傳感器，壓力傳感器與速度傳感器相連。整個實驗中彈簧均處于彈性限度內(nèi)，重力加速度大小為g。實驗操作如下：

a.開始時，系統(tǒng)在一外力作用下保持靜止，細繩拉直但張力為零?，F(xiàn)釋放C，使其向下運動，當壓力傳感器示數(shù)為零時，速度傳感器測出C的速度為v。

b.在實驗中保持A、B質(zhì)量不變，改變C的質(zhì)量M，多次重復步驟a。

回答下列問題：

(1)為便于研究速度v與質(zhì)量M的關(guān)系，每次測C的速度時，C已下降的高度應________(填“相同”或“不同”)。

(3)根據(jù)(2)中的圖線，若圖線在縱軸上的截距為b，則彈簧的勁度系數(shù)為________(用題給的已知量表示)。

【點評】本實驗驗證物塊A、重物C及彈簧系統(tǒng)的機械能守恒，并測量彈簧的勁度系數(shù)，巧妙地利用了初末狀態(tài)下彈簧的彈性勢能相同。作線性圖象處理實驗數(shù)據(jù)，是實驗數(shù)據(jù)處理的一種常見的方法。