孫艷艷
[摘 ?要] 高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容與生活有著密切的聯(lián)系,高中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程,必然存在一個從生活到數(shù)學(xué)的過程,這樣的一個過程就是數(shù)學(xué)抽象的過程.站在教學(xué)的角度,認(rèn)識數(shù)學(xué)抽象的價值與意義,尋找數(shù)學(xué)抽象的有效途徑,是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的關(guān)鍵之舉. 數(shù)學(xué)抽象與一般抽象不同之處在于,其是以數(shù)和形的視角去觀察事物的,其抽象的依據(jù)也是數(shù)與形. 在核心素養(yǎng)的背景下,去培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力,離不開以下幾個環(huán)節(jié):一是創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境,給學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象提供契機(jī);二是體驗數(shù)學(xué)抽象過程,讓學(xué)生形成數(shù)學(xué)抽象能力;三是回顧數(shù)學(xué)抽象過程,將數(shù)學(xué)抽象能力進(jìn)一步上升為數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).
[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)抽象
抽象是高中數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征,當(dāng)用“數(shù)”與“形”概括數(shù)學(xué)學(xué)科的特質(zhì)時,就已經(jīng)意味著數(shù)學(xué)具有高度的抽象性,但同時應(yīng)當(dāng)注意到的是,高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容與生活又有著密切的聯(lián)系,高中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程,必然存在一個從生活到數(shù)學(xué)的過程,這樣的一個過程就是數(shù)學(xué)抽象的過程. 很多時候,數(shù)學(xué)學(xué)科的魅力也就存在于這樣的一個數(shù)學(xué)抽象的過程當(dāng)中. 正是注意到數(shù)學(xué)學(xué)科的這一特質(zhì),有人才高度概括了數(shù)學(xué)特征,認(rèn)為數(shù)學(xué)抽象體現(xiàn)了人類的活動. 站在教學(xué)的角度,認(rèn)識數(shù)學(xué)抽象的價值與意義,尋找數(shù)學(xué)抽象的有效途徑,是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的關(guān)鍵之舉. 而在核心素養(yǎng)的背景下,筆者注意到高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中,數(shù)學(xué)抽象是一個重要的因素,而且位列六個要素之首,由此可見數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)性作用.
在核心素養(yǎng)的背景之下,思考高中數(shù)學(xué)中與數(shù)學(xué)抽象相關(guān)的教學(xué),一個很重要的平臺就在于,教師要尋找適當(dāng)?shù)妮d體,讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過程,在這個過程中形成認(rèn)知與情感兩個方面的收獲,從而促進(jìn)自身對數(shù)學(xué)抽象的理解——這個理解可以是隱性的,只要能夠促進(jìn)學(xué)生有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象活動就行. 從核心素養(yǎng)培育的角度來看,這其實也是一種關(guān)鍵能力,一種將生活中相關(guān)的素材進(jìn)行抽象,只留下與問題解決相關(guān)的要素,并且能夠用數(shù)學(xué)語言來進(jìn)行描述的能力.
■傳統(tǒng)教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象的基本意義
在核心素養(yǎng)背景下思考數(shù)學(xué)抽象,不能完全脫離于已有的教學(xué)傳統(tǒng). 事實上作為數(shù)學(xué)教學(xué)研究的一個具有持續(xù)生命力的熱點,數(shù)學(xué)抽象歷來受到數(shù)學(xué)教師的重視. 因此在核心素養(yǎng)的背景下理解數(shù)學(xué)抽象,是不能脫離傳統(tǒng)教學(xué)背景中數(shù)學(xué)抽象基本意義的理解的.
數(shù)學(xué)抽象是抽象的下位概念.抽象是從眾多的事物中抽取出共同的、本質(zhì)性的特征,而舍棄其非本質(zhì)特征的思維過程. 數(shù)學(xué)抽象是一種特殊的抽象,其特殊性表現(xiàn)在數(shù)學(xué)抽象的對象是“空間形式和數(shù)量關(guān)系”,現(xiàn)實世界中的“空間形式和數(shù)量關(guān)系”與思維想象中的“空間形式和數(shù)量關(guān)系”都是數(shù)學(xué)研究的范疇,因此數(shù)學(xué)抽象既可以是現(xiàn)實世界中的,也可以是數(shù)學(xué)思維世界中的. 由此可以看見,數(shù)學(xué)抽象與一般抽象不同之處在于,其是以數(shù)和形的視角去觀察事物的,其抽象的依據(jù)也是數(shù)與形. 這是一個非常奇妙的過程,在數(shù)學(xué)人的眼里,生活中紛繁復(fù)雜的事物,被抽象為簡潔的數(shù)與形后,就是一種非常美的結(jié)果.
以圓錐曲線為例,根據(jù)一般教材的邏輯,圓錐曲線被認(rèn)為是一個平面通過不同的方式去截圓錐面的結(jié)果,這當(dāng)然可以演繹出數(shù)學(xué)的抽象美. 而如果在實際教學(xué)中,能夠結(jié)合實際的事物,讓學(xué)生認(rèn)識到在生活中圓錐曲線的存在,然后再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,那學(xué)生對圓錐曲線的理解就可以建立在形象的生活事物基礎(chǔ)之上,從學(xué)習(xí)心理特點的角度來看,這樣的教學(xué)設(shè)計更符合學(xué)生的學(xué)習(xí)需要,更利于學(xué)生的記憶與理解.
所以在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)抽象的意義,是有利于學(xué)生有效地掌握數(shù)學(xué)知識進(jìn)而形成用數(shù)學(xué)知識去解決問題能力的.
■核心素養(yǎng)背景下的數(shù)學(xué)抽象理解
如果說傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中對核心素養(yǎng)的理解,還帶有一定的功利指向,那核心素養(yǎng)背景下的數(shù)學(xué)抽象,就是真正為了培養(yǎng)學(xué)生的素養(yǎng),其理解是指向?qū)W生的社會發(fā)展與終身發(fā)展的,是學(xué)生所需要的關(guān)鍵能力的組成部分. 從學(xué)生思維加工的角度來看,數(shù)學(xué)抽象很大程度上就是培養(yǎng)學(xué)生的符號意識,這里所說的符號包括數(shù)與形以及它們之間的關(guān)系. 當(dāng)學(xué)生能夠熟練地運用符號去表征數(shù)學(xué)規(guī)律時,就可以認(rèn)為學(xué)生已經(jīng)具有了較強(qiáng)的數(shù)學(xué)抽象能力. 進(jìn)一步研究表明,有效的數(shù)學(xué)抽象活動的基本步驟是:分離屬性與建構(gòu)模型—概括與普適化—定義與符號化—系統(tǒng)化,數(shù)學(xué)抽象必須借助“數(shù)學(xué)直觀”. 這種抽象活動的認(rèn)知機(jī)制給數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示是:設(shè)計有針對性的抽象活動步驟,全面而有側(cè)重點地開展各種抽象活動,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行及時的反思和總結(jié).
基于這樣的理解,筆者以為在核心素養(yǎng)的背景下,去培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力,離不開以下幾個環(huán)節(jié):
一是創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境,給學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象提供契機(jī)
對于高中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言,情境的作用不言而喻. 在學(xué)習(xí)“函數(shù)的簡單性質(zhì)”這一內(nèi)容時,首先要學(xué)的就是函數(shù)的單調(diào)性. 從字面意義上來看,“單調(diào)性”不足以讓學(xué)生立即想到函數(shù)的某種性質(zhì),因此就需要教師提供形象的生活素材,讓學(xué)生通過有效的思維加工,去理解函數(shù)的單調(diào)性. 常見的鮮活的素材有某個地方的氣溫隨著時間的變化圖像等. 通過這樣的素材所創(chuàng)設(shè)出來的情境,關(guān)鍵在于讓學(xué)生認(rèn)識到在不同的時間段(定義域)內(nèi),函數(shù)的變化趨勢是不一樣的,而要描述這種變化特征,就需要賦予函數(shù)一定的概念表達(dá),這就是函數(shù)的單調(diào)性.
二是體驗數(shù)學(xué)抽象過程,讓學(xué)生形成數(shù)學(xué)抽象能力
教學(xué)經(jīng)驗表明,當(dāng)給出學(xué)生一個相對復(fù)雜的氣溫隨著時間的變化圖像時,如果提出恰當(dāng)?shù)膯栴}如“氣溫的變化與時間之間是一個什么樣的關(guān)系”,那絕大多數(shù)學(xué)生很快就能發(fā)現(xiàn),這種關(guān)系并不是一種單一的關(guān)系,其需要分段討論,而這個分段的過程,實際上也就是將整個定義域進(jìn)行劃分的過程. 這樣的一個過程對于絕大多數(shù)學(xué)生而言,并不是一件困難的事情,主要的困難在于用數(shù)學(xué)語言去描述自己的發(fā)現(xiàn),也就是“怎樣用數(shù)學(xué)語言去刻畫不同的時間段內(nèi)‘氣溫隨時間的變化而變化的特征”.這是一個在學(xué)生體驗的基礎(chǔ)上,運用數(shù)學(xué)語言去描述發(fā)現(xiàn)的過程,本質(zhì)上就是數(shù)學(xué)抽象——將形象的事例抽象為數(shù)學(xué)語言. 經(jīng)驗表明在這一教學(xué)環(huán)節(jié),教師的主要任務(wù)在于鼓勵學(xué)生用自己的語言去描述發(fā)現(xiàn),然后再將學(xué)生的語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言. 只要有效地實現(xiàn)了這一轉(zhuǎn)換,那數(shù)學(xué)抽象的過程就是成功的.
三是回顧數(shù)學(xué)抽象過程,將數(shù)學(xué)抽象能力進(jìn)一步上升為數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)
在上述環(huán)節(jié)中,學(xué)生可以有效地經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過程,但是需要注意的是,體驗帶給學(xué)生的往往是一種理性的認(rèn)識,學(xué)生很難顯現(xiàn)的,感覺到在這樣的一個過程中,自己已經(jīng)經(jīng)歷了一個數(shù)學(xué)抽象過程,而如果長此以往,并不利于學(xué)生形成數(shù)學(xué)抽象意識. 所以很大程度上這里要設(shè)計一個讓學(xué)生進(jìn)行回顧與反思的環(huán)節(jié),以讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)抽象的價值,認(rèn)識到數(shù)學(xué)抽象的基本步驟.這是抽象能力有效上升為數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的關(guān)鍵環(huán)節(jié).
就筆者實踐過的若干案例而言,通過類似于以上的教學(xué)環(huán)節(jié),去培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng),是行之有效的.
■傳統(tǒng)現(xiàn)代結(jié)合驅(qū)動核心素養(yǎng)落地
在上面兩點當(dāng)中,筆者闡述了傳統(tǒng)視角下以及現(xiàn)代核心素養(yǎng)視角下數(shù)學(xué)抽象的理解與價值. 從核心素養(yǎng)落地的角度來看,以數(shù)學(xué)抽象的培養(yǎng)為契機(jī),推動整個數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地是可行的. 而要做到這一點,就必須在繼承傳統(tǒng)的技術(shù)上,在核心素養(yǎng)的視角之下,對數(shù)學(xué)抽象進(jìn)行理解與實踐上的創(chuàng)新.
從經(jīng)驗的角度來看,傳統(tǒng)視角下的數(shù)學(xué)抽象理解已經(jīng)相對比較成熟,而考慮到核心素養(yǎng)已經(jīng)成為當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)的新背景,那數(shù)學(xué)抽象很自然地就是數(shù)學(xué)教學(xué)的永恒主題. 在核心素養(yǎng)背景下思考數(shù)學(xué)抽象,有著重要的歷史意義與現(xiàn)實意義. 其具體可從理解核心素養(yǎng)背景下的數(shù)學(xué)抽象概念、發(fā)掘核心素養(yǎng)背景下數(shù)學(xué)抽象的內(nèi)涵、在數(shù)學(xué)抽象的三個階段中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力等角度來進(jìn)行.
其實從上面“函數(shù)的簡單性質(zhì)”這個教學(xué)案例可以發(fā)現(xiàn),在核心素養(yǎng)的背景下去實施數(shù)學(xué)抽象的教學(xué),本質(zhì)上就是引導(dǎo)學(xué)生走入所創(chuàng)設(shè)的教學(xué)情境,讓學(xué)生去對教學(xué)情境中的素材進(jìn)行加工,去對教師提出的問題進(jìn)行深入理解,這樣學(xué)生就可以經(jīng)歷一個豐富的數(shù)學(xué)抽象過程,數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)在這樣的過程中就可以有效落地.
總體而言,數(shù)學(xué)抽象作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中重視、核心素養(yǎng)的背景下亦重視的對象,其在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中必須受到高度重視,數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)以數(shù)學(xué)抽象為抓手,去促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的理解與落地. 這對于當(dāng)前核心素養(yǎng)處于初步的探索階段來說,具有現(xiàn)實意義. 可以肯定地講,如果能夠在數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)落地的教學(xué)上取得突破,那整個數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地就是有保證的,其可以有效打開核心素養(yǎng)培育的大門.