周巧

【摘 要】橢圓作為圓錐曲線章節(jié)中的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，是高中數(shù)學(xué)知識(shí)中的重難點(diǎn)，也是高考時(shí)必考題目，并且所占分值較大。但是本節(jié)知識(shí)點(diǎn)題型靈活多變，計(jì)算量甚大，是高考綜合計(jì)算題的必考題目。所以橢圓知識(shí)的學(xué)習(xí)，不僅能夠提高數(shù)學(xué)成績，還可以幫助高中生培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維。本文將對(duì)高中數(shù)學(xué)中橢圓的解題方法進(jìn)行探究。

【關(guān)鍵詞】高中；數(shù)學(xué)；橢圓；解題方法

一、引言

橢圓問題作為高中數(shù)學(xué)知識(shí)的重難點(diǎn)內(nèi)容，我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)過程中需要多加用心，而且橢圓知識(shí)經(jīng)常與其他數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合考察，所以我們?cè)谧鼍毩?xí)題目的時(shí)候經(jīng)常會(huì)利用橢圓知識(shí)來解決一些重要的數(shù)學(xué)問題。由于橢圓考法靈活多變，題型復(fù)雜，所以高中生必須要熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)，針對(duì)不同類型的橢圓題型，從不同角度入手，采取多種解題方法解決此類問題。

二、高中數(shù)學(xué)橢圓題型的解題方法

（一）使用待定系數(shù)法確定橢圓方程

例題1：已知橢圓的中心為原點(diǎn)，橢圓同時(shí)經(jīng)過兩點(diǎn)，分別為m（6，1），n（3，2），請(qǐng)寫出橢圓方程。分析題目：我們?cè)谧鲱}的時(shí)候，第一步是讀題，再從題目中提取有用信息，之后根據(jù)之前做題的經(jīng)驗(yàn)判斷出本題的解題切入角度，最后在開始解題。本例題就可以將橢圓方程設(shè)為ax2+by2=1（a>0，b>0，且a≠b）。解題步驟為：因?yàn)闄E圓過m、n兩點(diǎn)，所以a、b兩點(diǎn)在橢圓上，坐標(biāo)適合于橢圓方程。那么36a+b=1 （1），9a+4b=1 （2），將（1）（2）兩式聯(lián)立，最后得出a=1/45，b=1/5.所以橢圓方程為x2/45+y2/5=1.此類橢圓題目就可以根據(jù)題目信息，使用待定系數(shù)法求出橢圓方程，換言之，就是通過對(duì)a和b求解，再將橢圓方程寫出來。第一步是確定題型，再選用合適的方法，最后計(jì)算。但是利用待定系數(shù)法解決題目的時(shí)候，需要根據(jù)具體題型寫出最方便解題的橢圓方程，比如將橢圓方程寫作ax2+by2=1（a>0，b>0，且m≠n），在將題目中給定的數(shù)據(jù)帶入計(jì)算出a和b的數(shù)值，也就寫出橢圓方程了。

（二）根據(jù)橢圓定義解題

高中數(shù)學(xué)中對(duì)橢圓的定義為：平面內(nèi)和兩個(gè)定點(diǎn)分別記為F1和F2之間的距離之和大于常數(shù)2a（數(shù)學(xué)表達(dá)式為：2a>F1F2│）的動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡稱為橢圓，數(shù)學(xué)表達(dá)式寫作：│PF1│+│PF2│=2a。本公式中的兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2稱作橢圓的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)與坐標(biāo)軸之間的距離用字母c表示，數(shù)學(xué)公式為：│F1F2│=2c<2a，2c為橢圓的焦距，P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)。在做橢圓題目的時(shí)候，遇到求解橢圓焦點(diǎn)問題時(shí)，就可以使用這種方法解決。例題2：已知△ABC的底邊AB=14，AC和BC兩條邊上的中線長度之和為27，求解此三角形中心G的運(yùn)動(dòng)軌。分析題目：有題目給出的條件可以得出│AG│+│BG│=18，之后再根據(jù)橢圓的定義進(jìn)行求解。解題步驟為：設(shè)AB所在直線為x軸，AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系。G點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），因?yàn)椹G│+│BG│=18，所以三角形重心G的運(yùn)動(dòng)軌跡是以A、B兩點(diǎn)作為焦點(diǎn)的橢圓，又因?yàn)锳、B兩點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，所以得出a=9，c=7，所以b=2√8。所以橢圓方程為x2/81+y2/49=1，（y≠0）。

但是在實(shí)際的解題的時(shí)候，題目并不會(huì)如此單一，很多時(shí)候會(huì)與其他知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合考察，所以就需要我們高中生提高自己對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，平時(shí)在課下對(duì)所學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行練習(xí)鞏固，將各個(gè)知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通，養(yǎng)成一定的做題慣性。通常會(huì)有兩種方法結(jié)合使用的題目，我們?cè)谧鲱}的時(shí)候需要以定義法作為解題的基礎(chǔ)方法，再考慮其他的解題方法，有時(shí)候一個(gè)題目有多種解法，但是計(jì)算過程中計(jì)算量不同，所需要花費(fèi)的解題時(shí)間也不一樣，因此我們?cè)谄綍r(shí)做練習(xí)題的時(shí)候，需要對(duì)同一題目采用多種解題方法解答問題，拓寬自己解題的思路。隨著新時(shí)代課程改革的進(jìn)展，橢圓問題的解決方法也會(huì)逐漸增多，比如向量法、數(shù)形結(jié)合法等。隨著這些知識(shí)點(diǎn)與橢圓等圓錐曲線問題的結(jié)合考察與解答，可以幫助我們高中生拓寬解題思維方向，輕松解答各種高中數(shù)學(xué)題目。也需要高中生在不斷的練習(xí)過程中，歸納總結(jié)題型以及簡(jiǎn)便解法，讓自己在上考場(chǎng)的時(shí)候，利用最少的時(shí)間做出題目，并保證正確率，最后獲得高分，進(jìn)入自己理想的大學(xué)。

三、解答高中數(shù)學(xué)中橢圓題目的重點(diǎn)

在上文解題的時(shí)候也簡(jiǎn)要指出解答橢圓問題的方法步驟。第一步就是讀題，審題。本步驟是解答問題的關(guān)鍵性操作，因?yàn)橥ㄟ^對(duì)題目的閱讀與審判，知道本題是何種題型、使用何種解題方法。從給出的信息條件中找到解題時(shí)需要使用的關(guān)鍵信息，了解題目的已知條件以及位置關(guān)系，根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算。下一步就是在解題的過程使用運(yùn)用之前自己學(xué)習(xí)的知識(shí)，解答問題。這與我們高中生平時(shí)的積累聯(lián)系息息相關(guān)，對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度的高低是做對(duì)題目幾率大小的基礎(chǔ)。在教學(xué)中，教師要關(guān)注橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等知識(shí)，直線與橢圓的位置關(guān)系主要出現(xiàn)在解答題中，題型主要以選擇、填空題為主，一般為中等難度題。目前我國高中數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系越來越密切，因此我們高中生在學(xué)習(xí)橢圓知識(shí)的時(shí)候，需要循序漸進(jìn)，由淺入深，還需要與其他知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行結(jié)合，在學(xué)習(xí)新知識(shí)的同時(shí)，鞏固學(xué)過的知識(shí)。需要做到簡(jiǎn)答問題必須做對(duì)，中級(jí)問題盡最大努力學(xué)會(huì)，課下多練習(xí)，考試的時(shí)候爭(zhēng)取做對(duì)，而高難度問題需要我們?cè)谄綍r(shí)的聯(lián)系中多做，考試的時(shí)候如果不會(huì)，就將自己會(huì)的步驟寫下來，爭(zhēng)取多得分。

四、解答高中數(shù)學(xué)中橢圓題目時(shí)的注意事項(xiàng)

作為一名在讀高中學(xué)生，我們?cè)谡n堂上學(xué)習(xí)橢圓知識(shí)的時(shí)候，需要特別注意老師解題時(shí)對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)步驟以及使用的計(jì)算方法。并且隨著學(xué)習(xí)的不斷深入，要注重對(duì)所學(xué)知識(shí)、題型的歸納總結(jié)，增強(qiáng)對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握能力，為之后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。目前我國高中教材中對(duì)圓錐曲線章節(jié)是按照?qǐng)A-橢圓-雙曲線-拋物線的順序進(jìn)行安排的，教師在講課的時(shí)候大部分也是按照課本的順序講解的，所以我們學(xué)生在學(xué)習(xí)的時(shí)候需要學(xué)好每一部分知識(shí)，一步一個(gè)腳印，扎實(shí)掌握每一部分。還需要提高對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的重視程度，俗話說，地基打不牢，大樓頃刻倒塌。所以在學(xué)習(xí)的過程中，根據(jù)老師講課進(jìn)度、練習(xí)題難度的增加，鞏固知識(shí)，一層層的推進(jìn)，從易到難，由淺及深。我們還需要注意對(duì)自己錯(cuò)題的整理與歸納，通過反復(fù)的練習(xí)，增強(qiáng)自己解題的感覺。除了上述方法之外，還可以在解題的時(shí)候引入數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)解題思維，將所學(xué)知識(shí)從課本上升至實(shí)例中?，F(xiàn)在某些地方的教師在講課的時(shí)候，可能錯(cuò)估了學(xué)生學(xué)習(xí)接受鞏固知識(shí)的時(shí)間，也對(duì)學(xué)生可以接受的難度判斷失誤，使得自己講的知識(shí)難度增加，而學(xué)生們無法跟上老師的進(jìn)度，導(dǎo)致我們?cè)趯W(xué)習(xí)橢圓知識(shí)的時(shí)候，基礎(chǔ)知識(shí)掌握不牢固，難點(diǎn)知識(shí)學(xué)不會(huì)。因此我們學(xué)生自己必須根據(jù)老師推薦的資料進(jìn)行自我練習(xí)，根據(jù)高考試卷了解考點(diǎn)及難度，歸納總結(jié)考試中使用的解題方法以及解題技巧，不斷提高題目的難度，以幫助自己提高做題效率和考試成績。目前，橢圓作為我國高考數(shù)學(xué)試卷中考試重點(diǎn)知識(shí)，往往會(huì)與其他圓錐曲線聯(lián)合考察，比如拋物線和雙曲線，應(yīng)該在做練習(xí)的時(shí)候注意與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合，具體題目具體分析，我們?cè)趯W(xué)習(xí)的時(shí)候必須將橢圓知識(shí)掌握牢固，為后續(xù)圓錐曲線的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

五、結(jié)論

總而言之，高中數(shù)學(xué)中所考到的橢圓題型復(fù)雜多變，解題方法也靈活，但是其考察的知識(shí)點(diǎn)范圍是一定的，需要我們注意扎實(shí)掌握基礎(chǔ)知識(shí)，利用課余時(shí)間多加練習(xí)。平時(shí)我們常用的解題方法基本上就以下幾種：性質(zhì)法、待定系數(shù)法和定義法。我們?cè)谄綍r(shí)學(xué)習(xí)的時(shí)候還需要調(diào)動(dòng)自己學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，培養(yǎng)自己學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，在練習(xí)題中獲得快樂，可以對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與知識(shí)背后的故事結(jié)合理解，豐富學(xué)習(xí)的內(nèi)容，拓寬解題思路。希望所有的高中都能考出一個(gè)好成績，步入理想的大學(xué)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉欽澤.試析高中數(shù)學(xué)中橢圓與雙曲線交點(diǎn)的問題[J].青年時(shí)代，2017，（3）：239-239.

[2]康燁.在高中數(shù)學(xué)中橢圓與雙曲線的交點(diǎn)問題[J].青年時(shí)代，2016，（22）：225.

[3]林文斌.橢圓內(nèi)接四邊形面積的最值問題[J].考試周刊，2016，（56）：76-77.