李蔭蔭　柏玉梅

摘 要：勾股定理是初等幾何中最重要的定理之一，筆者在課堂教學(xué)中將定理發(fā)展的時(shí)間軸及證明方法由特殊到一般的雙線索，將教材內(nèi)容作以重新編排融合，以求達(dá)到新課標(biāo)中對(duì)發(fā)展學(xué)生“數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀等”的課程目標(biāo)。

關(guān)鍵詞：新課標(biāo) 勾股定理 課堂教學(xué) 數(shù)學(xué)文化 數(shù)形結(jié)合

“作為促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展教育的重要組成部分，數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用”， [1]《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中明確提出，“在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想。”[1]筆者以人教版初中數(shù)學(xué)第十七章第一節(jié)《勾股定理》為例，淺談如何將新課標(biāo)的十項(xiàng)能力要求在課堂教學(xué)中進(jìn)行落實(shí)。

一、課程背景

在西方，一般認(rèn)為希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯最早證明了勾股定理[2]，根據(jù)有文獻(xiàn)資料，早公元前1105年，中國(guó)古人商高便已經(jīng)能利用“弦圖”證明勾股定理了。勾股定理的證法有幾百種，常用的有十余種，隨著課程改革，勾股定理這一章的內(nèi)容編排也逐漸優(yōu)化[3]，兼具文化性和知識(shí)性，又因其由形到數(shù)的跨越性，學(xué)生在理解和掌握本節(jié)課內(nèi)容時(shí)存在一定的困難。

二、學(xué)情分析

本節(jié)課情境較多，證明方式也不局限于傳統(tǒng)的說(shuō)理證明，學(xué)生具備一定的理解觀察和分析能力，但閱讀分析能力還有一定欠缺，在對(duì)每種情境的建模，總結(jié)規(guī)律時(shí)有一定困難，應(yīng)考慮將數(shù)學(xué)背景以一種合理方式穿插進(jìn)教學(xué)設(shè)計(jì)，同時(shí)又不因信息過(guò)多影響學(xué)生對(duì)定理本身的觀察和分析。

三、教學(xué)設(shè)計(jì)

基于此，筆者以時(shí)間為軸線，按照“感知、探究、釋疑、升華、應(yīng)用、提升”這六個(gè)環(huán)節(jié)，嘗試分板塊進(jìn)行難點(diǎn)突破。

1.穿越時(shí)空——感知

通過(guò)3000多年前，《周髀算經(jīng)》中“勾廣三，股修四，徑隅五”的含義，讓學(xué)生初步感知直角三角形中邊之間存在一定的特殊關(guān)系，同時(shí)，數(shù)學(xué)史作為一個(gè)小背景，一語(yǔ)帶過(guò)，學(xué)生能通過(guò)古文表述形成初步印象，為課下的查找和進(jìn)一步了解留下了空間。

設(shè)計(jì)說(shuō)明：在引入環(huán)節(jié)，PPT中以背景圖的方式展示趙爽弦圖，學(xué)生在課前預(yù)習(xí)時(shí)，能快速捕捉到趙爽弦圖的重要，所以課堂的重心放在后面對(duì)勾股定理的發(fā)展和探索過(guò)程，故選取“勾三股四弦五”這一清晰的數(shù)量關(guān)系作為引入，也將勾股定理的源頭做了簡(jiǎn)單的介紹。

2.跟隨前人——探究

2500多年前，畢達(dá)哥拉斯通過(guò)地磚上的等腰直角三角形觀察得出結(jié)論：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。這一結(jié)論看似簡(jiǎn)單，實(shí)際經(jīng)歷了由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化以及對(duì)規(guī)律的提煉總結(jié)。

設(shè)計(jì)說(shuō)明：作為西方最早的證明，畢達(dá)哥拉斯利用等腰直角三角形這一特例進(jìn)行了證明。通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生充分探究體驗(yàn)結(jié)論的生成過(guò)程，逐步構(gòu)建證明勾股定理的幾何模型。

3.團(tuán)隊(duì)合作——釋疑

本版塊設(shè)計(jì)了兩個(gè)小環(huán)節(jié)，分別為：（1）觀察并計(jì)算方格紙中的一般形狀的直角三角形三邊是否滿足這樣的數(shù)量關(guān)系；（2）用四個(gè)全等的直角三角形圍出一個(gè)正方形，通過(guò)計(jì)算正方形面積的不同方式得出結(jié)論。

設(shè)計(jì)說(shuō)明：由特殊轉(zhuǎn)向一般，由方格紙中的直角三角形轉(zhuǎn)為平面內(nèi)的直角三角形，難度逐漸深入的過(guò)程中，也是學(xué)生談及逐漸升華的過(guò)程。通過(guò)小組合作，動(dòng)手操作等，學(xué)生動(dòng)腦、動(dòng)口、動(dòng)手，在證明勾股定理的過(guò)程中，體驗(yàn)到了直接觀察、推理的過(guò)程。隨著證明難度的逐步加大，啟發(fā)學(xué)生把形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)的問(wèn)題，聯(lián)想到用計(jì)算面積的方法證明等式，從而突破教學(xué)難點(diǎn)。

4.巨人肩膀——升華

利用多媒體軟件，將趙爽弦圖的證明過(guò)程直觀給學(xué)生以展示，學(xué)生能更清晰地觀察到圖形分割、變換前后面積表示方式的不同，從而得出利用圖形可以證明出“直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊的平方”這一結(jié)論。

設(shè)計(jì)說(shuō)明：用動(dòng)畫(huà)展示的方式降低了學(xué)生對(duì)這種證明方法的學(xué)習(xí)難度，從而有精力去思考對(duì)比這幾種證明方法之間的差異和共同的思維方法——數(shù)形結(jié)合。在經(jīng)歷了“靜”態(tài)圖形的證明后，對(duì)趙爽這種“動(dòng)”態(tài)的證明方式更易體會(huì)其精妙之處，民族自豪感油然而生。

5.遇水架橋——應(yīng)用

作為勾股定理的第一課時(shí)，既要會(huì)用，難度又不宜過(guò)大，于是選擇了三道例題。

第一道以語(yǔ)言表述為主，簡(jiǎn)單代入計(jì)算，將公式進(jìn)行鞏固運(yùn)用；第二道用圖形的方式出示，直觀地感受三邊的長(zhǎng)短關(guān)系，套入合適的公式；第三道應(yīng)用于實(shí)際，大樹(shù)折斷后形成一個(gè)直角三角形，以變式的形式給出不同的條件，結(jié)合不同情境選取適當(dāng)?shù)慕忸}方法。

設(shè)計(jì)說(shuō)明：學(xué)以致用，勾股定理最終要作為各種圖形計(jì)算的理論基礎(chǔ)，三種不同類(lèi)型的題目幫助學(xué)生進(jìn)一步理解勾股定理的用法。

6.古為今用——提升

在總結(jié)中升華，生活中，勾股定理的用處遠(yuǎn)不限于此，小到車(chē)間零件，田間大棚，大到修路筑橋，航海航天，都與勾股定理密不可分。古為今用，文明傳承，華羅庚教授曾說(shuō)勾股定理可以作為與外太空文明對(duì)話的一種語(yǔ)言，繼續(xù)探索和發(fā)掘宇宙中的無(wú)窮奧秘。

設(shè)計(jì)說(shuō)明：在小結(jié)環(huán)節(jié)，將勾股定理的各種證明方法進(jìn)行連接、對(duì)比，并在華羅庚教授對(duì)勾股定理的高度評(píng)價(jià)中升華，從而感受到數(shù)學(xué)中一個(gè)定理的發(fā)展歷程，領(lǐng)悟其中凝結(jié)的前人的智慧，將數(shù)學(xué)文化與知識(shí)、技能方法形成融合，從而不僅掌握知識(shí)，還能很好體驗(yàn)知識(shí)的生成過(guò)程。

綜上，本節(jié)課的設(shè)計(jì)通過(guò)數(shù)學(xué)歷史的時(shí)間軸及勾股定理證明的由特殊到一般這兩條線索，將本節(jié)課教材上的內(nèi)容進(jìn)行重新編排，既突出數(shù)學(xué)的知識(shí)性，又讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中體會(huì)到數(shù)學(xué)文化。課堂中淺淺提到的數(shù)學(xué)小歷史，是大量相關(guān)資料的融合、提煉，力求在課堂教學(xué)中，知識(shí)性與文化性同在。

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]李超.勾股定理最早證明新考[J].韶關(guān)學(xué)院學(xué)報(bào)·社會(huì)科學(xué)，2006（10）.

[3]張冬莉.人教版中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)中勾股定理內(nèi)容設(shè)置演變之研究[D].呼和浩特：內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，2017：41-43.