余治敏

【摘要】數(shù)學(xué)抽象能力及其培養(yǎng)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)秀傳統(tǒng)，在核心素養(yǎng)的視角下研究數(shù)學(xué)抽象能力及其培養(yǎng)，需要從數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)角度認(rèn)識數(shù)學(xué)抽象能力，還需要結(jié)合具體的教學(xué)實例發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)途徑。數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)決定了核心素養(yǎng)培育能否真正成功。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)抽象能力

一、數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)是數(shù)學(xué)抽象能力的教學(xué)

對于數(shù)學(xué)教學(xué)的理解有很多，如數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)知識的教學(xué)、數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)等。縱觀各種數(shù)學(xué)教學(xué)理解，有一個觀點是非常值得重視的，那就是“忘掉教師所教的之后剩下的才是學(xué)生真正所學(xué)的”，曾有人將此作為對核心素養(yǎng)的樸素理解，筆者也認(rèn)同此觀點。無論考試與否，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必定會面臨遺忘，那么剩下來的又是什么呢？筆者認(rèn)為關(guān)鍵的一點是學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。數(shù)學(xué)抽象能力是學(xué)生利用自身的思維對外界事物進(jìn)行加工的決定性因素，其決定了學(xué)生的思維往哪個方向走，決定著對事物的判斷結(jié)果。

數(shù)學(xué)是一門理性學(xué)科，數(shù)學(xué)的特質(zhì)在于剝離事物的非本質(zhì)因素而留下本質(zhì)因素，在于能夠透過事物的表象而抓住事物的發(fā)生發(fā)展規(guī)律。在傳統(tǒng)的初中教學(xué)背景下，這樣的認(rèn)識似乎顯得有些“空”，但從必備品格與關(guān)鍵能力角度看，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力培養(yǎng)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)無法回避的重要任務(wù)。這是因為，數(shù)學(xué)思維方式往往在刪繁就簡的同時又能以簡馭繁，這在紛繁復(fù)雜的現(xiàn)實生活中顯得尤為可貴。那么這種數(shù)學(xué)抽象能力是如何體現(xiàn)出來的呢？以“二次函數(shù)”為例，二次函數(shù)是學(xué)生在正比例函數(shù)、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的較為復(fù)雜的函數(shù)。從某種程度上講，只有學(xué)習(xí)了二次函數(shù)，才能說真正進(jìn)入了函數(shù)知識學(xué)習(xí)的境界。因為，此前的正比例函數(shù)、反比例函數(shù)與一次函數(shù)，學(xué)生還可以憑著經(jīng)驗與想象去構(gòu)建知識理解，但二次函數(shù)作為高度抽象的產(chǎn)物，只能用更為純粹的數(shù)學(xué)思維方式去構(gòu)建?？v觀教材編排可以發(fā)現(xiàn)，二次函數(shù)部分的內(nèi)容是從二次函數(shù)與一次函數(shù)的比較、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)以及二次函數(shù)的應(yīng)用為線索進(jìn)行編寫的。學(xué)生經(jīng)由這一順序的學(xué)習(xí)，可以形成的認(rèn)識是：認(rèn)識二次函數(shù)這樣一個新的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象，需要遵循形式與本質(zhì)共同把握的思路一基于一次函數(shù)構(gòu)建二次函數(shù)，可以讓新知建立在舊知基礎(chǔ)之上;通過對性質(zhì)與圖像的把握，可以從本質(zhì)上建立對二次函數(shù)的認(rèn)識;通過二次函數(shù)的應(yīng)用，可以體會到知識與能力的遷移。對于非數(shù)學(xué)事物而言，學(xué)生要做的往往也正是從已有生活經(jīng)驗中尋找分析事物的角度與方法，從現(xiàn)象與本質(zhì)的角度建立對事物的理解（建模），這正是適應(yīng)社會發(fā)展與終身發(fā)展所需要的必備品格與關(guān)鍵能力的重要組成部分。也因此，我們視數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)抽象能力為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)是有道理的，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中基于這一認(rèn)識去實施數(shù)學(xué)教學(xué)，就能站在重視知識但又不局限于知識的高度認(rèn)識數(shù)學(xué)學(xué)科及其教學(xué)。

二、核心素養(yǎng)視角下數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)

在核心素養(yǎng)的視角下，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生有效的思維方式呢？筆者以為，最基本的思路是依托數(shù)學(xué)知識的構(gòu)建，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)、理解、運用的過程中，體會思維方式所起的隱性作用，進(jìn)而將思維方式向顯性化的方向轉(zhuǎn)變，以讓數(shù)學(xué)抽象能力成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中關(guān)注的一個重點。仍以“二次函數(shù)”教學(xué)為例，二次函數(shù)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中具體有以下內(nèi)容：一是二次函數(shù)圖像的作法通常是描點法，這一方法在此前三個函數(shù)的學(xué)習(xí)中已經(jīng)有所運用，這里更多的是能力的遷移，而這種遷移就是數(shù)學(xué)抽象能力的一種體現(xiàn)，尤其是在學(xué)生自發(fā)地想到用描點法作圖的時候，就是數(shù)學(xué)抽象能力在起作用。二是二次函數(shù)的性質(zhì)，這通常結(jié)合圖像構(gòu)建，包括二次函數(shù)圖像的開口方向、頂點坐標(biāo)、對稱軸等。三是二次函數(shù)解析式的求取，通常是借助二次函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)解析式并基于至少兩個已知坐標(biāo)來完成。通過比較可以發(fā)現(xiàn)，這里的第二點與第三點已經(jīng)超越了學(xué)生原有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，需要通過順應(yīng)的心理過程去實現(xiàn)。而從數(shù)學(xué)抽象能力的角度看，意味著學(xué)生要根據(jù)二次函數(shù)異于前三個函數(shù)的地方，重新尋找描述二次函數(shù)性質(zhì)的思路，這是“同中求異”數(shù)學(xué)抽象能力的作用結(jié)果。因此在實際教學(xué)中，教師宜結(jié)合具體的例題有意識地讓學(xué)生體會思維方式所起的作用。例如，在讓學(xué)生畫出函數(shù)y=-2（x+2）²-3的圖像，并指明開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)時，教師可以從二次函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)解析式的角度，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行化簡，這是轉(zhuǎn)難為易的思維方式。學(xué)生通過觀察可知其為二次函數(shù)，通過比較可以發(fā)現(xiàn)其不是標(biāo)準(zhǔn)的二次函數(shù)，其后便能夠利用（x+2）：=x²+4x+4進(jìn)行轉(zhuǎn)換，進(jìn)而獲得標(biāo)準(zhǔn)形式的二次函數(shù)解析式，然后描點法作圖的思路就能自然出現(xiàn)。在此問題解決的過程中，學(xué)生會體會到一旦思路明確且成功解題，收獲的就是一個如行云流水般流暢的問題解決過程。如果學(xué)生在問題解決中某個環(huán)節(jié)不暢，那這個環(huán)節(jié)就應(yīng)成為學(xué)生重點思考的對象，通過比較與矯正，新的思路就會形成，這個過程也是數(shù)學(xué)抽象能力得以形成并完善的過程。此外，利用二次函數(shù)的延伸運用，也可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的拓展性。譬如讓學(xué)生在同一坐標(biāo)系上作出諸如y=3x²+4與y=3x²-4的圖像，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，利用這種規(guī)律，將學(xué)生對二次函數(shù)圖像的理解拓展到一般形式，如y=ax²+b與y=ax²-b的情形，也能夠完成從一個特殊到一般的思維拓展過程。這種教學(xué)方式能夠讓學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)抽象能力的拓展性。而將此數(shù)學(xué)抽象能力延伸到現(xiàn)實生活中，可以發(fā)現(xiàn)這其實就是生活所必需的數(shù)學(xué)抽象能力與思維能力的遷移，也是核心素養(yǎng)培養(yǎng)的重要方向。