江蘇省常熟市塔前小學(xué) 戴美蘭

數(shù)學(xué)概念是客觀現(xiàn)實(shí)中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性在人腦中的反映。概念教學(xué)要注重引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)具體事物的感知，通過(guò)觀察比較、抽象概括，逐步提煉出事物的本質(zhì)屬性。核心素養(yǎng)導(dǎo)向下，如何引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過(guò)程，實(shí)現(xiàn)意義的自然生長(zhǎng)，促進(jìn)思維的發(fā)展？下面結(jié)合《正比例的意義》幾次的磨課實(shí)踐，談?wù)勎业乃伎肌?/p>

一、不同的導(dǎo)入對(duì)比——指向知識(shí)的生長(zhǎng)

奧蘇泊爾說(shuō)過(guò)：影響學(xué)習(xí)的唯一重要因素就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么，要探明這一點(diǎn)，并據(jù)此進(jìn)行教學(xué)。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有著內(nèi)在的認(rèn)知規(guī)律和心理特征，教學(xué)時(shí)要找準(zhǔn)學(xué)生已有的認(rèn)知起點(diǎn)，使它成為新知的生長(zhǎng)點(diǎn)。

方法一：

1.觀看視頻：風(fēng)吹草動(dòng)；水漲船高。

2.疊數(shù)學(xué)書(shū)。

（1）教師疊書(shū)（增加和減少）,學(xué)生觀察。

師：仔細(xì)看，老師把你們的數(shù)學(xué)書(shū)疊起來(lái)，你們發(fā)現(xiàn)了什么相互聯(lián)系的現(xiàn)象嗎？

（2）揭示“相關(guān)聯(lián)的量”。

3.舉例。

師：生活中相關(guān)聯(lián)的量很多,你能舉例說(shuō)明嗎?

4.找找辨辨。

課件出示：任選兩張表格，仔細(xì)觀察，看看表中的兩種量是否相關(guān)聯(lián)？

交流指出：表六的兩種量不相關(guān)聯(lián)，其他表中都有兩種相關(guān)聯(lián)的量。

5.引導(dǎo)：那這兩種相關(guān)聯(lián)的量又有著怎樣的變化規(guī)律?在變化中是否有什么不變?我們以表一為例來(lái)進(jìn)一步研究。

方法二：

1.復(fù)習(xí)基本數(shù)量關(guān)系。

師：同學(xué)們回憶一下，在學(xué)習(xí)運(yùn)算律時(shí)，我們已經(jīng)感受了一些數(shù)量關(guān)系，在解決問(wèn)題時(shí)又熟悉了這些關(guān)系，說(shuō)說(shuō)我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了哪些數(shù)量關(guān)系？

指出：看來(lái)，今天的學(xué)習(xí)和（數(shù)量關(guān)系）有關(guān)。

2.情境導(dǎo)入，激發(fā)興趣。

師：同學(xué)們，瞧（手里拿著書(shū)簽），老師給大家?guī)?lái)了一些小禮物——小書(shū)簽。一張書(shū)簽3 元，猜猜看老師買(mǎi)了幾張書(shū)簽？花了多少錢(qián)？如果我花了60 元，買(mǎi)了幾張書(shū)簽？如果花了90 元呢？

3.聯(lián)系實(shí)際，初步感知。

師：是呀，我購(gòu)買(mǎi)了同一種書(shū)簽，這是老師剛剛收集的一些數(shù)據(jù)。課件出示：購(gòu)買(mǎi)一種書(shū)簽的數(shù)量和總價(jià)如下表：

數(shù)量/張 1 2 3 4 5 ……總價(jià)/元 3 6 9 12 15 ……

……

兩次教學(xué)實(shí)踐都能聯(lián)系實(shí)際，創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生的積極思考。方法一通過(guò)學(xué)生熟悉的生活現(xiàn)象和疊數(shù)學(xué)書(shū)的活動(dòng)，使其對(duì)相關(guān)聯(lián)的量有了比較充分的感知，再引入對(duì)路程和時(shí)間兩種相關(guān)聯(lián)量變化規(guī)律的研究，這樣的教學(xué)看似順理成章，尋求經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)的融合，但由于受到生活經(jīng)驗(yàn)的影響，方法一的引入花費(fèi)了大量的時(shí)間，卻沒(méi)有直指正比例意義的本質(zhì)，研究數(shù)量關(guān)系的變化規(guī)律。雖然理解相關(guān)聯(lián)的量是本課的一個(gè)教學(xué)重點(diǎn)，但單獨(dú)研究、割裂教學(xué)效果反而不好。實(shí)際上，結(jié)合正比例意義的建構(gòu)過(guò)程，學(xué)生反而更容易理解“相關(guān)聯(lián)量”的意義。

基于上面的思考，方法二找準(zhǔn)了知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，根據(jù)學(xué)生的已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，建立前后知識(shí)的聯(lián)系。首先直面數(shù)量關(guān)系，創(chuàng)設(shè)送書(shū)簽的情境，引導(dǎo)學(xué)生在猜一猜的過(guò)程中，對(duì)書(shū)簽數(shù)量和總價(jià)的數(shù)量關(guān)系有了比較深入的感知和體驗(yàn)，而不斷生成的數(shù)據(jù)則巧妙提供了所要研究的素材，構(gòu)成了購(gòu)買(mǎi)一種書(shū)簽的數(shù)量和總價(jià)的表格，學(xué)生邊猜邊思,為后面研究活動(dòng)的展開(kāi)做好了準(zhǔn)備。

二、不同的探究對(duì)比——指向數(shù)量關(guān)系的生長(zhǎng)

我們知道，正比例的意義是要從一種運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)去理解數(shù)量間的關(guān)系,要通過(guò)觀察、分析兩種數(shù)量之間的變化情況、變化規(guī)律,進(jìn)而達(dá)到對(duì)兩個(gè)變量關(guān)系的進(jìn)一步理解。

方法一：

1.課件出示表1（見(jiàn)導(dǎo)入設(shè)計(jì)）和研究要求：

①仔細(xì)觀察，時(shí)間和路程這兩種相關(guān)聯(lián)的量是怎樣變化的？

②它們的變化是否有一定的規(guī)律？如果有規(guī)律，它們是怎么樣的？

③你能在研究單上寫(xiě)一寫(xiě)，把你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律簡(jiǎn)單地表示出來(lái)嗎？

2.學(xué)生操作后交流。

3.回顧例1 的學(xué)習(xí)過(guò)程，我們是怎么發(fā)現(xiàn)路程和時(shí)間的變化規(guī)律的。

4.分組研究：運(yùn)用剛才的研究方法研究表2、表3、表4、表5的變化規(guī)律，以小組為單位，任選一張表格，看看表中的兩種量有著怎樣的變化規(guī)律？

……

5.追問(wèn)：通過(guò)剛才的研究，我們發(fā)現(xiàn)表中兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量都在發(fā)生變化，但是變化的規(guī)律都是不一樣的，那有沒(méi)有變化規(guī)律一樣的呢？

回顧我們剛剛研究過(guò)的六張表格，有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

6.揭示正比例的意義。

方法二：

1.課件出示：購(gòu)買(mǎi)一種書(shū)簽的數(shù)量和總價(jià)如下表（見(jiàn)導(dǎo)入設(shè)計(jì)）。

（1）師：觀察表中數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

引導(dǎo)：看看總價(jià)和數(shù)量有沒(méi)有變化？是怎么變化的？

（2）小組討論，全班交流。

學(xué)生通過(guò)觀察和計(jì)算，對(duì)總價(jià)和數(shù)量的關(guān)系有了兩個(gè)發(fā)現(xiàn)（略）。

2.指出：總價(jià)和數(shù)量的這種關(guān)系在圖中也可以反映出來(lái)。課件動(dòng)態(tài)演示：

追問(wèn)：圖中什么在變化？什么也在變化？

師：觀察每個(gè)點(diǎn)的位置，有什么發(fā)現(xiàn)嗎？（演示：描點(diǎn)、連線(xiàn)）

師：想象一下，如果數(shù)量繼續(xù)增加，總價(jià)呢？

師：那么這條藍(lán)色直線(xiàn)會(huì)……（繼續(xù)延長(zhǎng)）

小結(jié)。

3.回顧反思：我們是怎么發(fā)現(xiàn)總價(jià)和數(shù)量的變化規(guī)律的？

4.談話(huà)過(guò)渡：一輛轎車(chē)在公路上行駛，行駛時(shí)間和路程如下表。（課件出示表1，見(jiàn)導(dǎo)入設(shè)計(jì)）

師：運(yùn)用剛才的研究方法找一找路程和時(shí)間這兩個(gè)量的關(guān)系，把你的發(fā)現(xiàn)在研究單上簡(jiǎn)單記錄下來(lái)。

5.對(duì)比求同。

師：我們?cè)賮?lái)觀察比較這兩個(gè)例子，這兩題中，數(shù)量之間的聯(lián)系有什么相同的特點(diǎn)？

6.揭示正比例的意義。

迪恩斯認(rèn)為，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生應(yīng)該依靠自己的經(jīng)驗(yàn)。因此，教學(xué)要基于學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)體驗(yàn)和探究知識(shí)的形成過(guò)程，溝通知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系。

方法一由于導(dǎo)入時(shí)運(yùn)用了比較多的反例，對(duì)學(xué)生正向建立相關(guān)聯(lián)量的概念造成了干擾。學(xué)生探究路程和時(shí)間的變化規(guī)律不是自己真實(shí)的需求，尤其是對(duì)路程、時(shí)間數(shù)量關(guān)系的研究更是一種被動(dòng)的接受。正因?yàn)檎壤P(guān)系是兩個(gè)相關(guān)聯(lián)數(shù)量之間的一種特定關(guān)系，所以方法二重在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)量關(guān)系的自然生長(zhǎng)過(guò)程。學(xué)生借助已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)及對(duì)已學(xué)數(shù)量關(guān)系的積累和理解，在猜書(shū)簽數(shù)量和總價(jià)的過(guò)程中催生對(duì)數(shù)量關(guān)系的熱情，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷創(chuàng)造數(shù)據(jù)、觀察、比較、分析、歸納的過(guò)程，再由表及圖，動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖，數(shù)形結(jié)合，靜態(tài)到動(dòng)態(tài)，從具體形象的數(shù)據(jù)分析，初步感知一個(gè)量變化引起另一個(gè)量的變化，再到聚焦數(shù)量關(guān)系，深入體會(huì)總價(jià)、數(shù)量、單價(jià)及路程、時(shí)間、速度三個(gè)量之間變與不變的關(guān)系，多樣的體驗(yàn)促進(jìn)了深度的理解。學(xué)生的思考外顯，數(shù)量關(guān)系的自然生長(zhǎng)，充分展示了概念的形成過(guò)程，觸摸了認(rèn)識(shí)概念的基本方法，同時(shí)也鍛煉了探究學(xué)習(xí)的能力。

三、不同的抽象對(duì)比——指向關(guān)鍵能力的生長(zhǎng)

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)活動(dòng)中一種最基本、最重要的思想方法。只有基于學(xué)生的現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)，才能更有效地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，從而真正理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，促進(jìn)關(guān)鍵能力的自然生長(zhǎng)。

方法一：

思考：如果用字母x 和 y 分別表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k 表示它們的比值，正比例關(guān)系可以用怎樣的式子來(lái)表示？板書(shū)：=k（一定）。

方法二：

1.舉例：從疊書(shū)的活動(dòng)中我們找到了這么多的正比例關(guān)系，你還能舉例說(shuō)說(shuō)生活中成正比例關(guān)系的量嗎？

2.抽象概括，建立模型。

（1）師：這樣的正比例關(guān)系生活中還有很多很多，說(shuō)得完嗎？

你能用簡(jiǎn)單的方法表示出來(lái)嗎？你是怎么想的？

生1：（文字的）比的前項(xiàng)÷比的后項(xiàng)=比值（一定），比的前項(xiàng)和后項(xiàng)成正比例關(guān)系。

生2：（字母的） a÷b=c（一定），a 和b 成正比例關(guān)系。

生3：（符號(hào)的） □÷○=△（一定），□和○成正比例關(guān)系。

師：其實(shí)，用字母表示，用文字表示，用符號(hào)表示，你們表達(dá)的意思都是一樣的，在數(shù)學(xué)上，我們一般用字母表示。

（2）師：如果用字母x 和 y 分別表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k 表示它們的比值，正比例關(guān)系可以用怎樣的式子來(lái)表示？板書(shū)：（一定）。

師：你能說(shuō)說(shuō)它表示什么意思嗎？

小結(jié)：用字母式來(lái)表示正比例關(guān)系，多么簡(jiǎn)單，數(shù)學(xué)就是有一種簡(jiǎn)潔美。

方法一中，學(xué)生通過(guò)對(duì)路程和時(shí)間、總價(jià)和數(shù)量的數(shù)量關(guān)系的研究，在順利揭示正比例的意義后，直接進(jìn)行抽象：正比例關(guān)系可以用怎樣的式子來(lái)表示？學(xué)生的思路比較狹窄，他們只想到用字母來(lái)表示正比例關(guān)系，這樣的抽象略顯單薄。方法二則結(jié)合具體實(shí)例，學(xué)生在具體的活動(dòng)中經(jīng)歷了由淺入深、由表及里的研究過(guò)程，用圖表和語(yǔ)言來(lái)表征正比例關(guān)系后，學(xué)生對(duì)正比例的意義積累了大量的感性認(rèn)識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，用符號(hào)抽象概括正比例的意義也就水到渠成了。學(xué)生的符號(hào)表征是多樣的，是從心里自然生長(zhǎng)出來(lái)的，用字母表達(dá)式來(lái)表征正比例關(guān)系，順利建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。學(xué)生在把感性經(jīng)驗(yàn)上升為理性認(rèn)識(shí)的過(guò)程中，初步感悟到數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程和方法，發(fā)展了數(shù)學(xué)思考，體驗(yàn)了符號(hào)化的思想，提升了數(shù)學(xué)抽象與建模的能力。由具象到抽象，深度理解正比例的意義，實(shí)現(xiàn)了用圖表、語(yǔ)言、符號(hào)表征概念學(xué)習(xí)的綜合化。

四、不同的練習(xí)對(duì)比——指向思維和素養(yǎng)的生長(zhǎng)

數(shù)學(xué)練習(xí)是學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的重要環(huán)節(jié)，精心設(shè)計(jì)多元有效的數(shù)學(xué)練習(xí)，及時(shí)點(diǎn)撥思路，引領(lǐng)有效探究，能促進(jìn)學(xué)生思維的自然生長(zhǎng)。練習(xí)設(shè)計(jì)要盡可能地將學(xué)生的認(rèn)知水平與生活實(shí)際相聯(lián)系，讓學(xué)生多元思考、多種體驗(yàn)、多種思路，真正提升練習(xí)的有效性，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

方法一：

倒水實(shí)驗(yàn)：往同一個(gè)圓柱形杯子中倒水，水的體積和高度成正比例嗎？為什么？

師：同學(xué)們，當(dāng)水的體積和高度成正比例關(guān)系時(shí)，把上面的表格制成折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖，通過(guò)描點(diǎn)、連線(xiàn)，發(fā)現(xiàn)正好是一條直線(xiàn)，這就是我們下節(jié)課要研究的正比例圖像。（制成的折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖略）

方法二：

倒水實(shí)驗(yàn)：往同一個(gè)圓柱形杯子中倒水，水的體積和高度成正比例嗎？為什么？

生1：體積和高度是兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，因?yàn)槭峭粋€(gè)圓柱形杯子，底面積是一樣的，體積÷高度=底面積（一定），所以水的體積和高度成正比例關(guān)系。

評(píng)價(jià)：不錯(cuò)，你根據(jù)關(guān)鍵詞“同一個(gè)圓柱形杯子”，沒(méi)有通過(guò)計(jì)算就找到了不變的量，真會(huì)思考。

生2：從圖上就可以看出來(lái)，因?yàn)槭且粭l直線(xiàn)。

師：既然你是從圖上看出來(lái)的，那么你能想辦法進(jìn)一步驗(yàn)證嗎？

生：可以通過(guò)計(jì)算來(lái)驗(yàn)證。

師生共同計(jì)算，發(fā)現(xiàn)體積和高度的比值都是25，也就是底面積是一定的，水的體積和高度成正比例關(guān)系。

評(píng)價(jià)：你真厲害，從圖上找到數(shù)據(jù)，再用數(shù)據(jù)來(lái)計(jì)算說(shuō)明問(wèn)題，透過(guò)圖看到了本質(zhì)。

方法一中，教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)表中數(shù)據(jù)的觀察與計(jì)算，發(fā)現(xiàn)水的體積和高度的比值也就是底面積是一定的，鞏固了學(xué)生對(duì)正比例意義的理解，同時(shí)指出表與圖是有聯(lián)系的，是下一節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。但是老師沒(méi)有做進(jìn)一步的拓展，引發(fā)學(xué)生的深度思考，促進(jìn)對(duì)知識(shí)的進(jìn)一步辨識(shí)和理解。方法二則借助表和圖的整合，通過(guò)一系列的追問(wèn)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生與文本的對(duì)話(huà)，驅(qū)動(dòng)學(xué)生的思考。判斷兩種量是否成正比例可以由表及圖，結(jié)合具體的圖像，采用不同的方法，從圖上找到數(shù)據(jù)，再用數(shù)據(jù)來(lái)計(jì)算說(shuō)明問(wèn)題，從而驗(yàn)證自己的判斷和想法。透過(guò)圖看到正比例意義的本質(zhì)，數(shù)學(xué)思考越發(fā)深入。這樣的研究，學(xué)生對(duì)正比例意義的理解更具有一般性，學(xué)生借助反饋信息檢驗(yàn)自己的已有認(rèn)識(shí)，在對(duì)比思辨中凸顯概念的本質(zhì)。學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)、數(shù)學(xué)理解、數(shù)學(xué)交流、解決問(wèn)題能力也得到了有效的發(fā)展，數(shù)學(xué)素養(yǎng)也在不知不覺(jué)間生根發(fā)芽。

在多次的磨課實(shí)踐中，我一直在思考：正比例的意義比較抽象，學(xué)生難以理解，對(duì)于這樣的知識(shí)要怎么教，學(xué)生要怎么學(xué)呢？基于學(xué)生的知識(shí)層次、數(shù)量關(guān)系、關(guān)鍵能力、思維和素養(yǎng)的生長(zhǎng)，在不斷的改進(jìn)對(duì)比實(shí)踐中實(shí)現(xiàn)正比例意義在課堂中的自然生長(zhǎng)，從而促進(jìn)概念的意義建構(gòu)。