趙國榮，李曉寶，劉帥，韓旭

（1.海軍航空大學 參謀部，煙臺264001； 2.海軍航空大學 岸防兵學院，煙臺264001）

使用導彈對敵方目標進行有效地打擊是現代戰(zhàn)爭中的主要作戰(zhàn)手段。導彈末制導律的設計除了要求導彈能夠準確地命中目標，還要滿足特定的終端攻擊角度要求，以實現對目標的最大摧毀，因此，帶有攻擊角度約束的末制導律研究一直以來都是熱點問題[1]。多年來，比例導引律及其變化形式因其簡單高效的特點得到了廣泛的應用[2]，然而針對高機動能力的目標，比例導引律很難滿足期望的制導要求[3]。針對高機動目標的攔截問題，近年來基于最優(yōu)控制、非線性控制等現代控制理論的制導律設計開始得到深入研究，如最優(yōu)控制制導律[4]、微分對策制導律[5]和滑模制導律[6]。

滑模控制由于對系統(tǒng)不確定性和外界干擾具有較強的魯棒性，在制導律設計中取得了一系列研究成果。文獻[7]提出了一種帶有落角約束滑模制導律，設計了一個線性滑模面使得視線角收斂到期望值，然而其收斂時間是趨于無窮的。終端滑?？刂仆ㄟ^引入非線性滑模面，確保了系統(tǒng)狀態(tài)能夠在有限時間內收斂，對于高機動目標的攔截，導彈末制導時間通常很短，因此采用終端滑?？刂品椒ㄡ槍C動目標進行制導律設計具有十分重要的意義[8-11]。文獻[8]在制導律設計中引入了傳統(tǒng)的終端滑模面，但制導指令中因為存在負指數項而導致奇異問題發(fā)生。為此，文獻[9]設計了一種非奇異終端滑模面，文獻[10]在研究考慮攻擊角度約束的制導律時通過設計一種積分滑模面解決了奇異性問題。制導系統(tǒng)的狀態(tài)量在遠離平衡點時收斂速率較慢，文獻[11]為此提出了一種非奇異快速終端滑模控制方法。

采用有限時間收斂終端滑?？刂频玫降南到y(tǒng)狀態(tài)收斂時間依賴于系統(tǒng)的初始條件，為此，文獻[12]提出了固定時間收斂的概念。固定時間收斂理論可以使系統(tǒng)狀態(tài)在收斂時得到一個不依賴于系統(tǒng)初始條件的收斂時間上界。然而，傳統(tǒng)的終端滑模固定時間收斂控制依然存在奇異性問題，因此文獻[13-14]針對一類非線性系統(tǒng)分別設計了固定時間收斂非奇異終端滑模面。文獻[15]采用轉換滑模面的形式進一步提出了一種非奇異快速終端滑模固定時間收斂的控制方法，并且用于制導律的設計。

在研究攔截機動目標的末制導問題時，通常需要知道目標的機動信息，然而目標的機動在實際情況中多數是不可知的。文獻[10，16]通過假設目標機動存在已知的上界來進行制導律設計，然而目標機動的上界通常也很難測量得到。自適應控制由于其具有不需要知道外部擾動任何信息的優(yōu)點，可以有效解決目標機動的問題。文獻[9，11，17]提出了自適應非奇異終端滑模制導律的設計方法，在設計過程中目標機動的上界不需要預先已知。

末制導過程中導彈和目標初始時刻的具體狀態(tài)大多事先不可知，采用固定時間收斂控制方法進行制導律設計時，系統(tǒng)狀態(tài)的收斂時間上界是一個獨立于初始條件的固定值，因此設計的制導律具有更廣的適用范圍和更高的制導性能。針對機動目標的攔截問題，本文在考慮攻擊角度約束的情況下，提出了一種非奇異快速終端滑模固定時間收斂制導律，并且設計了一種自適應律來對目標機動上界進行估計。通過Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了制導系統(tǒng)能夠在固定時間內收斂，并且給出了收斂時間公式。通過仿真驗證了該制導律的有效性，并且與其他現有制導律進行對比，分析了該制導律的制導性能。

本文的研究工作具有以下創(chuàng)新點：

1）設計了一種新型的終端滑模固定時間收斂制導律，不僅能夠使得導彈以期望的攻擊角度命中目標，而且制導系統(tǒng)的彈目視線（Line of Sight，LOS）角和 LOS角速率能夠在固定時間內收斂，該收斂時間不依賴于制導系統(tǒng)的初始條件，可以通過調節(jié)制導律中的參數而被預先設定。

2）設計了一種新型的固定時間收斂非奇異快速終端滑模面，該滑模面具有與現有有限時間收斂非奇異終端滑模面類似的形式，從而避免了奇異性問題，同時根據滑模面、系統(tǒng)狀態(tài)與平衡點的距離，合理調整滑模面與LOS角跟蹤誤差的趨近律指數，從而提高了制導系統(tǒng)狀態(tài)的收斂速率。

3）設計了一種自適應律對目標機動的上界進行估計，使得制導律的設計無需任何目標機動的信息，增強了制導系統(tǒng)對未知干擾的魯棒性。

1 基礎知識

1.1 問題描述

導彈末制導的運動關系如圖1所示。假定導彈和目標的速度VM和VT恒定，aM和aT分別為導彈和目標的法向加速度，r和q分別為導彈和目標之間的相對距離和 LOS角，γM和 γT分別為導彈和目標的航跡角。制導系統(tǒng)的運動學關系可表示為

導彈的終端攻擊角度θimp表示為導彈成功攔截目標時其速度之間的夾角，若 γMf和 γTf分別為導彈和目標的終端航跡角，可知 θimp=γTf-γMf。導彈終端攻擊角度θimp與終端LOS角qf存在著一一對應關系[9]。

因此，導彈末制導終端攻擊角度 θimp約束可以轉化為終端LOS角qf約束問題。

假設qd為期望的末制導終端 LOS角，定義LOS角跟蹤誤差為x1=q-qd，LOS角速率為x2=。由式（1）和式（2）可以得到

圖1 導彈和目標之間的運動關系Fig.1 Missile and target engagement geometry

式中：d=aTcos（γT-q）。

假設1 d可看作為由目標機動而引起的外部干擾，假設Δ≥0為一常數，表示為目標機動aT最大值，可知≤Δ。

通過末制導律設計使得LOS角跟蹤誤差x1及LOS角速率x2能夠在固定時間之內收斂到原點，那么導彈便能夠以期望的終端LOS角qd精確命中目標。

1.2 基本定義和相關引理

定義1[12]考慮如下非線性系統(tǒng)：

式中：x∈Rn；F（x，t）：U×R+→Rn是連續(xù)的，U為一個包含x=0的開區(qū)間，且 F（0，t）=0。若任意給定初始時間t0和初始狀態(tài)x0∈U，都存在時刻 T（x0），使系統(tǒng)式（5）的每一個解 x（t）=x（t；t0，x0）滿足如下關系：

則系統(tǒng)式（5）的平衡點x=0是有限時間穩(wěn)定的。此外，若收斂時間 T（x0）是有界的，即對任意的x0∈Rn，都存在一個 Tmax＞0，使得 T（x0）＜Tmax，則系統(tǒng)式（5）的平衡點x=0是固定時間穩(wěn)定的。

引理1 考慮一類非線性系統(tǒng)：

證明 系統(tǒng)式（7）可被改寫為

因此，系統(tǒng)式（7）的收斂時間上界Tmax滿足：

即

證畢

注1 文獻[14]提出了傳統(tǒng)的固定時間收斂系統(tǒng)˙y=-l1sigm1y-l2sigm2y，并給出了收斂時間上界：

社會實踐具有良好的教育功能,對實現高校德育目標起著關鍵作用。社會實踐的開放性需要大學生獨立面對和解決問題且在實踐中積極地思考、解決問題,為創(chuàng)新精神的培養(yǎng)奠定基礎。通過這種方式,提高了大學生對國情、城市狀況、公共條件以及社會條件的認識,促使他們將個人與社會理想結合起來,從而實現個體與社會價值觀的統(tǒng)一。

式中：l1＞0，l2＞0，m1＞1，0＜m2＜1。文獻[15]進一步提出了快速固定時間收斂系統(tǒng)˙y=-l1yκ-l2yp2／q2，并給出了收斂時間上界：

式中：q1、p1、p2、q2為正奇數，并且滿足 p1＜q1，p2＜q2。因為，所以本文給出的固定時間收斂系統(tǒng)與文獻[14-15]相比，收斂速率更快。

2 制導律設計

2.1 新型滑模面的構造

考慮一類二階非線性系統(tǒng)，文獻[18]構造了一種固定時間收斂的終端滑模面：

式中：l1＞0，l2＞0，m1＞1，0＜m2＜1。

對滑模面式（15）求導可得

式（16）中，當 x1=0，x2≠0時，冪次項會引發(fā)奇異性問題。為避免奇異現象，本文構造了一種新型的固定時間收斂非奇異快速終端滑模面：

注2 文獻[9]研究有限時間收斂制導律時設計了一種非奇異終端滑模面：

1轉化為與式（18）類似的形式從而避免了奇異問題的發(fā)生。

2.2 穩(wěn)定性分析

定理1 對于制導系統(tǒng)式（4），若采用本文構造的滑模面式（17），設計制導指令 aM為如下形式：

式中：σ≥1，α1＞0，α2＞0，β1＞1，0＜β2＜1為目標機動上界 Δ的自適應估計值，設計自適應律為

式中：τ為一個小于1的正常數。

則下面的結論成立：

2）滑模變量s在時間Ts內收斂到0。

3）制導系統(tǒng)式（4）的狀態(tài)變量 x1、x2在時間T內收斂到于0。

其中：Ts＜T1+ε（t），T＜T1+T2+ε（t），T1=ε（t）為一個與τ相關的小時間函數。

證明 1）考慮Lyapunov函數：

根據式（17）、式（19）和式（20）可知，Lyapunov函數V的導數為

2）考慮Lyapunov函數：

對 V1求導，代入式（17）和式（19）可得

式中：η≥0為一任意小的常數。那么

因此，可以得到

當系統(tǒng)狀態(tài)（x1，x2）在區(qū)域Ω1時，≤，系統(tǒng)在固定時間T1內到達滑模面 s或者進入區(qū)域 Ω2。當系統(tǒng)狀態(tài)（x1，x2）在區(qū)域 Ω2時，因為 τ＜1，此時可知 κ4=m4。當g=0時，則有

此時制導指令aM為

圖2 制導系統(tǒng)變量的收斂過程Fig.2 Convergence process of guidance system variable

3）當制導系統(tǒng)式（4）狀態(tài)量 x1、x2到達滑模面式（17）時，由 s=0可知

由式（32）及引理 1可知，制導系統(tǒng)式（4）的狀態(tài)變量x1、x2將在時間T內收斂到于0。 證畢

注3 滑模面式（17）中 κ4的設計形式與引理1中的形式并不相同，這是為了保證滑模面s始終是連續(xù)的，并且當 s=0時，由定理1中的證明過程3）可知，式（17）中設計的 κ4可以轉化為，這與引理 1中的κ2的形式相同，因此κ4的設計并不會影響系統(tǒng)狀態(tài)x1、x2在滑模面上固定時間收斂的特性。

注4 有限時間 ε（t）雖然不能被精確地求出，但是可以被近似地估計。如圖2所示，當制導系統(tǒng)式（4）的狀態(tài)變量 x1、x2穿越區(qū)域 Ω2時，對于一個充分小的常數τ，在區(qū)域Ω2內因為0＜g≤τ，因此可近似認為ω=0，并且由式（17）可知 s=x1。此外，根據式（31）可得

對式（34）兩邊積分得

求解式（35）可得

因此，可知 τ取值較小時，ε（t）也會變得很小，可以忽略不計。

因為符號函數 sign（s）的存在可能會引起顫振，為避免振顫現象的發(fā)生，符號函數 sign（s）可采用一種Sigmoid函數近似替代：

本文最終設計的帶有攻擊角度約束的自適應非奇異快速終端滑模固定時間收斂制導律（AFTNFTSMG）形式為

3 仿真分析

針對制導律 AFTNFTSMG進行仿真分析，參照文獻[11]的仿真場景，假設導彈和目標的初始相對距離 r0=5 000 m，初始 LOS角 q0=30°，目標的初始航跡角γT0=0°，導彈和目標的速度分別為VM=600 m／s，VT=300 m／s。AFTNFTSMG中的參數取值為：l1=l2=0.5，α1=α2=2，m1=β1=9／7，m2=β2=7／9，τ=0.1，ξ=0.01，σ=2（0）=100，g=9.8 m／s2，導彈最大加速度值為 30g。根據定理1計算可得T=13.86 s。

注5 由定理1可知，T的大小完全是由AFTNFTSMG中的參數決定的，與制導系統(tǒng)的狀態(tài)無關。固定時間T表示的是制導系統(tǒng)任意初始狀態(tài)下收斂時間的上界，通常制導系統(tǒng)實際收斂時間要小于T。T的設定需要結合制導系統(tǒng)的具體環(huán)境。如果 T設計的太小，在某些情況下，例如初始LOS角跟蹤誤差x1較大時，為了達到制導系統(tǒng)固定時間收斂的要求，導彈必須具有較強的機動能力，但是導彈的機動能力是有限的，因此制導指令在末制導前期可能會出現飽和現象。如果T設計的太大，因為導彈末制導時間有限，可能導致導彈無法以期望的攻擊角度準確命中目標。所以，需要通過調節(jié)AFTNFTSMG中的各個參數合理設置T的大小。

3.1 以不同初始航跡角攔截目標

假設目標機動 aM為：當 t≤5 s時 aM=7g；當t＞5 s時，aM=-7g。導彈攔截目標時，期望的終端LOS角 qd為 20°，導彈的初始航跡角 γM0=30°，60°，90°。針對 AFTNFTSMG進行仿真分析，結果如圖3所示。

圖3（a）表明，AFTNFTSMG能夠使導彈在不同的初始航跡角γM0下有效地攔截目標。圖3（b）的制導指令曲線表明，導彈制導指令在前期都出現了飽和現象，這是因為在末制導的前期，為滿足導彈LOS角q和LOS角速率在固定時間之內收斂，通常情況下導彈需要進行高強度機動。圖3（c）、（d）表明，q和˙都能夠在設定的固定時間T內收斂，制導指令飽和現象的存在會使得q和實際收斂時間增大，然而因為T是制導系統(tǒng)在任意初始狀態(tài)下的收斂時間上界，通常q和依舊能夠在T內收斂。圖3（e）表明，滑模面s在不同的初始航跡角γM0下都能夠在q和˙q收斂之前快速收斂到0。

圖3 不同初始航跡角攔截目標的仿真結果Fig.3 Simulation results of intercepting target under different initial flight path anges

3.2 以不同期望終端LOS角攔截目標

假設目標機動 aM為：當 t≤5 s時 aM=7g；當t＞5 s時，aM=-7g。導彈初始航跡角 γM0=60°，導彈攔截目標時期望的終端 LOS角 qd=20°，30°，40°。針對 AFTNFTSMG進行仿真分析，結果如圖4所示。

從圖 4（a）可以看出，在 AFTNFTSMG作用下，導彈能夠以不同的期望終端LOS角qd精確地攔截目標。圖4（b）給出了相應的制導指令曲線，其中制導指令在qd=40°時飽和時間最長，這也導致了其對應的q和收斂時間最長。圖4（c）、（d）、（e）表明，在不同的期望終端 LOS角 qd要求下，q和˙q依然能夠在設定的固定時間T內收斂，相應的滑模面s在q和˙收斂之前能夠先收斂到0。

假設qd=20°，考慮測量噪聲對制導性能的影響，在獲取LOS角速率˙時加入均值為0、方差為真值1%的高斯白噪聲，仿真結果如圖5所示。表明由于噪聲的影響，在AFTNFTSMG的作用下，˙q雖然前期產生了微弱的振顫現象，但最終依然能夠保證固定時間收斂特性，同時制導指令最終也能夠跟蹤到不含噪聲的制導指令曲線上來。

圖4 不同期望終端LOS角攔截目標的仿真結果Fig.4 Simulation results of intercepting target under different desired terminal LOS angles

為進一步說明測量噪聲對AFTNFTSMG制導性能的影響，對期望終端 LOS角 qd=20°，30°，40°的情況各做100次蒙特卡羅仿真，計算脫靶量和終端LOS角跟蹤誤差的均值和方差，結果如表1所示?？梢钥闯?，3種情況下脫靶量均值不超過0.04 m，終端LOS角跟蹤誤差均值小于0.02°，且方差均維持在零左右，表明在測量噪聲影響下，AFTNFTSMG依然能夠使制導系統(tǒng)保持穩(wěn)定。這是因為測量噪聲通常是有界的，可以和目標的機動一起看作制導系統(tǒng)的外部干擾，AFTNFTSMG中得益于自適應律的設計，使得制導系統(tǒng)對外部干擾具有較強的魯棒性。

3.3 不同制導律仿真對比

為了全面分析AFTNFTSMG的制導效果，在仿真中與其他制導律進行對比分析。

文獻[19]設計了一種非奇異終端滑模制導律（Nonsingular Terminal Sliding Mode Guidance Law，NTSMG）：

圖5 測量噪聲對制導性能的影響Fig.5 Influence of measurement noise on guidance performance

表1 蒙特卡羅仿真統(tǒng)計Tab1e 1 Simu1ation statistics of Monte Car1o

文獻[15]設計了一種自適應固定時間收斂非奇異終端滑模制導律（Adaptive Fixed-Time Nonsingular Terminal Sliding Mode Guidance Law，AFTNTSMG）：

此外，為了評估導彈在末制導過程中消耗的能量大小，文獻[20]給出了平均攔截加速度aME的概念，定義如下：

式中：N為總的仿真步數；aM（k）為第k步的制導指令仿真值。

假設目標采取 aM=7g cos（πt／4）進行機動，導彈初始航跡角γM0=60°，導彈攔截目標時期望的終端LOS角qd=20°，通過仿真對制導律 AFTNFTSMG、NTSMG和 AFTNTSMG的制導性能進行對比，仿真結果如圖6和表2所示。

圖 6（a）表明，制導律 AFTNFTSMG、NTSMG和AFTNTSMG在設定的制導場景下都能夠使導彈成功地攔截目標。圖 6（c）、（d）、（e）表明，在AFTNFTSMG作用下，˙q、q及滑模面s收斂速率最快，并且在AFTNFTSMG和AFTNTSMG的制導指令選取了相同參數的情況下，AFTNFTSMG使得系統(tǒng)狀態(tài)收斂更快。由表2可以看出，導彈在NTSMG、AFTNFTSMG和 AFTNTSMG的作用下攔截時間分別為 20.616 0 s、17.157 0 s和17.496 3 s，同時導彈在AFTNFTSMG作用下的脫靶量也是最小的，僅為0.018 4 m，這說明相比其他2種制導律，AFTNFTSMG能夠使得導彈具有更短的攔截時間及更高的制導精度。由注1可知，AFTNFTSMG使制導系統(tǒng)收斂速率比AFTNTSMG更快，同時AFTNFTSMG能夠使得制導系統(tǒng)狀態(tài)最終收斂到零，而AFTNTSMG采用滑模面轉換的方法來解決奇異性問題，最終只能使得制導系統(tǒng)收斂到而不能收斂到零。因此，AFTNFTSMG相比AFTNTSMG收斂速率更快，攔截精度更高。圖6（b）給出了3種制導律制導指令曲線，可以看出制導指令在前期都存在著飽和現象，但是 AFTNFTSMG指令曲線相較于其他2種制導律飽和時間短，并且由于自適應律的作用，AFTNFTSMG指令曲線較為平緩光滑，而NTSMG和AFTNTSMG指令曲線變化劇烈，并且NTSMG在16 s附近存在振顫現象。同時，表2中AFTNFTSMG的平均攔截加速度aME最小，這也說明采用AFTNFTSMG制導的導彈所消耗的能量是最少的。

圖6 不同制導律仿真對比Fig.6 Simulation comparison of different guidance laws

表2 不同制導律下攔截目標時的仿真結果Tab1e 2 Simu1ation resu1ts of intercepting target under different guidance 1aws

4 結 論

1）本文設計了一種新的帶有攻擊角度約束的終端滑模制導律，通過Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了導彈在滿足終端角度約束的要求下能夠成功攔截目標，并且制導系統(tǒng)的狀態(tài)變量能夠在固定時間T內收斂。

2）提出了一種固定時間收斂非奇異快速終端滑?？刂品椒ǎ诒ＷC滑模面不存在奇異問題的情況下，相較于現有的固定時間收斂控制，制導系統(tǒng)收斂速率更快。同時，對目標機動上界的自適應估計增強了制導系統(tǒng)的魯棒性。

3）仿真結果表明，本文設計的制導律能夠使導彈以不同的初始航跡角和不同的終端攻擊角度攔截機動目標。通過與現有制導律對比，本文設計的制導律能夠使導彈以更短時間和更高精度對目標實施打擊，并且制導系統(tǒng)收斂速率更快，導彈消耗的能量更少。