摘要：理清數(shù)學(xué)教學(xué)邊界的價(jià)值在于：讓教師的教學(xué)、學(xué)生的學(xué)習(xí)、教學(xué)的評(píng)價(jià)有明確的標(biāo)準(zhǔn)、可操作的載體、可實(shí)施的內(nèi)容和具體的要求;數(shù)學(xué)教學(xué)邊界的確定要遵循數(shù)學(xué)知識(shí)的階段性與發(fā)展性、數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)謹(jǐn)性與合理性、數(shù)學(xué)方法的程序性與靈活性、數(shù)學(xué)思維的靜態(tài)性與動(dòng)態(tài)性、數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程性與結(jié)果性等“五個(gè)相結(jié)合”原則;數(shù)學(xué)教學(xué)要嚴(yán)格遵守“知識(shí)內(nèi)容”邊界，正確理解“數(shù)學(xué)概念”邊界，準(zhǔn)確把握“學(xué)生認(rèn)知”邊界。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué) 邊界 價(jià)值 原則 方法

一線(xiàn)教師經(jīng)常會(huì)有一些教學(xué)困惑：某個(gè)內(nèi)容講不講？某個(gè)結(jié)論能不能在解題中直接運(yùn)用？學(xué)生這樣解答扣不扣分？數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程與結(jié)果的分寸如何把握？解題中回歸本質(zhì)與模型套用的關(guān)系如何處理？凡此種種，皆指向一個(gè)核心問(wèn)題：數(shù)學(xué)教學(xué)的邊界在哪里？

一、確定數(shù)學(xué)教學(xué)邊界的價(jià)值

對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)的“邊界”問(wèn)題，一線(xiàn)數(shù)學(xué)教師、課程與教材專(zhuān)家、教研與命題人員的關(guān)注點(diǎn)不盡相同。受現(xiàn)行評(píng)價(jià)體制的影響，不少一線(xiàn)數(shù)學(xué)教師關(guān)注學(xué)生的應(yīng)試能力、考試的分?jǐn)?shù)。反映到教學(xué)中，充滿(mǎn)功利色彩的“越界”和“缺位”現(xiàn)象比比皆是。課程與教材專(zhuān)家關(guān)注的是如何制定課程、教材與教學(xué)的邊界;教研與命題人員需要研究這個(gè)“邊界”，充當(dāng)連接課程、教材與教師、教學(xué)的橋梁角色。一方面，通過(guò)課程研究與解讀、教材分析與培訓(xùn)、教學(xué)診斷與指導(dǎo)、試題命制與評(píng)價(jià)，影響教師的教學(xué)行為和學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，力求體現(xiàn)教材意圖，落實(shí)課程目標(biāo);另一方面，發(fā)現(xiàn)、收集并反饋教學(xué)問(wèn)題、困惑和教師建議，為課程設(shè)計(jì)、教材修訂提供參考。

因此，有必要確定數(shù)學(xué)教學(xué)的邊界，在課程、教材與教學(xué)三者間找到契合點(diǎn)。數(shù)學(xué)教學(xué)的邊界是教學(xué)的“底線(xiàn)”，有了這個(gè)邊界，教師的教學(xué)、學(xué)生的學(xué)習(xí)、教學(xué)的評(píng)價(jià)就會(huì)有明確的標(biāo)準(zhǔn)、有可操作的載體、有可實(shí)施的內(nèi)容、有具體的要求，數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)才能在邊界內(nèi)自由地、靈動(dòng)地、創(chuàng)造性地開(kāi)展。

二、數(shù)學(xué)的發(fā)展無(wú)邊界，教學(xué)有邊界

1.數(shù)學(xué)的發(fā)展沒(méi)有邊界。

數(shù)學(xué)知識(shí)呈螺旋式上升、波浪式前進(jìn)的趨勢(shì)。如“1+1=2”，這是幼兒園小朋友也不會(huì)懷疑的結(jié)論，那么“1+1為什么等于2”，看似了然的問(wèn)題如何解釋呢？學(xué)生能說(shuō)清楚嗎？教學(xué)時(shí)可以先承認(rèn)其正確性，至于原理不妨先放一放，到了《數(shù)論》的學(xué)習(xí)與研究時(shí)再給予理論的解釋;隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)各分支更加細(xì)化，但又相互交叉融合。比如三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)是兩個(gè)不同的分支，但數(shù)學(xué)分析的出現(xiàn)，又讓二者在冪級(jí)數(shù)上得到了統(tǒng)一;復(fù)數(shù)、向量、三角函數(shù)等知識(shí)經(jīng)常在同一問(wèn)題的解決上相遇。作為數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該用高觀(guān)點(diǎn)理解數(shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)間的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與外部的聯(lián)系，理解數(shù)學(xué)發(fā)展的趨勢(shì)，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)“從哪里來(lái)，會(huì)向哪里去、怎么去”了然于心，對(duì)教學(xué)內(nèi)容有前瞻性、本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。

2.數(shù)學(xué)的教學(xué)有邊界。

國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)提出了課程理念，制定了課程目標(biāo)，確定了課程內(nèi)容，給出了課程實(shí)施方案，明確了教學(xué)評(píng)價(jià)要求，教材是課程標(biāo)準(zhǔn)的具體化，這些應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教學(xué)的邊界?！斑吔缫馕吨环N自由，邊界內(nèi)的任何研究都是自由的、合規(guī)范的。同時(shí)，邊界也意味著一種制約，邊界的規(guī)范就是邊界的束縛，邊界內(nèi)的自由也就意味著邊界外的不自由?！币环矫妫瑢?duì)課程標(biāo)準(zhǔn)、教材內(nèi)容、學(xué)生認(rèn)知的“邊界”有敬畏之心，一切數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)都必須在這些“邊界”內(nèi)開(kāi)展，不可越雷池半步;另一方面，要在“邊界”內(nèi)大膽探索與實(shí)踐，自由地開(kāi)展數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)。

數(shù)學(xué)教學(xué)邊界的確定要遵循“五結(jié)合”原則，即數(shù)學(xué)知識(shí)的階段性與發(fā)展性有機(jī)結(jié)合，數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)謹(jǐn)性與合理性有機(jī)結(jié)合，數(shù)學(xué)方法的程序性與靈活性有機(jī)結(jié)合，數(shù)學(xué)思維的靜態(tài)性與動(dòng)態(tài)性有機(jī)結(jié)合，數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程性與結(jié)果性有機(jī)結(jié)合。

三、數(shù)學(xué)教學(xué)的邊界在哪里？

數(shù)學(xué)教學(xué)的“邊界”是多角度、多維度的，本文僅從“知識(shí)內(nèi)容”“數(shù)學(xué)思維”“學(xué)生認(rèn)知”等3個(gè)方面進(jìn)行闡述。

1.嚴(yán)格遵守“知識(shí)內(nèi)容”邊界。

數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)結(jié)論猶如浩瀚的海洋。如果不加限制地延伸，就可能拓展出超出學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)和承受能力的知識(shí)內(nèi)容。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)必須嚴(yán)格遵守“知識(shí)內(nèi)容”的邊界。

在一次教研活動(dòng)中有位老師提問(wèn)： “已知直線(xiàn)l1∶y=k1x+b1與l2∶y=k2x+b2，則l1⊥ l2k1·k2=

-1。這個(gè)命題在中考中能否直接用？”

筆者直言：初中階段肯定不能直接用。

該校校長(zhǎng)（筆者的好友、教初中數(shù)學(xué)）和筆者針?shù)h相對(duì)：“我認(rèn)為可以直接用，即使學(xué)生用了大學(xué)的知識(shí)，只要用得正確，都不能算錯(cuò)，況且我們還鼓勵(lì)學(xué)生自學(xué)呢?！毙ｉL(zhǎng)的振振有詞似乎很有道理。我反問(wèn)：“如果允許初中學(xué)生用這個(gè)結(jié)論，那么教學(xué)會(huì)出現(xiàn)什么狀況呢？”現(xiàn)場(chǎng)頓時(shí)沉默了。

筆者知道，校長(zhǎng)明知這個(gè)結(jié)論在初中數(shù)學(xué)解題中直接用是“越界”行為，只是有意用這樣一個(gè)極端的例子表明態(tài)度而已。類(lèi)似的問(wèn)題筆者幾乎每天都能碰到。由此筆者又想到了在另一個(gè)場(chǎng)合，一位老師與筆者的對(duì)話(huà)：“物高之比等于影長(zhǎng)之比需要證相似嗎？”

筆者：“你的問(wèn)題我很難回答，如果證明一定不錯(cuò)?！?/p>

老師：“不證明可以嗎？證明有點(diǎn)繁瑣，還要重畫(huà)圖?！?/p>

筆者：“還是以教材要求為準(zhǔn)吧?！?/p>

這是蘇科版初中數(shù)學(xué)教材九年級(jí)下冊(cè)《6.7 用相似三角形解決問(wèn)題》中的結(jié)論。教材在介紹了“平行投影”概念后，通過(guò)在同一時(shí)刻分別測(cè)量三根木桿及在陽(yáng)光下的影長(zhǎng)，進(jìn)而得出結(jié)論：“在平行光的照射下，在同一時(shí)刻，不同物體的物高與影長(zhǎng)成比例”，但這個(gè)結(jié)論在教材中并沒(méi)有用黑體字。

老師們的意圖很明顯：如果一些結(jié)論可以直接用，那么在考試中，學(xué)生就可以走“捷徑”，既節(jié)約了時(shí)間，也省去好多事。

真的會(huì)“省事”嗎？我們不妨設(shè)想：如果類(lèi)似結(jié)論允許直接用，會(huì)對(duì)教學(xué)產(chǎn)生什么影響？課堂上教師必然會(huì)補(bǔ)充大量的結(jié)論讓學(xué)生機(jī)械記憶，教師、學(xué)生只關(guān)注結(jié)論是什么，不會(huì)思考、探究結(jié)論的由來(lái)，如果學(xué)生失去了經(jīng)歷結(jié)論探究過(guò)程的體驗(yàn)，那么學(xué)生的學(xué)習(xí)則毫無(wú)樂(lè)趣可言，學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)勢(shì)必加重，數(shù)學(xué)思維與探究能力勢(shì)必削弱。

這不禁讓筆者思考：數(shù)學(xué)教學(xué)的目的是什么？是記住一大堆結(jié)論，然后套用結(jié)論解題嗎？顯然不是！數(shù)學(xué)教學(xué)的目的是促進(jìn)學(xué)生的生命成長(zhǎng)和全面發(fā)展。具體地說(shuō)，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是“一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過(guò)程”，“既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的理性思維和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用”。如果教學(xué)一味讓學(xué)生死記硬背大量數(shù)學(xué)結(jié)論，考試時(shí)讓學(xué)生套用現(xiàn)成結(jié)論，那學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)還有什么快樂(lè)可言，還談什么學(xué)生思維發(fā)展，更不用說(shuō)理性思維、創(chuàng)新能力和核心素養(yǎng)了。

客觀(guān)地說(shuō)，當(dāng)今的教育最不缺的是理念、思想和模式。新課程理念、教育目標(biāo)和正確的教學(xué)方式教師都心知肚明，現(xiàn)在迫切需要解決的問(wèn)題是如何讓正確的教學(xué)價(jià)值取向在數(shù)學(xué)教師心底扎根。除了在命題上強(qiáng)調(diào)問(wèn)題的開(kāi)放性、探究性、過(guò)程性和發(fā)展性，通過(guò)教學(xué)評(píng)價(jià)引導(dǎo)教學(xué)外，一定要旗幟鮮明地確定好數(shù)學(xué)教學(xué)的“知識(shí)內(nèi)容”的邊界：教學(xué)活動(dòng)一定要在課程標(biāo)準(zhǔn)要求內(nèi)、在現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材內(nèi)容中開(kāi)展。凡教材中明確的定義、黑體字印刷的公理、定理、法則和公式才可以直接運(yùn)用，一些所謂的模型、技巧必須回到教材知識(shí)內(nèi)容上來(lái)。

2.正確理解“數(shù)學(xué)概念”邊界。

將“數(shù)學(xué)概念”與“知識(shí)內(nèi)容”“學(xué)生認(rèn)知”并列，從邏輯上看不太合理，但“數(shù)學(xué)概念”教學(xué)“越界”現(xiàn)象比較突出，因此作為特別的內(nèi)容專(zhuān)門(mén)闡述。

教材中的每一個(gè)數(shù)學(xué)概念在相應(yīng)學(xué)段是明確的、規(guī)范的，有清晰的外延和內(nèi)涵。但數(shù)學(xué)概念又是動(dòng)態(tài)的，會(huì)隨著數(shù)學(xué)自身的發(fā)展、隨著學(xué)生認(rèn)知進(jìn)步而加深，因此數(shù)學(xué)概念有時(shí)需要結(jié)合具體情境加以理解和運(yùn)用。

【問(wèn)題呈現(xiàn)】如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm， BC=8 cm。有一動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿射線(xiàn)BC方向移動(dòng)，速度是2 cm/s，在P點(diǎn)出發(fā)2 s后，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)，沿射線(xiàn)AC方向移動(dòng)，速度是1 cm/s。若設(shè)P出發(fā)后時(shí)間為t s。（1）用含t的代數(shù)式分別表示線(xiàn)段AQ、PC的長(zhǎng)度，并寫(xiě)出相應(yīng)的t的取值范圍。（問(wèn)題（2）、（3）略）

圖1

有幾位教師糾結(jié)于該題中的第（1）問(wèn)“t的取值范圍”是“t>0”還是“t≥0”或“t≥2”。這里BP=2t cm（t≥0），AQ=（t-2）cm，他們認(rèn)為：若t=0，則BP=0，則“不存在線(xiàn)段CP”;若0≤t≤2，則AQ=0，也“不存在線(xiàn)段AQ”。

【問(wèn)題剖析】這是對(duì)“線(xiàn)段的長(zhǎng)度”概念脫離實(shí)際情境的片面理解。點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)是從初始位置出發(fā)的連續(xù)過(guò)程，所以t的取值是從0開(kāi)始的連續(xù)狀態(tài)，因而B(niǎo)P、AQ的長(zhǎng)度也是從0開(kāi)始的，其中t=0和t=2分別表示點(diǎn)P、Q的初始狀態(tài)。因此，第（1）問(wèn)答案應(yīng)該是：當(dāng)0≤t≤2時(shí)，BP=2t cm，AQ=0;當(dāng)t>2時(shí)，BP=2t cm，AQ=（t-2）cm。即t可以為0，也可以為2。

在研究數(shù)學(xué)概念時(shí)，既要把握好概念理解的邊界，掌握其外延與內(nèi)涵，又不能離開(kāi)具體的問(wèn)題情境孤立地理解。教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生辯證地、聯(lián)系地思考問(wèn)題。如圓的切線(xiàn)可以看成由圓的割線(xiàn)繞一個(gè)交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)交點(diǎn)與這個(gè)交點(diǎn)重合的特殊位置，即直線(xiàn)與圓的兩交點(diǎn)間線(xiàn)段的長(zhǎng)變?yōu)?，割線(xiàn)的極限位置就是圓的切線(xiàn)。又比如，絕對(duì)值表示數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，但絕對(duì)值是可以為0的。再如：從嚴(yán)格的定義上說(shuō)，平行四邊形與梯形都是“一組對(duì)邊平行”的四邊形，平行四邊形是“另一組對(duì)邊也平行”的四邊形，而梯形則是“另一組對(duì)邊不平行”的四邊形，二者之間的概念是不相容的;但從圖形變化的角度看，當(dāng)梯形的另一組對(duì)邊運(yùn)動(dòng)至平行狀態(tài)時(shí)就得到平行四邊形。從這個(gè)意義上說(shuō)，平行四邊形完全可以看作是特殊的梯形。這就是對(duì)數(shù)學(xué)概念一種動(dòng)態(tài)的、連續(xù)性、辯證的理解。

數(shù)學(xué)教學(xué)既要尊重?cái)?shù)學(xué)概念的規(guī)范性、階段性特點(diǎn)，又要?jiǎng)討B(tài)地、發(fā)展地理解數(shù)學(xué)概念的邊界，不能讓數(shù)學(xué)概念束縛學(xué)生的思維。

3.準(zhǔn)確把握“學(xué)生認(rèn)知”邊界。

上海師范大學(xué)王榮生教授認(rèn)為：“教什么遠(yuǎn)比怎么教更重要?！睌?shù)學(xué)教什么、起點(diǎn)在哪里、經(jīng)過(guò)哪里、終點(diǎn)在哪里，這是教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施必須思考的問(wèn)題。數(shù)學(xué)教師要及時(shí)準(zhǔn)確地把握學(xué)生的“認(rèn)知”邊界，才能精準(zhǔn)施策，開(kāi)展有效教學(xué)，避免出現(xiàn)偏離學(xué)生“數(shù)學(xué)認(rèn)知”邊界的現(xiàn)象。然而，現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)課堂中，對(duì)“學(xué)生認(rèn)知”理解的“缺位”或“越界”現(xiàn)象屢見(jiàn)不鮮。

【問(wèn)題呈現(xiàn)】問(wèn)題1.教者通過(guò)幾個(gè)現(xiàn)實(shí)情境，引入了“正數(shù)和負(fù)數(shù)”的概念;

問(wèn)題2.“-1”的符號(hào)“-”怎么讀？

有學(xué)生讀作“負(fù)號(hào)”，有學(xué)生讀作“減號(hào)”，教師解釋?zhuān)涸谶\(yùn)算時(shí)“-”是運(yùn)算符號(hào)，讀作“減號(hào)”;像“-1”中的“-”號(hào)是性質(zhì)符號(hào)，讀作“負(fù)號(hào)”……

問(wèn)題3.將數(shù)+7，-9，[13]，-4.5，998，0，-[910]填入相應(yīng)的集合內(nèi)：

正數(shù)集合{? ? ? ?…};負(fù)數(shù)集合{? ? ? ?…};非負(fù)數(shù)集合{? ? ? ? ?…}。

教者繼而增加一個(gè)填空：“非負(fù)整數(shù)集合{? ? ? ?…}”，結(jié)果有學(xué)生在所給定的數(shù)中，除了“-9”外的所有數(shù)都填入了非負(fù)整數(shù)集合。

【問(wèn)題剖析】問(wèn)題1實(shí)際上說(shuō)明教師沒(méi)有準(zhǔn)確把握學(xué)情。那么，學(xué)生對(duì)“負(fù)數(shù)”的認(rèn)知起點(diǎn)是什么呢？以人教版數(shù)學(xué)教材小學(xué)六年級(jí)下冊(cè)《負(fù)數(shù)》內(nèi)容為例，教材通過(guò)“氣溫的零上溫度和零下溫度”“儲(chǔ)蓄本上支出與存入”“走路的向西與向東”等現(xiàn)實(shí)情境引入了“正數(shù)”與“負(fù)數(shù)”的描述性概念、表示方法，學(xué)生知道了相反意義的量，并學(xué)會(huì)了數(shù)的簡(jiǎn)單分類(lèi)、大小比較和在直線(xiàn)（數(shù)軸）上表示。說(shuō)明小學(xué)階段對(duì)“負(fù)數(shù)”已經(jīng)有了一定的認(rèn)知，因此這節(jié)課中對(duì)負(fù)數(shù)引入方式反映了教者對(duì)“學(xué)生認(rèn)知”理解的缺位。教學(xué)中，應(yīng)該利用學(xué)生已有認(rèn)知，從數(shù)學(xué)內(nèi)部問(wèn)題出發(fā)展開(kāi)教學(xué)活動(dòng)。如：給出數(shù)+7，-9，[13]，-4.5，-20%，+8848，-6000，0，-[910]，讓學(xué)生說(shuō)出這些是什么數(shù)，并賦予這些數(shù)實(shí)際意義……這是準(zhǔn)確把握學(xué)生的認(rèn)知邊界，通過(guò)學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題激活已有認(rèn)知，使教學(xué)不斷深入的應(yīng)有之舉。

問(wèn)題2的“-1”中“-”號(hào)的讀法，就學(xué)生現(xiàn)有的理解與認(rèn)知而言，讀作“負(fù)號(hào)”或“減號(hào)”都可以預(yù)見(jiàn)。但本節(jié)課中教師對(duì)讀作“負(fù)號(hào)”的解釋則顯得空洞、無(wú)力，什么是“性質(zhì)符號(hào)”、什么是“運(yùn)算符號(hào)”，學(xué)生并沒(méi)有真正理解。教者必須認(rèn)識(shí)到讓學(xué)生弄清二者區(qū)別的重要性，“-”號(hào)不僅是為了表示“負(fù)數(shù)”之用，也為后面參加有理數(shù)的“運(yùn)算”之用。其實(shí)，教者只要給一個(gè)算式“-3+（+2）-（-5）”讓學(xué)生讀題，學(xué)生很快便能正確地讀出“負(fù)3加正2減負(fù)5”，對(duì)所謂的“性質(zhì)符號(hào)”與“運(yùn)算符號(hào)”的意義不言自悟，無(wú)須教師太多的提醒和解釋。

問(wèn)題3中，教者的意圖很明顯，“非負(fù)整數(shù)”是指“不是負(fù)數(shù)的整數(shù)”，即整數(shù)范圍內(nèi)的“0和正整數(shù)”，這也是許多人的習(xí)慣理解。然而，學(xué)生為什么得出了“不是負(fù)整數(shù)的數(shù)”——“在所給的數(shù)中除負(fù)整數(shù)以外的所有數(shù)”的錯(cuò)誤判斷呢？細(xì)細(xì)分析，發(fā)生這種現(xiàn)象并不奇怪：由于學(xué)生是在填“非負(fù)數(shù)集合”的練習(xí)后填“非負(fù)整數(shù)集合”，而“非負(fù)數(shù)”是指“不是負(fù)數(shù)的數(shù)”（這里的數(shù)是學(xué)生目前認(rèn)知的數(shù)，即有理數(shù)），受此影響，學(xué)生必然得出“非負(fù)整數(shù)”是指“不是負(fù)數(shù)的整數(shù)”的結(jié)論，這實(shí)際上是“非負(fù)數(shù)”問(wèn)題的負(fù)遷移作用。

那么，“非負(fù)整數(shù)”到底指什么呢？有必要追根溯源。翻開(kāi)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和中學(xué)數(shù)學(xué)教材，包括中高考試卷，均未發(fā)現(xiàn)“非負(fù)整數(shù)”這樣的名稱(chēng)和概念。2010年出版的《數(shù)學(xué)大辭典》中這樣寫(xiě)道：“整數(shù)可以分成正整數(shù)、零與負(fù)整數(shù)。正整數(shù)亦稱(chēng)自然數(shù)?！爆F(xiàn)行教材把0看作自然數(shù)，《現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典》對(duì)“自然數(shù)”的解釋是“零和大于零的整數(shù)”。因此，教者所說(shuō)的“非負(fù)整數(shù)”——“0和正整數(shù)”實(shí)際上就是自然數(shù)。筆者將這個(gè)問(wèn)題放到數(shù)學(xué)QQ群讓老師們討論。一位老師貼出“百度”的內(nèi)容：“自然數(shù)是指表示個(gè)體的數(shù)，即由0開(kāi)始，0，1，2，3，4，……一個(gè)接一個(gè)，組成一個(gè)無(wú)窮的集體，即指非負(fù)整數(shù)?！薄白匀粩?shù)集是全體非負(fù)整數(shù)組成的集合。”并提出了自己的觀(guān)點(diǎn)：“整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)這些詞都是對(duì)數(shù)的范圍做的限定，然后前面加上非負(fù)，也是在這個(gè)范圍中把負(fù)的去掉即可，沒(méi)有必要給出定義?！惫P者認(rèn)為：百度的內(nèi)容只能供參考，不可作為佐證。經(jīng)過(guò)多邊查證，終于在《數(shù)學(xué)辭海（第一卷）》發(fā)現(xiàn)了“非負(fù)整數(shù)”的解釋?zhuān)骸胺秦?fù)整數(shù)即‘自然數(shù)?！比欢瑥膶W(xué)生的認(rèn)知上說(shuō)，將“非負(fù)整數(shù)”理解為“不是負(fù)整數(shù)的數(shù)”也沒(méi)有什么不妥，他們默認(rèn)的全集是他們所接觸過(guò)的有理數(shù)集，而教者之所以理解為“不是負(fù)數(shù)的整數(shù)”是源于自己默認(rèn)的全集是整數(shù)。教者應(yīng)該思考：課程標(biāo)準(zhǔn)、教材為什么不明確給出“非負(fù)整數(shù)”的定義？很明顯，“非負(fù)整數(shù)”概念完全超出了學(xué)生的“認(rèn)知”邊界，也超出了課程標(biāo)準(zhǔn)及教材的“內(nèi)容”邊界，可見(jiàn)這是教者“慣性思維”的結(jié)果，反映了教學(xué)的隨意性。

維果茨基認(rèn)為，學(xué)生的發(fā)展有兩種水平：一種是學(xué)生的現(xiàn)有水平，指獨(dú)立活動(dòng)時(shí)所能達(dá)到的解決問(wèn)題的水平;另一種是學(xué)生可能的發(fā)展水平，也就是通過(guò)教學(xué)所獲得的潛力。兩者之間的差異就是最近發(fā)展區(qū)?！白罱l(fā)展區(qū)”其實(shí)就是學(xué)生的“認(rèn)知”邊界。教師全面了解與準(zhǔn)確把握學(xué)生的“數(shù)學(xué)認(rèn)知”邊界是教學(xué)設(shè)計(jì)和課堂教學(xué)的前提。教師的作用就是在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，幫助學(xué)生搭建腳手架，讓學(xué)生通過(guò)探究、思考達(dá)到可能的數(shù)學(xué)發(fā)展水平?！澳_手架”有時(shí)就是一個(gè)關(guān)鍵的點(diǎn)撥，有時(shí)只是一個(gè)簡(jiǎn)單的暗示。

（作者單位：江蘇省泰州市教育局教研室）