朱敦贛

(集美大學理學院，福建 廈門 361021)

0 引言

1965年，Zadeh[1]首次提出模糊集理論。以此為基礎，相關學者對模糊集進行了一步步優(yōu)化，其中最具代表性的是直覺模糊集[2]和Pythagorean模糊集[3]。在現有的多屬性決策問題中，決策者對備選方案在各屬性下評價越來越模糊，使得多屬性決策問題的難度也隨之加大。而直覺模糊集和Pythagorean模糊集的出現，恰恰可以解決很多類似的決策問題。

Yager[2]于2014年提出Pythagorean模糊集。與直覺模糊集不同的是，Pythagorean模糊集將其隸屬度和非隸屬的取值范圍從隸屬度與非隸屬度之和小于等于1拓展至隸屬度與非隸屬度的平方和小于等于1，隸屬度和非隸屬度取值范圍的擴大，給決策者評價的精確性提供更多保障。Pythagorean模糊集現已被廣泛應用于風險的評估[4]、投資[5]、模式識別以及醫(yī)療診斷[6]等方面。

目前，基于Pythagorean模糊集的決策方法相關研究已經取得了一些研究成果：劉衛(wèi)峰等[7]定義了Pythagorean模糊數的交叉影響運算法則，并提出幾種Pythagorean模糊信息集成算子和基于Pythagorean模糊交叉影響集成算子的決策方法；丁恒等[8]針對Pythagorean模糊環(huán)境下的多屬性群決策問題，提出 Pythagorean模糊冪加權平均算子，研究所提出算子的基本性質，并提出基于PFPWA算子的群決策方法。但是以上研究多是基于集成算子的研究方法，由于集成算子公式構造的多樣性，容易給評價結果造成誤差，致使最終獲得的最優(yōu)方案存在爭議。所以，本文將Pythagorean模糊集與最優(yōu)化理論相結合，減少人為主觀方面的影響，以使最終的評價結果更加精確。

在多屬性群決策過程中，因為需要考慮多個決策的評價信息，首先需要確定決策者的相關權重，然后再將這些決策個體給出的評價信息通過信息集成的方式得到綜合決策信息，所以在群決策過程中，確定決策者的權重就顯得尤為重要。文獻[9-11]從決策者的主觀權重和客觀權重出發(fā)，給出了確定決策者權重的幾種方法。文獻[12]給出將決策者主觀權重和客觀權重組合為決策者的最終權重的方法。解決多屬性群決策問題的另一個重要的影響因素是屬性權重的確定。在屬性權重信息完全未知且屬性值為實數的情況下，可采用加權平均法[13]、方差最大化法[14]、信息熵法[15]等。由于其評價的客觀性以及專家在某些未知領域知識的局限性，多數評價值現被以模糊數的形式給出，所以以上針對實數的屬性權重值的確定方法已經不足以解決該類問題，使得基于模糊評價值的多屬性群決策問題成為了現階段研究的熱點方向。

本文主要研究在Pythagorean模糊環(huán)境下的多屬性群決策問題，提出了一種基于Pythagorean模糊非線性規(guī)劃的多屬性群決策方法。首先,引入關于模糊集的一系列基本概念;其次,針對Pythagorean模糊非線性規(guī)劃多屬性決策問題,給出兩種思路下決策者和屬性客觀權重的確定方法,同時給出Pythagorean模糊非線性規(guī)劃模型;最后,以航空公司機型的選取為背景,實例論證了模型的可行性和有效性。

1 基本概念

定義1[1]設X為一論域,X上形如A={〈x,μA(x)〉|x∈X}的二元組被稱為X上的一個模糊集,其中μA(x)∈[0,1],它代表x隸屬于A的程度,簡稱隸屬度,記a=μa為一個模糊數(FN)。

定義2[2]設X為一論域,X上形如A={〈x,μA(x),νA(x)〉|x∈X}的三元組被稱為X上的一個直覺模糊集,其中μA(x)∈[0,1],νA(x)∈[0,1],且μA(x)+νA(x)≤1。μA(x)為隸屬度，νA(x)為非隸屬度。令πA(x)=1-μA(x)-νA(x),稱πA(x)為猶豫度,故πA(x)∈[0,1]。記a=(μa,νa)為一個直覺模糊數(IFN)。

定理1[3]設a1,a2為兩個Pythagorean模糊數,若：1)s(a1)>s(a2),則a1>a2；2)s(a1)=s(a2),有：若h(a1)>h(a2),則a1>a2;若h(a1)=h(a2),則a1=a2。

2 基于Pythagorean模糊非線性規(guī)劃的群決策權重確定模型

假設決策者用Pythagorean模糊數做決策評價,記決策者ek的評價矩陣Sk=(sij(k))m×n(k=1,2,…,l),其中sij(k)代表決策者ek對方案pi在屬性qj下的評價,現假設屬性權重ω和決策者權重W完全未知,試通過確定方案優(yōu)先排序。

將決策者ek的評價矩陣Sk=(sij(k))m×n(k=1,2,…,l)規(guī)范化為Rk=(rij(k))m×n(k=1,2,…,l),對于效益型屬性對應的評價值不需作任何變動,對于成本型屬性對應的評價值,取其補來替代,即

(1)

2.1 基于非線性規(guī)劃的群決策專家權重確定模型

對于決策者ek,es,其決策者權重分別為wk,ws,先計算兩個矩陣加權之后對應元素的距離之和,簡稱加權決策矩陣距離,記為：

(2)

再計算兩兩決策者之間的加權決策矩陣距離之和,記為：

(3)

最后求解目標規(guī)劃：

(4)

得：W={w1,w2,…,wl}。

另一種確定決策者客觀權重的方法如下。

對于決策者e1,e2,…,el,其決策者權重對應為w1,w2,…,wl,將決策矩陣R1,R2,…,Rl加權求和,得綜合決策矩陣R=(rij)m×n,其中：

(5)

再計算每個決策矩陣與綜合決策矩陣的矩陣對應元素距離之和,記為：

(6)

最后求解目標規(guī)劃：

(7)

得：W={w1,w2,…,wl}。

2.2 基于非線性規(guī)劃的群決策屬性權重確定模型

在決策者的決策權重W={w1,w2,…,wn}已知的情況下,根據式(3)求得綜合決策矩陣R,將綜合決策矩陣的屬性列加權平均,計算出綜合屬性列T={t1,t2,…,tm},其中

ti=ω1ri1⊕ω2ri2⊕…⊕ωnrin。

(8)

再計算綜合決策矩陣的每一屬性列與綜合屬性列的對應元素距離之和,記為：

⊕ω2ri2⊕…⊕ωnrin,rij)。

(9)

最后求解目標規(guī)劃：

(10)

得：ω={ω1,ω2,…,ωn}。

3 基于Pythagorean模糊非線性規(guī)劃的群決策方法

步驟2：利用式(2)～式(4)求解決策者的客觀權重向量W={w1,w2,…,wn}。

步驟3：通過式(5),求得綜合決策矩陣R。

步驟4：利用式(8)～式(10)求解方案屬性的客觀權重向量ω={ω1,ω2,…,ωn}。

步驟5：通過式(8)計算綜合屬性列T={t1,t2,…,tm},并根據定義6及定理1求得各方案對應的得分函數和精確函數。

步驟6：排序和擇優(yōu)。

4 實例分析

4.1 問題背景

隨著我國經濟的高速運轉,我國的民航事業(yè)也得到了持續(xù)和穩(wěn)定的發(fā)展,尤其自國家允許民營資本進入市場以來,多家民營航空公司相繼問世,并迅速擴張市場。在多家航空公司激烈競爭的背景下,航空公司成立和發(fā)展過程中不可避免存在的問題就是飛機的機型選擇問題。機型選擇作為航空公司重要的戰(zhàn)略規(guī)劃之一,直接決定了航空公司的長期經濟效益,而且還在一定程度上影響公司的技術、管理水平及其市場競爭力。

德國戴姆勒-克萊斯勒宇航公司(DASA)對全世界航空公司選購飛機的關鍵因素進行了分析研究,為航空公司提供相應的經濟和運營指標,主要包括：經濟性,飛機性能,通用性,環(huán)保性以及舒適性。隨著旅客出行次數增加,對航空出行的深入了解,旅客出行行為逐漸改變,在航空出行時對機型、航空公司等方面有更多的要求。航空公司在進行機型選擇時,不僅需要考慮旅客對機型的選擇的偏好,還需要從旅客的安全、舒適性等角度考慮。因此,對航空公司機型選擇的研究可以有效地分析旅客對機型的舒適性和品牌的要求,并能夠給航空公司帶來更多的收益。

4.2 實例分析

現考慮一個航空公司機型選擇問題。假設現在有3個機型P1,P2,P3可以選擇,針對這些機型選擇需要考慮5個方面的內容：1)舒適度(Q1);2)飛機性能(Q2);3)環(huán)保性(Q3);4)通用性(Q4);5)價格(Q5)。其中Q1,Q2,Q3,Q4均為效益型屬性,只有Q5屬于成本型屬性。現航空公司聘請了3位專家e1,e2,e3來對3種機型在5個方面進行評價,3位專家給出的初始評價矩陣如表1。

表1 專家e1,e2,e3給出的Pythagorean模糊評價矩陣S1

步驟1 根據式(1)將3位專家的初始評價矩陣規(guī)范化并計算其猶豫度,得規(guī)范化后的評價矩陣如表2。

表2 專家e1,e2,e3的規(guī)范化評價矩陣R1

步驟2 根據式(2)～式(4),解得專家客觀權重向量為：W=(0.333 6,0.333 3,0.333 1)。

步驟3 已知專家客觀權重向量,再由式(5)計算出綜合的專家評價矩陣如表3。

表3 專家e1,e2,e3的綜合評價矩陣R

步驟4 根據式(8)～式(10),求解得方案屬性的客觀權重向量為：ω=(0.1886,0.1679,0.1461,0.1886,0.3088)。

步驟5 已知屬性客觀權重,再通過式(8)計算方案的綜合屬性列T,并根據定義4計算出3個方案綜合評分值的得分函數和精確函數,如表4。

表4 3個方案的綜合屬性評價表

步驟6 排序和擇優(yōu)。根據定義6和定理1,比較3個方案綜合屬性評價值的大小,得出3個方案的優(yōu)先排序方案,結果為：P1>P2>P3。故綜合5個方面的考慮,航空公司應選擇第一種機型。

5 結語

本文提出了一種基于Pythagorean模糊非線性規(guī)劃的多屬性群決策方法。首先,針對Pythagorean模糊非線性規(guī)劃多屬性決策問題,給出兩種思路下決策者和屬性客觀權重的確定方法,進而提出此類模糊群決策的詳細解決步驟;其次,以航空公司機型的選取實例，論證了本文提出的Pythagorean模糊非線性規(guī)劃的多屬性決策模型的可行性和有效性。

本文運用的矩陣間距離測度公式的定義僅基于Lance距離進行的拓展，而且簡單的平方差會增加評價誤差。同時，目標函數的模型構造也較為簡潔。下一步的工作目標就是在本文的基礎上改進距離公式和目標函數，以提高評價的精確度。