張敏 李軍 孫迪

[摘 ?要] APOS理論是一種建構主義學習理論，它不僅指明了學生學習數(shù)學概念的過程是分為四個階段的，而且還指導教師如何進行數(shù)學教學.文章在APOS理論指導下，以數(shù)學史融入一元二次方程概念教學為例，詳細地解釋了在APOS理論指導下數(shù)學概念教學的每個環(huán)節(jié)，旨在推廣APOS理論在實際教學中對于概念教學的應用.

[關鍵詞] APOS理論;一元二次方程;教學設計

數(shù)學具有廣泛的應用性，在現(xiàn)實生產生活中往往需要用到數(shù)學知識解決問題，而能夠熟練運用數(shù)學知識的前提是對于數(shù)學基本概念的理解和掌握;此外，數(shù)學又具有高度的抽象性，因此對于數(shù)學概念的理解和掌握又是十分困難的.對于數(shù)學概念的教學《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出，抽象數(shù)學概念的教學，要關注概念的形成過程，幫助學生克服機械記憶概念的學習方式，還應從學生實際出發(fā)，創(chuàng)設有助于學生自主學習的問題情境，引導學生通過觀察、探索、猜測、交流、反思等活動逐步體會數(shù)學知識的意義，獲得積極的情感體驗，發(fā)展應用數(shù)學知識的意義[1].

APOS理論概述？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

20世紀80年代，美國著名教育學家杜賓斯基等人根據(jù)皮亞杰的學習理論提出，任何一個數(shù)學教育中的理論或模型都應該致力于對“學生是如何學習數(shù)學的”及“什么樣的教學計劃可以幫助這種學習”的理解，基于這個觀點杜賓斯基等人建立了APOS理論[2]. APOS理論深入地研究了學生學習數(shù)學概念過程中的思維活動，真實地反映了數(shù)學知識形成的規(guī)律性，這在教學活動中則為教師如何進行數(shù)學教學提供了一種具體而實用的教學策略. APOS理論提出數(shù)學概念的形成要經(jīng)過“活動（action）”、“過程（processes）”、“對象（objects）”和“圖式（schemas）”4 個階段.

第一階段：活動（action）階段

活動階段（也稱為操作階段）相當于觀察、呈現(xiàn)數(shù)學概念的本質階段. 在這個階段，教師通過具體的活動讓學生像數(shù)學家們一樣親身感受現(xiàn)實背景和概念之間的關系，讓學生通過實際的活動來獲得知識. 但這種活動并不僅僅是做游戲、做手工、觀察實驗，它還需要進行實際的操作演算以及個體在活動中的反思和歸納，將活動中觀察到的東西轉化為我們需要的知識. 例如，通過現(xiàn)實情景學生發(fā)現(xiàn)存在一類整數(shù)方程，它們只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是二次，這個過程就是活動.

第二階段：程序（processes）階段

程序階段（也稱為過程階段）. 當活動階段的刺激不斷重復，學生不斷反思，學生就會在大腦中自發(fā)地進行心理建構，他們會嘗試概括或者描述活動階段感知到的內容. 比如，在程序階段學生會嘗試給一元二次方程下定義或者是嘗試找到它的一般形式來表示它. 此時的概括或者描述還是淺顯的，不完善的，和其他知識相孤立.

第三階段：對象（objects）階段

在對象階段學生能更深層次地認識到概念的本質特征，能用數(shù)學語言準確地概括或者描述概念，即將概念進行數(shù)學化. 例如：會用ax2+bx+c=0這個一般形式表示一元二次方程，并且知道當二次項系數(shù)a=0時，方程變?yōu)橐辉淮畏匠?當二次項系數(shù)a≠0，一次項系數(shù)b=0或者常數(shù)項c=0時，方程變?yōu)橐辉畏匠痰膬煞N特殊形式ax2+c=0或ax2+bx=0.

第四階段：圖式（schemas）階段

當學生經(jīng)歷了活動、程序、對象這幾個階段后，在他自己頭腦中就會將新知識與原有認知結構進行整合從而產生新的圖式. 當學生頭腦中構建出新的圖式后，他就能利用這個圖式很好地區(qū)分概念的內涵和外延，能清晰地知道新的概念與其他相關知識之間的聯(lián)系. 例如，對于“一元二次方程”概念的理解在圖式階段包含具體的一元二次方程實例、抽象出概念的過程、一元二次方程完整的定義，一元二次方程和一元一次方程、二次函數(shù)等概念的聯(lián)系與區(qū)別.

一般情況下APOS理論的這四個階段是循序漸進、循環(huán)上升的，但是圖式并不是經(jīng)歷一次教學活動就能完成的，要在學生頭腦中建立一個完善的圖式通常要經(jīng)過長期不斷的數(shù)學學習活動.

數(shù)學史融入數(shù)學教學的意義

數(shù)學史融入數(shù)學教學架起了兩座橋梁，一座溝通了數(shù)學與人文，一座溝通了歷史與現(xiàn)實. 數(shù)學史融入數(shù)學教學可以呈現(xiàn)知識的和諧，讓學生感受到數(shù)學知識的來源，同時展現(xiàn)文化的魅力，讓數(shù)學課堂彰顯人性的光芒和浸潤文化的芬芳，有助于培養(yǎng)學生的人文素養(yǎng).

下面以北師大版初中數(shù)學“一元二次方程”概念教學為例介紹APOS理論指導下的數(shù)學史融入概念課教學的設計.

APOS理論指導下數(shù)學史融入一元二次方程概念教學設計

一元二次方程是初中數(shù)學的主要內容之一，在初中數(shù)學中占重要地位，一方面，一元二次方程的學習，是對一元一次方程及不等式知識的延續(xù)和深化，也是今后學習一元二次不等式、二次函數(shù)等知識的基礎. 另一方面，一元二次方程的學習對于物理、化學等學科的學習也有重要意義，如物理中變速運動問題的解決就需要借助于一元二次方程.

教學目標：

知識與技能：理解并掌握一元二次方程的概念及一般形式，會把一個一元二次方程化為一般形式，并準確地判斷出一元二次方程的各項與系數(shù). 通過本節(jié)課的學習，培養(yǎng)學生分類、類比、歸納和概括能力.

過程與方法：本節(jié)課將通過APOS理論的指導設計教學活動，讓學生一步步經(jīng)歷現(xiàn)實背景中抽象出一元二次方程的概念的過程.

情感態(tài)度與價值觀：通過本節(jié)課的學習感受到數(shù)學歷史的悠遠和數(shù)學知識的趣味.

教學重點：一元二次方程概念的理解.

教學難點：從實例中抽象概括出一元二次方程的概念.

教學過程：

1. 創(chuàng)設問題情景，讓學生在實際情境中感知對象（活動階段）.

19世紀上半葉，考古學家在美索不達米亞地區(qū)挖掘出大約50萬塊刻有楔形文字的泥板書. 這些泥板書跨越巴比倫歷史許多時期，其中有300多塊載有數(shù)學表和一些數(shù)學問題.一塊古巴比倫泥板書上記載了這樣一個問題：正方形的面積與邊長之和為，求正方形的邊長.你知道古巴比倫人是怎么計算出正方形邊長的嗎？[3]

如果上面的問題大家覺得有困難，我們不妨先來看看下面這道課本上的題：一個長為10米的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距離地面的垂直距離為8米.如果梯子的頂端下滑1米，那么梯子的底端滑動多少米？[4]

對于上述兩個問題，學生不難設出未知數(shù)，根據(jù)等量關系列得方程：x2+x=和x2+12x-15=0.

此時，學生就會發(fā)現(xiàn)這兩個方程是他們不熟悉的，但是它們又是真實存在的.

2. 自主探究，深入分析和感知對象，概括出對象的特征（程序階段）.

由上面的問題我們得到兩個方程x2+x=和x2+12x-15=0.請你觀察這兩個方程說一說你觀察到什么？

請思考這兩個方程與3x=15和2x=1有什么區(qū)別？與3x+2y=15和5x+3y=24有什么區(qū)別？你能舉兩個相似的例子嗎？

設計意圖 通過與一元一次方程和二元一次方程的對比，學生明確一元二次方程與一元一次方程、二元一次方程的區(qū)別，經(jīng)過逐層思考，不斷反思，概括出一元二次方程的本質特征：①是整式方程，②只含有一個未知數(shù)，③未知數(shù)的最高次數(shù)是2次.在此基礎上教師再提出問題“根據(jù)新方程的特征，你能給上面的新方程取個名字嗎？”引導學生將他們腦海中描述性語言數(shù)學化.

3. 合作交流，概括出數(shù)學對象的概念，并將其符號化（對象階段）.

請再一次觀察方程x2+x-=0，x2+12x-15=0的結構特征，你能說出這類方程的一般形式嗎？

學生已經(jīng)學習過一元一次方程，對于方程的“一般形式”并不陌生，通過類比一元一次方程一般形式的學習，學生能夠找到一元二次方程的一般形式. 但是，在學生回答的基礎上應進一步引導學生思考，在一般形式ax2+bx+c=0中，

（1）a，b，c是已知數(shù)，還是未知數(shù)？

（2）常數(shù)a能等于零嗎？你能說出理由嗎？

（3）常數(shù)b和c能等于零嗎？你能說明理由嗎？

設計意圖 經(jīng)歷上面的環(huán)節(jié)，學生能更深刻地明白一元二次方程的一般形式中a，b，c均為常數(shù)，且二次項系數(shù)a≠0.若a=0，則方程變?yōu)橐辉淮畏匠?，但是一次項系?shù)b和常數(shù)項c可以為零，當b=0時方程變?yōu)樘厥庑问絘x2+c=0，當c=0時方程變?yōu)榱硪环N特殊形式ax2+bx=0，這一環(huán)環(huán)的思考能幫助學生更深刻認識一元二次方程的本質特征，并且在這個過程中體會從一般到特殊的思想.

現(xiàn)在，你能根據(jù)新方程的特征給新方程下一個定義嗎？

設計意圖 學生在經(jīng)歷上述環(huán)節(jié)后能用數(shù)學語言描述一元二次方程的概念.但是他們的描述并不一定全面，教師在對學生的描述進行總結后，將準確的定義展示出來，并讓學生反思自己的描述有哪些不足之處，從而加深學生對概念的認識，也培養(yǎng)了學生的語言表達能力.

4. 隨堂鞏固，建立概念圖式，完善知識體系（圖式階段）.

經(jīng)過上述三個階段的教學，學生在頭腦中能夠建立如下的心理圖式：一元二次方程是整式方程，它只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是二次，它的二項式系數(shù)不能為零，一元一次方程是它的特殊形式.

（1）請判斷下面方程哪些是一元二次方程，哪些不是？

①3x3+2x2-x=0

②ax2+bx+c=0

③8x-5=0

④3x2-2x=0

⑤x2+3x-1=0

⑥+-2=0

（2）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項：

設計意圖 通過問題辨析一元二次方程的定義，抓住一元二次方程的本質特征，明確一元二次方程一般形式及二次項系數(shù)不為零，幫助學生理清概念的內涵和外延，有助于學生圖式的構建.

5. 課堂總結

請同學們說一說這節(jié)課你學習到哪些內容？并說一說你對本節(jié)課學習的感受.

設計意圖 通過總結和反思，強化學生對于一元二次方程的理解.

6. 作業(yè)布置

必做題：（1）課本第32頁，課堂練習1、2題

選做題：每個同學上網(wǎng)查找關于一元二次方程的歷史小趣事，找一個自己感興趣的故事閱讀，并寫一篇讀后感，一周后上交.

設計意圖 分層作業(yè)，充分滿足不同學習情況學生的需求.

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[S]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2] 鮑建生，周超. 數(shù)學學習的心理基礎與過程[M]. 上海：上海教育出版社，2009.

[3] 顏峰. 數(shù)學來了5[M]. 山東：濟南出版社，2018.

[4] 義務教育教科書. 九年級上冊[M]. ?北京：北京師范大學出版社，2017.