孫曉華 朱峰

摘要：概念的建立，不是概念術語的機械識記過程，也不是單純的直觀形象的簡單累積過程，而是基于概念本質(zhì)內(nèi)涵的意義建構(gòu)過程。以小學數(shù)學中“面積”概念教學為例，通過創(chuàng)設情境、激發(fā)需求、舉一反三，從面有多大，到面積是多少，讓學生經(jīng)歷從模糊到逐漸明晰的過程，內(nèi)化面積概念本質(zhì)。

關鍵詞：概念教學;面積;本質(zhì)內(nèi)涵;數(shù)學思考;核心素養(yǎng)

中圖分類號：G633.63 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2019）02B-0095-04

史寧中教授指出：“基于核心素養(yǎng)的教學，要求教師要抓住知識的本質(zhì)，創(chuàng)設合適的教學情境，啟發(fā)學生思考，讓學生在掌握所學知識技能的同時，感悟知識的本質(zhì)，積累思維和實踐的經(jīng)驗，形成和發(fā)展核心素養(yǎng)。”[1]基于此，在發(fā)展學生核心素養(yǎng)的素質(zhì)教育當下，進行概念教學時，概念的建立，既不是概念術語的機械識記過程，也不是單純的直觀形象的簡單累積過程，而應該是基于概念本質(zhì)內(nèi)涵的意義建構(gòu)過程[2]。下面以小學數(shù)學中的“面積”概念為例，探討如何開展指向?qū)W生發(fā)展核心素養(yǎng)的概念教學。

一、面積的本質(zhì)內(nèi)涵

關于“面積”這一概念的本質(zhì)究竟是什么？《辭?！罚ǖ诹妫├锏慕忉屖牵骸皫缀螌W的基本度量單位之一。是用以度量平面或曲面上一塊區(qū)域大小的正數(shù)。通常以邊長為單位長的正方形的面積為度量單位?！边@一解釋也并不是一個嚴格的定義，現(xiàn)代數(shù)學中的測度理論中給出了面積的一個嚴格定義[3]：

【面積】設Σ是一些封閉平面圖形組成的集合。m是定義在Σ上取值于非負數(shù)的一個映射：m（A），A∈Σ，且滿足以下條件：

1.（有限可加性）若A，B ∈ Σ，A與B不相交，那么m（A∪B）=m（A）+m（B）。

2.（運動不變性）如果圖形A ∈ Σ，經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、反射的運動成為圖形A' ∈ Σ，那么m（A）=m（A'）。

3.（正則性）邊長為1的正方形I ∈ Σ，且m（I）=1。

我們稱映射m為圖形的面積。

無論是《辭?！?，還是現(xiàn)代數(shù)學中的測度理論，都闡釋出面積的本質(zhì)是一個數(shù)，即用一個數(shù)來表達“一個區(qū)域的大小”。張奠宙教授指出，在教學參考資料以及小學數(shù)學教師培訓教材中，面積可定義為：數(shù)m是一個平面圖形A的面積，就是指能用m個單位正方形不重疊地恰好填滿A[4]。他的理解依然突出了“面積是一個數(shù)”的本質(zhì)表達。

而大多數(shù)教科書中都是說：“物體表面或封閉圖形的大小就是它們的面積?！辈]有對面積下嚴格規(guī)范的定義，常常采用的是描述性的定義。在小學數(shù)學面積的教學中，我們不妨分解出若干個子概念：區(qū)域、大小和數(shù)，逐層遞進，由模糊至清晰，揭示面積的本質(zhì)內(nèi)涵。其中，區(qū)域的大小屬于表象，即所謂的面和面的大小;而當面的大小上升到用數(shù)來表示時，那就完成了概念的高度抽象和簡潔化的數(shù)學表達。

二、面積本質(zhì)解讀的教學實踐

（一）創(chuàng)設情境，引導學生尋找方法比較面積大小

數(shù)學概念都是抽象思維的產(chǎn)物，這一特性決定了學生的概念學習一般都要以相應的感性經(jīng)驗為基礎[5]。要使學生對面積的認知直達深入，首先得充分利用實際情境，引導學生尋找比較面積大小的方法，建立“區(qū)域大小”的表象，把“面有多大”貫穿始終。

1.創(chuàng)設圈地情境，實現(xiàn)由線到面的初步轉(zhuǎn)換

面積和長度一樣，都是度量概念，而在此之前，學生腦海中的長度概念已經(jīng)根深蒂固，所以從線到面是一個概念向另一個概念的根本轉(zhuǎn)變。為此，創(chuàng)設辨析情境必不可少。

【情境】熊大和熊二在開心農(nóng)場的草莓園采草莓。按采摘規(guī)則：每人用一根同樣長的繩子，圈出一塊長方形的地，被圈中的草莓才能采摘。兄弟倆迫不及待地拿起繩子去圈草莓了。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：明明是一樣長的繩子圈的地，草莓的長勢也差不多，為什么熊二采到的草莓比熊大多很多呢？

以上情境旨在引發(fā)學生的數(shù)學思考：這兩塊地有什么相同的地方？又有什么不同之處呢？——周長相同，但形狀不同，大小也不同。學生對“大小”的捕捉，啟發(fā)教師進一步追問：你能來指指它們的大小嗎？學生自覺地用“摸”這一動作，意味著他們的視角已經(jīng)從線轉(zhuǎn)到了面，摸的是這兩塊地的面，繼而進一步用規(guī)范的方法摸一摸樹葉的面、課桌的面，冰箱上的面，屏幕的面、蘋果的面、魔方的面……不同的面的感覺自然而然在指尖流淌——數(shù)學課本的封面比我的手掌大;有的面大，有的面小;有的面是平的，有的面是彎曲的;有的面是規(guī)則的，有的面是不規(guī)則的……這些豐富的事例中均蘊含著對“面是有大有小”的感知。

2.尋找比較方法，實現(xiàn)“面有多大”的初步感悟

當學生借助摸一摸，對“面”有了“區(qū)域”的感覺，那么這塊區(qū)域的大和小的感悟用什么方式來表達呢？也就是怎樣來說明面有多大呢？憑借學生已有的認知狀態(tài)，可以分兩個層次：

（1）肢體語言的比劃。黑板的面有這么大;課本封面有這么大。直觀動作傳達了對面的大小的直覺感知，由此帶動學生邊比劃邊進一步提煉：黑板面的大小是黑板面的面積;課本封面的大小是課本封面的面積。

（2）直觀方式的比較。利用觀察法、重疊法等等，或者直接的視覺感知、或者動手操作后的觸覺帶動視覺的感知，讓學生對面積的感悟不僅僅是停留在字面的表達上，而是觸及了概念表象的根本。

圖1中的圖形①和圖形②，“雖然我們不知道它們的面積到底有多大，但通過觀察，一眼就能比出它們的大小”。圖2中的圖形③和圖形④“重疊后，大面積把小面積包含在了里面”?！按笮　薄鞍边@些詞匯，傳達出學生在不同方法的比較中，由具體實物到平面圖形，對面積的“大”和“小”形成了未經(jīng)理性分析的直覺形象。

（二）激發(fā)需求，引導學生運用單位面積比較面積大小

有效的概念教學就是抓住其本質(zhì)屬性，促進學生對概念內(nèi)涵的深刻理解，并經(jīng)過簡約化的提煉進行符號化的數(shù)學表達。面積的本質(zhì)是用一個數(shù)來表達“面的大小”，當對“面的大小”的感悟由原來的直觀感知上升到理性描述，那么面積的本質(zhì)在數(shù)學化的表達中就形成了概括性的抽象概念。這時候的教學過程，就需要一個恰當?shù)臅r機，讓學生產(chǎn)生用精準的數(shù)學化方式描述“面有多大”的需求。

第一，通過上述比較，學生積累了一定的比較面積大小的直觀經(jīng)驗。在此基礎上，呈現(xiàn)圖3中的圖形⑤、圖形⑥，繼續(xù)比一比誰的面積大誰的面積小。顯然學生會費一番周折。直接觀察？不行！重疊？也不行！在一次次嘗試中，會有學生想到剪拼。如果湊巧，像下面圖4剪拼圖一般，剪拼三四次，可以比出大小了;而若不湊巧，也許剪拼七八次都比不出。這時，學生會產(chǎn)生強烈的感覺——太麻煩了！顯然這是尋找新的比較方法的第一層需求。

第二，學生急需要一根突破固有模式的拐杖。生活中人們的做法——用拃來測量和比較兩根繩子的長短、用碗來測量和比較兩袋大米的輕重啟發(fā)了學生：既然用一個確定的小長度量出大長度是多少可以比出長短，用一個確定的小質(zhì)量去量出大質(zhì)量是多少從而可比出輕重，那么現(xiàn)在能不能也通過確定一個小面積有多大繼而量出大面積里包含了多少個小面積呢？學生由此產(chǎn)生了新的需求，去尋找一個小面積。

第三，學生用圓形、三角形、正方形等紙片如圖5般去嘗試，發(fā)現(xiàn)小正方形正好不重疊地填滿長方形。最終他們達成共識：用小正方形來測量大長方形的面積，左邊的長方形有16個小正方形那么大，右邊的長方形有15個小正方形那么大。突破層層認知沖突，學生撥云見日——用小面積量出大面積是多少，從而比出了面積的大小。面積大小的直觀感知被抽象到“多少”個小正方形的精準化描述，即一個區(qū)域的大小有多少個面積單位。

第四，在對面積的概念完成初步抽象的基礎上，進一步用確定大小的小正方形去測量不同圖形的面積：如果設定單位大小的小正方形面積為“1”，那么不同圖形的面積可以用誰來表示呢？這時候，學生把圖形放入每格面積為“1”的方格圖中，借助平移、旋轉(zhuǎn)等運動，數(shù)一數(shù)得到了一個個確定的數(shù)，這時，面積的運動不變性和有限可加性被體現(xiàn)出來，面積是一個數(shù)的內(nèi)涵得到豐厚，同時面積的本質(zhì)得以高度抽象和概括，即完成了用“數(shù)”來描述“形”。

（三）舉一反三，引導學生靈活解決比較面積大小問題，結(jié)面積本質(zhì)之果

數(shù)學概念形成的發(fā)展過程是一個數(shù)學化的精加工過程，即對豐富的材料進行細致的觀察，借助分析、綜合、比較、抽象等思維活動，抽象出共同的、本質(zhì)的數(shù)學屬性[6]。此外，還需要在合乎邏輯法則的條件下操作運用抽象的數(shù)學知識與數(shù)學方法（包括數(shù)學符號及語言的運用）去處理數(shù)學問題，并進一步去發(fā)展數(shù)學理論知識[7]，從而形成完整的認知結(jié)構(gòu)，拓展外延的同時進一步深化概念內(nèi)涵，發(fā)展核心素養(yǎng)。所以，當面積的大小用最簡約的數(shù)來概括時，我們還應該把視角指向更遠的深處，舉一反三，引導學生靈活解決比較面積大小的問題，結(jié)概念本質(zhì)之果。

問題1：是不是所有圖形的面積都能用一個數(shù)來表示呢？

圍繞這個問題展開如下研究性學習：

師（出示圖6①）：如果這樣的小正方形的面積表示1，那么大長方形的面積是多少？

生：有不滿一格的，不能確定。

師：對啊，有不滿一格的怎么辦？

生1：看看能不能湊成一格。

生2：可以選擇小一點的正方形去測。

師（出示圖6②）：如果這個小一點的正方形的面積表示1，那么現(xiàn)在你能數(shù)出長方形的面積是多大了嗎？

生：20。

師（出示圖6③）：如果用這樣的小正方形還是不能鋪滿怎么辦？

生：選擇更小的小正方形來測量。

師（出示圖6④）：如果這么小的正方形的面積表示1，那么現(xiàn)在這個長方形的面積是多少？

生：72。

（依次往下到圖6⑤、圖6⑥……）

師：按這樣的規(guī)律繼續(xù)往下分，請同學們想一想：可以得到多少個小正方形？

小正方形會越來越接近什么？如果它是一個數(shù)，會越來越接近幾？

生：小正方形越來越接近一個點，如果它是一個數(shù)，會越來越接近0。

在以上過程中，學生的思維向深處漫溯。首先，面積的本質(zhì)特性得以充分凸顯（尤其是正則性）。其次，學生借助一組圖形發(fā)現(xiàn)，單位正方形可動態(tài)變化，任何一個單位正方形，通過細分可得到無限個更小的正方形，為后續(xù)學習長方形的面積公式m=ab，當a，b不是整數(shù)時，要用邊長是0.1，0.01……的單位正方形去填的思維啟迪埋下伏筆。再次，滲透極限思想。

問題2：生活中不規(guī)則的土地，可以怎樣來比較它們的面積呢？

為了深化面積的本質(zhì)內(nèi)涵，并進一步加深對面積特性的理解，可以創(chuàng)設如下情境：

吉吉和毛毛來到了開心農(nóng)場，它們找到了三片桃園（如右圖）。采桃子的規(guī)則是：第一個人可以任選一片桃園，第二個拿剩下的兩片桃園。吉吉說：“我是國王，我先選，我選那片最大的桃園。”毛毛說：“那好吧。”于是，剩下的兩片桃園就歸毛毛了。

師：你們覺得吉吉挑這片桃園占便宜了嗎？你有什么方法驗證？

生1：可以把這三片桃園疊在一起比一比。

（學生利用白板軟件把兩片小桃園拼接在一起，再和最大的那片桃園重疊在一起比）

生2：也可以用小正方形去填。

師：如果用小正方形填了還是比不出怎么辦？

生：那就用更小的小正方形去填。

師：同學們的這種想法能不能解決問題呢？大家可以課后去思考。

從“面積有多大”到“面積是多少”，從運動不變性、有限可加性再到正則性，舉一反三，理解與運用、聯(lián)結(jié)與比較，從不同的視角思考并解決問題，面積的本質(zhì)內(nèi)涵和特性在學生思維的不斷碰撞中得以內(nèi)化，進而也將發(fā)展學生的核心素養(yǎng)落到實處。

參考文獻：

[1]史寧中.推進基于學科核心素養(yǎng)的教學改革[J].中小學管理， 2016（2）：19-21.

[2]朱德江.“學”與“導”應著力于學習的關鍵點——“認識面積”教學實踐與思考[J].小學數(shù)學教師， 2016（3）：20-24.

[3][4]張奠宙.深入淺出，平易近人——怎樣測量長度、面積和體積[J].小學教學（數(shù)學版）， 2014（9）：4-6.

[5]錢坤南.經(jīng)歷體驗過程? 促進概念理解——以蘇教版《認識面積》為例[J].江蘇教育研究， 2014（12B）：52-54.

[6]孫曉華，朱峰.深入簡出，實現(xiàn)概念精加工[J].江蘇教育研究， 2013（11B）：41-43.

[7]王名揚，徐瀝泉，徐利治.論一種緣自認知心理學及教育學研究的數(shù)學認知過程[J].數(shù)學教育學報， 2013（1）：33-36.

責任編輯：朱忠明