姚少輝

[摘? 要] 數(shù)學是用概念思維的，因而高中數(shù)學概念的教學，應(yīng)當把學生思維能力的發(fā)展置于教學過程的核心地位，竭力做到為思維而教;奧蘇貝爾“先行組織者”策略，旨在構(gòu)造恰到好處的“組織者”，充分釋放“組織者”的領(lǐng)導(dǎo)力，為思維學習搭臺建橋、溝通聯(lián)系，啟發(fā)學生思維，增強思維的自覺性、合理性和深效性，并在思維中體驗數(shù)學家創(chuàng)造概念的心路歷程，領(lǐng)悟概念背后的思想真諦，學會用概念思維.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學;概念教學;思維教學;“先行組織者”策略

恩格斯說：“在一定意義上，科學的內(nèi)容就是概念的體系.”“數(shù)學概念是形成數(shù)學思想方法的出發(fā)點.”高中數(shù)學概念教學本質(zhì)上是一種思維教學的過程，?所以“為思維而教”是提升高中數(shù)學概念教學質(zhì)效的核心問題. 從教學行為理論的觀點來看，教學應(yīng)當集中關(guān)注學生的進步或發(fā)展，“學生有無進步或發(fā)展是教學有沒有效益的唯一指標”，而高中數(shù)學概念的教學應(yīng)當本著“造就思維，改善思維，提升思維”的宗旨，竭力為學生學習概念搭建“組織者”，用適度輕松、靈活的方式發(fā)動學生思維的引擎，讓學生通過深思熟慮透視概念的本質(zhì)內(nèi)涵，并體驗概念所蘊含的思維規(guī)律. 本文著重就以下幾點闡述奧蘇貝爾“先行組織者”的使用策略，及其對推動思維學習活動的意義.

找準支撐點，撬動自覺思維

“為思維而教”的基本任務(wù)是撬動自覺思維. 數(shù)學是思維的體操，數(shù)學教學須著力于啟迪學生的思維、發(fā)展學生的智力. 高中階段的數(shù)學內(nèi)容是近代數(shù)學基礎(chǔ)理論中的精華，其中涉及的基本概念幾乎涵蓋了數(shù)學的所有思維哲學和思想方法，找準支撐點，設(shè)計好數(shù)學概念教學的“組織者”，有助于撬動思維自覺進行.

奧蘇貝爾“先行組織者”策略認為，學習新知識時，由于新舊知識間的差別有可能被兩者的相似性所掩蓋，導(dǎo)致對內(nèi)涵的理解混淆，教學可運用“比較性組織者”，幫助學生先分清新舊知識間的異同，以增強新舊知識間的可辨別性，從而將概括性觀念滲入到學生的認知結(jié)構(gòu)中，完成對新舊知識的同化.

下面以高中“函數(shù)的概念”為例分析“先行組織者”的對策及意義. 初、高中關(guān)于函數(shù)概念的表述不盡相同，初中只強調(diào)變量之間的依賴關(guān)系，這與高中的“對應(yīng)關(guān)系”的描述是有差別的. 教學時，在簡單回顧初中的函數(shù)概念后，提出問題“y=2是一個函數(shù)嗎”充當“先行組織者”，是比較容易引起學生的辨析性思考的. 事實上，多數(shù)學生會給出否定的回答（或不置可否）. 這時，教師應(yīng)果斷提出問題“如果y=2是函數(shù)，應(yīng)當怎樣理解該函數(shù)所反映的變量之間的關(guān)系呢？”這又是一個有較強“比較性”的問題，能夠激發(fā)學生自覺進行反思性思維，有助于學生得出“不管自變量x取什么值，函數(shù)值y都為2”的結(jié)論，經(jīng)過思考分析，至少可以把兩個觀念固定下來，一個就是“依賴關(guān)系是屬于一般‘對應(yīng)關(guān)系中的一種（派生）”;另一個就是“自變量應(yīng)當有一個可取值范圍（非空的數(shù)集），也就是‘對應(yīng)應(yīng)當發(fā)生于兩個非空數(shù)集之間”. 基于這樣的觀念，學生就比較容易理解函數(shù)概念的更具抽象化的定義：函數(shù)是兩個非空數(shù)集之間的單值對應(yīng).

在這個教學過程中，學生并沒有多少探究活動，更多是基于“組織者”和“已認知的函數(shù)”之間的辨析與思考，這恰好是有意義學習的必備條件，和所能達到的最佳效果，這樣的“組織者”確實起到撬動自覺思維的作用，是一個好的支點.

選好切入點，促成合理思維

“為思維而教”的關(guān)鍵環(huán)節(jié)在于如何促成合理思維. 奧蘇貝爾曾說過這樣的話：“如果不得不把教育心理學的全部內(nèi)容簡約成一條原理的話，我會說，影響學習的最重要的因素是學生已知的內(nèi)容，弄清這一點之后，再進行相應(yīng)的教學. ”這就是說教學所使用的“組織者”，可能是學生認知結(jié)構(gòu)中概括水平較低的知識經(jīng)驗，教師要從這種耳熟能詳?shù)摹敖M織者”著手，凝練出“問題實質(zhì)”，作為引領(lǐng)思維的切入點，去促成學生對新知識的合理思考與概括學習.

下面就以“函數(shù)的單調(diào)性”的教學為例，談?wù)劇敖M織者”策略是怎么促成學生“合理思維”的. “函數(shù)值隨著自變量的增加而增加（或減?。?，是學生對單調(diào)性的認知經(jīng)驗，而且，諸如一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等函數(shù)，學生通過它們的圖像，基本能了解單調(diào)性的特征，但在此基礎(chǔ)上要過渡到用數(shù)學符號語言來描述函數(shù)的單調(diào)性，這對教與學來說都是一個難點. 研究者注意到學生知識經(jīng)驗中有“當k>0時，直線y=kx+b呈遞增變化;當k<0時，直線y=kx+b呈遞減變化”的經(jīng)驗，理論上這一點恰好是“函數(shù)的單調(diào)性”的“種屬屬性”，基此就可提出問題“能否用類似直線f（x）=kx+b中的k的符號來描述單調(diào)性的定義”來充當概念學習的“解析性組織者”，緊接著的問題“如果用直線上的兩個相異點來表示k，會有什么規(guī)律”就是為學生研究單調(diào)性的定義（抽象表述）而進行思維發(fā)現(xiàn)選好了切入點，有了這種“組織者”的引領(lǐng)和啟發(fā)，學生就會嘗試運用“種屬”的方式來進行類的一般性概括與解釋，從而進行諸如以下的合理思維與學習建構(gòu).

由直線的單調(diào)性過渡到一般函數(shù)的單調(diào)性，一方面，學生通過思維分析，可以認識到在描述單調(diào)性定義上，直線型與非直線型函數(shù)的區(qū)別只在于其k為常數(shù)還是為變量的不同而已;另一方面，在函數(shù)的某一個完整的定義子區(qū)間內(nèi)，考察任意兩點之間的直線，總有變量k>0（或k<0）的情形是可以同化為“函數(shù)單調(diào)性的定義”的，也即“在某一個定義子區(qū)間內(nèi)，任取有大小關(guān)系的兩個自變量，它們所對應(yīng)的函數(shù)值也恒有大小關(guān)系，則函數(shù)在此區(qū)間上就有單調(diào)性，即單調(diào)遞增或遞減”. 通過這種思維認知的過程，學生比較容易形成辯證的或“運動”的認知觀點和方法.

挖掘生長點，助力深效思維

“為思維而教”的根本目標是助力學生達成深效思維. 奧蘇貝爾認為“有意義學習必然以有意義的知識內(nèi)容和已有的知識經(jīng)驗為基礎(chǔ)，加上學習者的學習心向，三者缺一不可”. 有意義學習的發(fā)生總是在學生的認知結(jié)構(gòu)和所學材料之間有一潛在的配合，而“先行組織者”則使這種配合成為可能. 研究者認為在高中數(shù)學概念教學中，運用恰當?shù)摹跋刃薪M織者”，有助于化解“認知沖突”，進而挖掘出思維的生長點，推動思維向縱深發(fā)展. 下面就以“對數(shù)概念”的教學為例分析“先行組織者”策略在助力學生深效思維上的運用.

恩格斯曾把“對數(shù)”列為十七世紀的三大數(shù)學發(fā)明之一，其創(chuàng)立推動了天文學和數(shù)學的長足發(fā)展，這說明“對數(shù)” 在數(shù)學中的重要地位. 忽略其發(fā)明創(chuàng)造的根源，只由實例引入定義的教學，學生對定義的理解，會停留在指數(shù)式與對數(shù)式的互化上去認識對數(shù)，“對數(shù)”定義似乎只是“指數(shù)”名稱的一種變換而已，學生未能領(lǐng)會到“對數(shù)的意義”，更談不上領(lǐng)悟概念背后的思想，這就是一種“認知沖突”.

為了克服這種沖突，就必須把學生對概念的學習，轉(zhuǎn)變?yōu)樵偎伎?、再發(fā)現(xiàn)的過程. 教學時，可通過多種方式讓學生先簡單了解“對數(shù)的發(fā)明史”. 當然，如果事先能提出問題：“分析納皮爾發(fā)明對數(shù)運算的歷史緣由，你能簡述對數(shù)運算是一個怎樣的思想過程嗎？”讓學生透過史料，思索“對數(shù)”的思維本質(zhì)，意義會更大些.

接著用問題“追溯納皮爾的初衷，他是怎樣來簡化兩個復(fù)雜數(shù)字（天文數(shù)字）的乘積的”作為“先行組織者”，筆者認為這應(yīng)當是個思維生長點，真正的思維教學就是從這里開始的，因為這能引導(dǎo)學生把思考“所得”與已有知識經(jīng)驗“正數(shù)的任何次冪是正數(shù)”對接起來，悟出“發(fā)明對數(shù)”的思想本原——任何正數(shù)都可以轉(zhuǎn)換為同一個正的底數(shù)（必須不為1）的指數(shù)冪，基于這個性質(zhì)，在減少大量重復(fù)運算的情況下（算法思想），就可以把數(shù)的乘法都轉(zhuǎn)化為某一個底數(shù)的冪的運算來進行，那么，就可以通過“人工計算”的方式造出“積數(shù)”的對照表（預(yù)制數(shù)表），對照數(shù)表查出你所要運算的“積數(shù)”，這些就是發(fā)明對數(shù)的“思想與初衷”. 當然，查表只解決了計算上的困難，還沒有上升到概念定義. “納皮爾在實踐中覺察到查表之缺：表再大，也難以表示精確值;或者，理論上存在的對數(shù)，表中是查不到的”，如果把這個作為“組織者”，就能夠把學生的思維引向更深，加上老師及時地啟發(fā)，學生是不難發(fā)現(xiàn)諸如“表中，以10為底數(shù)，冪為105的那個‘對數(shù)不是精確值;正數(shù)π的‘對數(shù)是查不到的”的例子. 如果這些“觸點”使納皮爾萌發(fā)了“造新數(shù)——對數(shù)符號logaN”的想法，那么，這不正是學生通過深效思維“理解”對數(shù)概念的又一個生長點嗎！經(jīng)過這樣深刻而有效地思維學習過程，學生完全能完成對“對數(shù)概念”的理解與固化：其一，“l(fā)ogaN”不單純是一個符號，它也是一個確定的數(shù)，它滿足：正數(shù)a的logaN次方的結(jié)果為N，也就是說，如果ax=N（a>0，a≠1），則可以得到x=logaN;其二，“l(fā)ogaN”也是一種運算，即求以a為底數(shù)時正數(shù)N的對數(shù)，這個“對數(shù)結(jié)果”也是底數(shù)為a、冪的結(jié)果為N的冪的指數(shù). 這就是“先行組織者”策略所領(lǐng)導(dǎo)出來的最深效的思維結(jié)果.

數(shù)學的思維過程如果用語言文字來表達的話，顯得啰唆且冗長，甚至難以精確其意. 但究其實際，卻是環(huán)環(huán)相扣、結(jié)構(gòu)嚴謹、精妙絕倫. 有人說，真正的數(shù)學思維過程是一個發(fā)現(xiàn)美、創(chuàng)造美和享受美的過程. 試想，學數(shù)學不用思考、無須思維，那么數(shù)學還能給人留下什么？數(shù)學教學應(yīng)當在潛移默化中影響著學生的思維，造就著學生的思維，讓學生在思維的考驗中領(lǐng)略數(shù)學知識背后的思想與本質(zhì). 奧蘇貝爾“先行組織者”的對策理念，在于通過創(chuàng)造具有領(lǐng)導(dǎo)力的組織者，來發(fā)動思維認知指向更深刻、更豐富的知識內(nèi)涵與本質(zhì)，最終達成有意義的學習和建構(gòu).