鄭潔

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，且不斷遞進延伸、循環(huán)往復(fù)，呈現(xiàn)出螺旋上升的趨勢。概念都有內(nèi)涵和外延，二者不可分割、相互依存：概念的內(nèi)涵是對象的本質(zhì)屬性，是概念“質(zhì)”的反映;外延則是對象的全體，是概念“量”的反映。在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生理解概念的本質(zhì)更難操作，也更容易被忽視。一線教師在概念教學(xué)中往往是先“給出”結(jié)論，再進行鞏固練習(xí)，最后布置作業(yè)讓學(xué)生回去背概念——這種重結(jié)論、輕過程的教法繞過了學(xué)生對概念的理解與運用過程，其弊端通常不會馬上顯現(xiàn)，只有當同類或相似概念逐漸增多，需要學(xué)生辨析運用或結(jié)合實際問題靈活運用時，才會結(jié)結(jié)實實地擾亂學(xué)生的思維，使之出現(xiàn)概念混淆和各種思維定勢等問題。細究起來，這種教學(xué)方式的弊端主要體現(xiàn)為以下三個方面：其一，忽視了對前后概念之間知識的鏈接;其二，沒有關(guān)注到學(xué)生已有的知識經(jīng)驗以及對概念理解的差異性;其三，缺乏有效的策略引導(dǎo)學(xué)生揭示概念的本質(zhì)，或根本沒有意識到揭示概念本質(zhì)的重要性。為了克服以上教學(xué)弊端，課題組在實踐研究的基礎(chǔ)上，依據(jù)精彩學(xué)堂的4J3D教學(xué)策略，構(gòu)建了“遷移拓展已有認知—聚焦概念本質(zhì)特征—歸納建構(gòu)完整概念”的概念教學(xué)模式，利用學(xué)生對概念的差異性理解，組織學(xué)生實施以揭示概念本質(zhì)特征為載體的數(shù)學(xué)探究活動，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷對概念內(nèi)涵與外延自主建構(gòu)的完整過程，發(fā)展學(xué)生的觀察、操作、分析比較、推理、抽象概括和語言表達（含自身語言和數(shù)學(xué)語言）等學(xué)科能力。下面筆者以人教版數(shù)學(xué)五年級下冊《分數(shù)的意義》為例，談?wù)劸蕦W(xué)堂理念下概念教學(xué)的實施策略。

一、通過精讀教材、精研學(xué)情，準確把握學(xué)生對相關(guān)概念的認知和經(jīng)驗基礎(chǔ)，明確基本教學(xué)思路

概念課的學(xué)習(xí)要以學(xué)生已有的知識、經(jīng)驗為基礎(chǔ)，通過組織相關(guān)學(xué)習(xí)活動促進學(xué)生深度感知和正確理解，進而準確把握概念的內(nèi)涵和外延?！斗謹?shù)的意義》是數(shù)概念課中一個非常重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，是學(xué)生學(xué)習(xí)分數(shù)四則運算和解決分數(shù)實際問題的重要基礎(chǔ)，包含了分數(shù)的意義、單位“1”、分數(shù)單位等多個抽象概念，因此也是概念教學(xué)中一個公認的難點。然而，五年級的學(xué)生對于分數(shù)的認識是有一定知識基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗的：早在三年級時，學(xué)生已經(jīng)通過對分數(shù)的初步認識，知道了分數(shù)各部分的名稱，會讀、會寫簡單的分數(shù)，會比較分子是1的分數(shù)的大小，會進行簡單的分數(shù)加法、減法（同分母加減）。本課學(xué)習(xí)，重點是引導(dǎo)學(xué)生在已有知識、經(jīng)驗基礎(chǔ)上，對分數(shù)的認識由感性上升到理性，理解和概括分數(shù)的意義。教材通過提供直觀材料“告知”學(xué)生：不論是一個物體還是一些物體，都可以表示出它們的四分之一，于是概括出分數(shù)的意義。課題組基于多年課堂教學(xué)經(jīng)驗清醒地認識到，直接使用教材中的學(xué)習(xí)材料或由老師提供別的什么材料來“告知”學(xué)生概念的意義，既不利于激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的興趣、暴露學(xué)生的認知差異，也不利于教師面向全體學(xué)生因材施教。

精彩學(xué)堂的精研學(xué)情策略，通過對學(xué)生進行課前學(xué)情調(diào)研，可以準確了解學(xué)生學(xué)習(xí)的現(xiàn)實起點，便于教師分析學(xué)生現(xiàn)實起點與教材邏輯起點的差距，預(yù)測學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的思維路徑、學(xué)習(xí)困難和個體差異，因?qū)W設(shè)教，提高課堂教學(xué)設(shè)計的針對性，同時為課堂教學(xué)的差異互動提供豐富的學(xué)習(xí)資源。本課的課前學(xué)情調(diào)研采用的是前測練習(xí)（如圖1）的方式，運用4道練習(xí)題，分成兩個板塊考察學(xué)生對分數(shù)意義的知識與經(jīng)驗基礎(chǔ)：練習(xí)1和練習(xí)2作為第一板塊，重點考察學(xué)生對三年級分數(shù)知識的理解、掌握及語言表征情況;練習(xí)3和練習(xí)4作為第二板塊，重點考察學(xué)生對本課新知“一些物體的幾分之一或幾分之幾”的感知情況。

通過分析學(xué)生的練習(xí)完成情況，筆者發(fā)現(xiàn)了兩個問題。問題一，學(xué)生對于舊知中的分數(shù)意義表象清晰但表述困難。如練習(xí)1，全部學(xué)生都能根據(jù)直觀圖形寫出對應(yīng)的分數(shù)，說明學(xué)生對相關(guān)分數(shù)知識已經(jīng)有了較為清晰的直觀認識;而當要求用語言表征特定分數(shù)的意義時（如練習(xí)2），學(xué)生的答案中便暴露出了各種語言不規(guī)范現(xiàn)象，諸如“6份中的5份”“把長方形分成6份取走5份”等。問題二：對于新知中的分數(shù)意義認同但并不真正理解。如練習(xí)3，絕大多數(shù)學(xué)生能夠作出正確判斷，說明學(xué)生雖然還沒有系統(tǒng)地學(xué)習(xí)關(guān)于“一些物體的幾分之幾”的知識，但卻有一定生活經(jīng)驗，能根據(jù)圖示直觀判斷這類情況，也可以用分數(shù)表示。然而，練習(xí)4的答案，絕大多數(shù)學(xué)生畫出的是“一個”物體的四分之一，僅有兩名學(xué)生分別畫出了4個物體和8個物體的四分之一。這說明，絕大多數(shù)學(xué)生對于把一些物體“平均分”表示它的幾分之幾雖有經(jīng)驗，但這種經(jīng)驗只是停留在形象感知層面，并未真正形成“一個整體”觀念，所以當自主進行圖形表征時，仍然選擇了用“一個”物體進行表征。也就是說，絕大多數(shù)學(xué)生的相關(guān)經(jīng)驗是模糊且無意識的，他們認同卻并不真正理解。當然也有少數(shù)例外（兩個），而且這兩個例外可以成為課堂上生生互動的重要課程資源。

問題一給筆者的啟示是，要實現(xiàn)對分數(shù)意義的概念理解，必須采用多種手段幫助學(xué)生由圖形表征過渡到語言表征;問題二給筆者的啟示是，必須通過組織有效的學(xué)習(xí)活動去“喚醒”學(xué)生“認同卻并不真正理解”的隱性認知，幫助學(xué)生打通新舊知識間的聯(lián)系，推動學(xué)生在比較分析的基礎(chǔ)上明晰、固化有價值的經(jīng)驗，進而實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)由模糊經(jīng)驗向科學(xué)認知的過渡和提升。

通過精讀教材、精研學(xué)情，筆者明晰了《分數(shù)的意義》教學(xué)中的問題及問題解決策略，于是遵循概念教學(xué)基本模式，結(jié)合精彩學(xué)堂的主體性、發(fā)展性、差異性等六個教學(xué)原則，確定了《分數(shù)的意義》課堂教學(xué)整體思路（如圖2），決定通過組織相關(guān)數(shù)學(xué)活動獲取差異化學(xué)習(xí)資源，構(gòu)建“以生為本、以學(xué)為中心、以發(fā)展為要”的精彩課堂，引導(dǎo)學(xué)生逐層遞進，先后經(jīng)歷從活動中具體感知、抽象概念本質(zhì)、用語言或符號表征概念的全過程，從中發(fā)展深度學(xué)習(xí)能力。

二、通過突顯學(xué)生活動獲取差異性學(xué)習(xí)資源，以認知差異促概念建構(gòu)，構(gòu)建“以生為本、以學(xué)為中心、以發(fā)展為要”的精彩學(xué)堂

課前學(xué)情調(diào)研的相關(guān)資源，不僅可以用于課堂教學(xué)思路的確定，而且可以用于課堂教學(xué)本身，實現(xiàn)資源的多次利用。

（一）初次表征，利用差異性學(xué)習(xí)資源擴大學(xué)生的感性經(jīng)驗，實現(xiàn)學(xué)生對概念外延的認知拓展

列昂杰耶夫說過：“數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)之一，就是要將學(xué)生不太了解的事實用生動的、色彩鮮明的形象給予他們，在這方面擴大他們的感性經(jīng)驗?！被谡n前學(xué)情調(diào)研的兩個例外，筆者在開課伊始組織了一個開放性的師生互動活動，從學(xué)生第一次自主表征[14]的畫圖作品中采集了5個樣本資源（如圖3），再次喚醒學(xué)生已有的知識、經(jīng)驗，暴露學(xué)生的認知差異，促進學(xué)生知識遷移。

師：（指圖①、圖②、圖③）有同學(xué)這樣表示[14]，可以嗎？（生點頭表示認可）沒錯，三年級時我們就知道，把一個圓、一個正方形、一條線段等等，像這樣的“一個物體”平均分成四份，其中的一份就是它的四分之一。（板書“一個物體平均分成四份，這樣的一份就是它的[14]”）

師：（指圖④、圖⑤）這些作品中，涂色部分也能用[14]來表示嗎？

生：能。

師：既然能用[14]來表示，就一定有它的道理。請你把它們和前面的[14]比較一下，說一說它們?yōu)槭裁匆材苡肹14]來表示。

生1：因為前面那個蘋果是四份中的一份，前面兩個三角形也是四份中的一份。

生2：因為它們都是被平均分成了4份，取了其中的1份，就是[14]。

師：看來，是不是四分之一，與要平均分的物體數(shù)量沒有關(guān)系，可以像前面那樣是一個物體，也可以像后面這樣是四個物體、八個物體，乃至“一些物體”。感謝兩位同學(xué)給我們帶來的新鮮視角?。ò鍟阂恍┪矬w）

筆者充分利用學(xué)生中的差異性資源，從新舊知識的鏈接點出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生將“一個物體的四分之一”和“四（八）個物體的四分之一”進行對比、交流，將學(xué)生的感性經(jīng)驗聚焦到把握概念外延的關(guān)節(jié)點，實現(xiàn)了從一個物體的四分之一到四（八）個物體、一些物體的四分之一的經(jīng)驗加工，使學(xué)生對四分之一的認知得以拓展，視野更加開闊，思維更加靈活。

（二）再次表征，建立“一個整體”觀念，建構(gòu)四分之一的意義

抽象概念的本質(zhì)對于小學(xué)生的概念學(xué)習(xí)來說一直是個難點。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》倡導(dǎo)“課程內(nèi)容的組織要重視過程，處理好過程與結(jié)果的關(guān)系;要重視直觀，處理好直觀與抽象的關(guān)系;要重視直接經(jīng)驗，處理好直接經(jīng)驗與間接經(jīng)驗的關(guān)系。課程內(nèi)容的呈現(xiàn)應(yīng)注意層次性和多樣性。”在本課中，筆者堅持“以學(xué)為中心”，在學(xué)生第一次自主表征之后，依然沒有直接給出分數(shù)意義的結(jié)論，而是緊接著組織了第二次圖形表征活動。

師：同學(xué)們，你們還能把更多數(shù)量的物體平均分，表示出它們的[14]嗎？（生自主畫圖表征，師從中選取學(xué)生作品投影，如圖4，并請學(xué)生介紹自己的作品）

生1：我把16顆五角星平均分成了4份，取其中1份，就是它的四分之一。

師：大家發(fā)現(xiàn)了嗎？這名同學(xué)是把16顆五角星看作一個整體，把“它”進行平均分，表示出“它”的四分之一。既然是一個整體，我們就可以把“它”圈起來（指導(dǎo)學(xué)生把16顆五角星圈起來，再投影）。瞧，這樣是不是更像一個整體了？

生2：我把20個蘋果平均分成4份……

生3：我把16個三角形平均分成了4份……

生4：我把12個“2”平均分成4份……

師引導(dǎo)全體學(xué)生分別觀察在投影中出現(xiàn)的多個物體平均分的作品，讓學(xué)生進一步思考：同樣表示的是[14]，為什么之前是一個圖形的一部分，現(xiàn)在有的是4顆星、有的是5個蘋果呢？

生5：因為他們平均分的物體的總數(shù)不一樣，有的是平均分1個物體，有的是平均分16個物體，有的是平均分20個物體。

師：沒錯，物體的總數(shù)可以不一樣！那么，它們又有什么相同的地方呢？

生6：都是平均分成了4份，取了其中的1份。

師：說的太好了，你抓住了四分之一的本質(zhì)！看來，不論是一個物體還是一些物體，只要把它們看作“一個整體”，再把這個整體平均分成四份，這樣的1份就是它的四分之一。（板書：一個整體）那么，現(xiàn)在你能完整地說一說四分之一的意義了嗎？請小組交流后匯報展示。

以上教學(xué)環(huán)節(jié)，筆者再次借助學(xué)生圖形表征的差異性資源，引導(dǎo)學(xué)生辨析“一個物體”與“更多物體”的異同，抽象出“一個整體”觀念即概念本質(zhì);緊接著讓學(xué)生通過小組交流、思維碰撞，嘗試用語言表征四分之一的意義，逐步完善自己的數(shù)學(xué)思維和語言表征，更為準確地理解四分之一的數(shù)學(xué)概念，初步感知分數(shù)的意義。

（三）延伸表象，推理概括，建構(gòu)概念的準確認知

要發(fā)展學(xué)生的抽象概括能力，就必須引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、思考、比較、推理，進一步歸納出對象的本質(zhì)特征。而歸納的前提，就是必須具備多個同類對象。當學(xué)生已經(jīng)明晰了四分之一的意義之后，筆者又設(shè)計了幾個問題，引導(dǎo)學(xué)生思考[15]的意義、[1a]的意義、[23]的意義、[ba]的意義……最終聚焦到分數(shù)的意義：現(xiàn)在，你能用自己的話說說什么是分數(shù)嗎？筆者通過連續(xù)追問，引導(dǎo)學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)各個特定分數(shù)的本質(zhì)特征，并通過推理概括，發(fā)現(xiàn)這些分數(shù)的共同本質(zhì)特征，進而建構(gòu)分數(shù)的意義。在這個學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生的思維經(jīng)歷了由具體到抽象、由個別到一般的推理概括過程，從中感悟到抽象、歸納的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)推理能力，體現(xiàn)了概念學(xué)習(xí)中思維的螺旋上升過程。

（責編 白聰敏）