吳小敏

摘要：結(jié)合平時(shí)的教學(xué)，介紹數(shù)學(xué)思想方法在具體題型中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想方法、教學(xué)、應(yīng)用

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要注重基本的概念、公式、定理等的教學(xué)，知識(shí)與技能水平，還應(yīng)重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透，以達(dá)到有效培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，提高學(xué)生綜合數(shù)學(xué)素質(zhì)的目的。“所謂數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過(guò)程中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)。數(shù)學(xué)思想方法是處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的指導(dǎo)思想和基本策略，是數(shù)學(xué)的靈魂。”

下面結(jié)合平時(shí)的教學(xué)，介紹數(shù)形結(jié)合、方程與函數(shù)、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化四種重要的數(shù)學(xué)思想方法在具體題型中的應(yīng)用。

一、數(shù)形結(jié)合思想.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想主要體現(xiàn)在兩方面：一是以形助數(shù)，即用幾何圖形的直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)

系;二是以數(shù)助形，用數(shù)之間的聯(lián)系來(lái)闡明幾何圖形的某些屬性，從而巧妙快速的解決問(wèn)題。

例1： X2+9=A，求得最小值是多少？

分析：由X2+9=X2=32，PQ2=OP2-OQ2，（12-x）2+36=（12-x）2+62的形式，聯(lián)想到兩點(diǎn)間的距離公式。由x2+9=A，（12-x）2+36=B（12-x）2+36=B是勾股定理形式，聯(lián)想到構(gòu)造直角三角形，并利用線段最短等數(shù)學(xué)知識(shí)解題。

二、方程與函數(shù)思想。在初中數(shù)學(xué)中，把一系列字母或待求的量通過(guò)列等式方程，從而使問(wèn)題獲得解決的思想方法稱為方程思想。而函數(shù)思想是在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中把各個(gè)量之間的聯(lián)系用函數(shù)關(guān)系表示出來(lái)。

例2：如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，AB=12，四邊形EFPQ是矩形，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，點(diǎn)Q、E、F分別在BC、AB、AC上（點(diǎn)E與點(diǎn)A、點(diǎn)B均不重合）.

（1）當(dāng)AE=8時(shí)，求EF的長(zhǎng);

（2）設(shè)AE=x，矩形EFPQ的面積為y.

①求y與x的函數(shù)關(guān)系式;

②當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值，最大值是多少？

【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵AB=12，∠A=30°，

∵矩形，∴EF∥BC，

（2）①∵AB=12，AE=x，點(diǎn)E與點(diǎn)A、點(diǎn)B均不重合，∴0

∵矩形，∴EF∥BC，∠CFE=90°，∴∠AFE=90°，

在Rt△AFE中，∠A=30°，

三、分類討論思想。分類討論思想就是根據(jù)事物具有的共性和差異性的特點(diǎn)，進(jìn)行分別歸類。

例3：如圖，在銳角△ABC中，BC=12，△ABC的面積為48，D、E分別是邊AB、AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（D不與A、B重合），且保持DE∥BC，以DE為邊，在點(diǎn)A的異側(cè)作正方形DEFG.設(shè)DE=x，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為y，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，寫出x的取值范圍，并求出y的最大值.

分析：根據(jù)點(diǎn)的變化，找出臨界狀態(tài)，進(jìn)行分類。

解： 分兩種情況：

①如圖，當(dāng)正方形DEFG在△ABC的內(nèi)部時(shí)，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為正方形DEFG的面積.

∵DE=x，

∴y=x2，此時(shí)x的范圍是0

②如圖3，當(dāng)正方形DEFG的一部分在△ABC的外部時(shí)，設(shè)DG與BC交于點(diǎn)Q，EF與BC交于點(diǎn)T，△ABC的高AM交DE于N，

∵DE=x，DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC

∴4.8

∴△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為

當(dāng)0

當(dāng)4.8

∴當(dāng)X=6時(shí)，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值為24。

∵24>23.04，∴重疊部分的面積的最大值為24.

四、化歸與轉(zhuǎn)化思想。所謂化歸與轉(zhuǎn)化思想是指通過(guò)數(shù)學(xué)問(wèn)題內(nèi)部的聯(lián)系，在轉(zhuǎn)化中將問(wèn)題歸結(jié)到熟悉的知識(shí)上，從而使問(wèn)題獲得解決的方法。這是使問(wèn)題簡(jiǎn)化的思想方法。充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的特質(zhì)：追求簡(jiǎn)單化！

例4：⊙O是以原點(diǎn)為圓心，√2為半徑的圓，點(diǎn)P是直線y=-x+6上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ，Q為切點(diǎn)，求切線長(zhǎng)PQ的最小值。

分析：因?yàn)?，OQ2=OP2-OQ2，OQ是半徑，是個(gè)定值，所以，求PQ的最值，就是求OP得最值。所以問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化。接著再利用垂線段最短，求出OP的最小值。

教學(xué)中只有通過(guò)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，并在這種思想的支配下進(jìn)行解題分析，才能將知識(shí)運(yùn)用得得心應(yīng)手，這種融入數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)才會(huì)收到事半功倍的成效。

參考文獻(xiàn)：

《怎樣解題.數(shù)學(xué)思維的新方法》 美 波利亞2011.11

《幾何原本》古希臘 歐幾里得2011.3