敬奇榮

【摘要】 在高考改革的大背景之下，高考數(shù)學(xué)命題的創(chuàng)新性，是推動高中數(shù)學(xué)教學(xué)改革的重要基礎(chǔ).本文立足對高考不等式試題的分析，從不等式的工具應(yīng)用、不等式知識的綜合考查等方面，分析了高考試題中不等式的特點(diǎn)及解題技巧.

【關(guān)鍵詞】 高中數(shù)學(xué);不等式;應(yīng)用

本文立足2016年、2017年全國數(shù)學(xué)高考試題，具體談?wù)劯呖荚囶}中不等式.

一、以知識內(nèi)在聯(lián)系為載體，考查解決數(shù)學(xué)問題的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)知識中，不等式既是知識的載體，又是解決數(shù)學(xué)問題的重要工具.高考不等式命題，注重知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，在與函數(shù)單調(diào)性、值域、解三角函數(shù)等的應(yīng)用中，更多的是運(yùn)用不等式去解決數(shù)學(xué)問題，體現(xiàn)出其工具屬性.因此，不等式的知識學(xué)習(xí)，是解決數(shù)學(xué)問題的重要手段.

（一）解決函數(shù)問題

在函數(shù)問題的解決中，經(jīng)常會用到不等式的性質(zhì)，并在函數(shù)單調(diào)性的結(jié)合之下，實(shí)現(xiàn)對函數(shù)問題的有效解決.2016全國卷Ⅰ·理8的試題解答，就需要運(yùn)用到不等式知識.

試題? 若a>b>1，0

A.ac

C.alogbc

分析與解答? 該題的解答，需要運(yùn)用到不等式的性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)對選項B，C，D進(jìn)行轉(zhuǎn)換，為函數(shù)構(gòu)建創(chuàng)造條件.選項B：abc

（二）極值問題解決

在高中數(shù)學(xué)知識中，極值問題是重點(diǎn)，將極值問題與求導(dǎo)、不等式的結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了對學(xué)生知識的綜合考查.學(xué)生需要具備良好的綜合能力，能夠巧妙運(yùn)用基本不等式、函數(shù)單調(diào)性，實(shí)現(xiàn)對極值問題的有效解決.在2017全國卷Ⅱ·21的解題中，就需要不等式與極值問題的相關(guān)知識.

試題? 已知函數(shù)f（x）=ax2-ax-xlnx，且f（x）≥0.

（1）求a;

（2）證明：f（x）存在唯一的極值點(diǎn)x0，且e-2

分析與解答? （1）略.求得a=1;對問題（2），由（1）可知，f（x）=x2-x-xlnx，則f′（x）=2x-2-lnx，令f′（x）=0，可得2x-2-lnx=0，記t（x）=2x-2-lnx，則t′（x）=2- 1 x ，令t′（x）=0，可解得x= 1 2 .因此，t（x）在區(qū)間 0， 1 2? 上單調(diào)遞減，在? 1 2 ，+∞ 上單調(diào)遞增.所以，tmin（x）=t? 1 2? =ln2-1<0，從而t（x）=0有解.存在兩個根，x0，x2.在此，不妨設(shè)f′（x）在（0，x0）上為正，在（x0，x2）上為負(fù)，在（x2，+∞）上為正.也就是說，f（x）必存在唯一極大值x0，且2x0-2-lnx0=0.由此可得：f（x0）=x20-x0-x0lnx0=x0-x20.由x0< 1 2 可知，f（x0）<（x20-x0）max=- 1 22 + 1 2 = 1 4 .再由f′? 1 e? <0可得出，x0< 1 e < 1 2 .為此，f（x）在（0，x0）上 單調(diào)遞增，在 x0， 1 e? 上單調(diào)遞減，所以f? 1 e? = 1 e2

二、以不等式的綜合應(yīng)用為基礎(chǔ)，考查學(xué)生數(shù)學(xué)能力

高考在不等式試題的構(gòu)建中，側(cè)重于學(xué)生綜合應(yīng)用能力的考查，特別是對推理論證能力、抽象概括能力等的有效考查，強(qiáng)調(diào)學(xué)生應(yīng)具備一定的數(shù)學(xué)思維.從近幾年的考題來看，數(shù)列通項的縮放、恒成立問題等的考查，都是高考不等式的重要出題方向，應(yīng)在這些方面強(qiáng)化理解與訓(xùn)練.

在數(shù)列不等式的證明中，“縮放”技巧運(yùn)用比較廣泛，能夠幫助學(xué)生事半功倍地實(shí)現(xiàn)不等式證明.縮放的巧用，在于學(xué)生能夠?qū)崿F(xiàn)對知識的綜合運(yùn)用，在發(fā)散思維的視角之下，通過科學(xué)合理的縮放技巧，達(dá)到不等式證明的目的.

試題? （四川卷·理19）已知數(shù)列{an}的首項為1，Sn+1為數(shù)列{an}的前n項和，Sn+1=qSn+1，其中q>0，n∈ N *.

（1）若2a2，a3，a2+2構(gòu)成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式;

（2）設(shè)雙曲線x2- y2 a2n =1的離心率為en，且e2= 5 3 ，證明：e1+e2+e3+…+en> 4n-3n 3n-1 .

分析與解答? 對問題（1），比較簡單，是常規(guī)的數(shù)列知識考查，可以很快計算出：an=2n-1（n∈ N *）.對問題（2），可以由（1）中的通項公式an=qn-1，可以得出該曲線的離心率為en= 1+q2（n-1） .再由e2= 5 3 可以得出，q= 4 3 .

對en= 1+q2（n-1） ，可以知道，通過直接的加和求算，顯然是無法計算出e1+e2+e3+…+en之和.如何往下推進(jìn)，朝著目標(biāo)不等式靠攏，則需要考慮運(yùn)用“縮放”技巧，對en= 1+q2（n-1） 的通項進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)變，以實(shí)現(xiàn)求和.

因為en= 1+q2（n-1） > q2（n-1） =qn-1.

很顯然，對e1+e2+e3+…+en>1+q+q2+…+qn-1縮放求和，便可以簡單實(shí)現(xiàn).e1+e2+e3+…+en>1+q+q2+…+qn-1= qn-1 q-1 .

現(xiàn)將q= 4 3 代入，便可以得出，e1+e2+e3+…+en> 4n-3n 3n-1 .

三、結(jié)束語

總而言之，不等式作為高中課程體系的重要內(nèi)容，與其他知識的融合考查，成為當(dāng)前高考不等式命題的重要趨勢.在本文的探討中，不等式在高中試題中的呈現(xiàn)，側(cè)重于基本不等式的應(yīng)用，并基于綜合知識考查等方式，提高不等式試題對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的有效考查.數(shù)學(xué)高考試題中的不等式試題，應(yīng)以發(fā)散的思維視角，實(shí)現(xiàn)有效學(xué)習(xí).

【參考文獻(xiàn)】

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