陳幼玲

（古田縣第二小學，福建 古田 352200）

培養(yǎng)學生的推理能力、幫助學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗是數(shù)學課程標準的要求。數(shù)學推理是“人們在數(shù)學觀念系統(tǒng)作用下，由若干數(shù)學條件，結合一定的數(shù)學知識、方法，對數(shù)學對象形成某種判斷的思維操作過程”。[1]小學階段的數(shù)學推理主要包括含有歸納、類比等以經(jīng)驗和直覺為依據(jù)的合情推理，以及以確定發(fā)展為依據(jù)的演繹推理。[2]《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》認為，合情推理就是“從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果”；演繹推理就是“從已有的事實和確定的規(guī)則出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計算”。思考的經(jīng)驗是學生“在思維操作中開展活動獲得的經(jīng)驗，如歸納的經(jīng)驗、類比的經(jīng)驗、證明的經(jīng)驗。”[3]如果教師在教學過程中引導學生充分經(jīng)歷推理過程，就能有效培養(yǎng)他們的推理能力，幫助他們積累數(shù)學思考的經(jīng)驗，教學就會一舉多得、事半功倍?，F(xiàn)以北師版四年級上冊《運算律》單元的教學為例，談談如何引導學生在推理過程中積累數(shù)學思考的經(jīng)驗。

一、推理中形成思考的經(jīng)驗

數(shù)學思考是數(shù)學教學的核心。它是學生對數(shù)學對象理解和掌握的過程，是學生從數(shù)學角度理性思維發(fā)現(xiàn)數(shù)學現(xiàn)象、用數(shù)學知識和方法解決問題的過程。為了幫助學生形成數(shù)學思考的經(jīng)驗，教師要引導學生獨立、自覺地深入數(shù)學學習過程，在具體的教學情境中經(jīng)歷分析、對比、歸納、整理、判斷、推理等思維過程，幫助他們在揭示知識本質(zhì)的過程中逐漸形成數(shù)學思考的獨特經(jīng)驗。

教學加法交換律時，學生口算4+6和6+4并用4+6=6+4表示后，照樣子寫出算式2+3=3+2，62+53=53+62，234+567=567+234……學生經(jīng)過仔細觀察，發(fā)現(xiàn)交換兩個加數(shù)的位置，和不變。用生活中的事例解釋發(fā)現(xiàn)時，有的畫圖（圖1）驗證，從電影院到學校的距離和從學校和到電影院的距離一樣；有的舉例驗證：四年級1班有27名男生和24名女生，用27+24或24+27計算，結果都表示全班人數(shù)……用a、b表示兩個加數(shù)時，他們很快用a+b=b+a表示加法交換律。最后，學生用規(guī)律解釋358+276豎式計算和276+358驗算的道理。

圖1

教學乘法交換律時，學生先由3×5=15和5×3=15引出3×5=5×3，接著舉出類似例子發(fā)現(xiàn)“兩個數(shù)相乘交換乘數(shù)的位置積不變”的規(guī)律，然后解釋發(fā)現(xiàn)，并用含有字母的式子表示規(guī)律——a×b=b×a，再用規(guī)律解釋5×107=535和驗算107×5的道理，最后比較兩個運算律的異同，理解并掌握規(guī)律的內(nèi)涵。

學生模仿舉例中用了類比推理，初步感知交換律；學生發(fā)現(xiàn)交換律的過程用了歸納推理，體驗了規(guī)律抽象概括過程，初步形成歸納的經(jīng)驗——個例猜想不能表示普遍規(guī)律，必須通過驗證；應用規(guī)律解釋算理是演繹推理（如大前提是a+b=b+a，小 前 提 是 358+276=634，結 論 是276+358=634）的過程，學生從中初步形成數(shù)學思考的經(jīng)驗——簡單演繹推理有利于掌握知識本質(zhì)。探究乘法交換律時，學生剛形成數(shù)學思考的經(jīng)驗得到了豐富。

二、推理中豐富思考的經(jīng)驗

數(shù)學思考經(jīng)驗是學生直接或間接參與數(shù)學思維活動產(chǎn)生形成的。教師要充分引導學生經(jīng)歷數(shù)學思考過程，關注學生思考什么，怎么思考，思考結果怎樣等。教師要引導學生充分經(jīng)歷觀察、操作、實驗、猜想、驗證、歸納和類比等數(shù)學活動，成為他們形成數(shù)學思考經(jīng)驗的開發(fā)者和促進者，幫助他們在推理過程中形成思考的經(jīng)驗。

教學加法結合律時，教師先引導學生觀察（4+8）+ 6 = 4 +（8 + 6）和（19 + 62）+ 38 =19+（62+38）兩組等式，再模仿舉例。學生經(jīng)過仔細觀察提出猜想——三個數(shù)相加，先算前兩個數(shù)或先算后兩個數(shù)相加和不變。解釋發(fā)現(xiàn)時，有的用桃30個梨40個和蘋果50個為例說明求總數(shù)，可以用（30+40）+50或30+（40+50）表示；有的用一只足球20元、一只游泳圈23元和一只籃球6元為例說明（20+23）+6=20+（23+6）都表示三種體育用品的單價之和……最后，學生用字母a、b、c表示規(guī)律——(a+b)+c= a+(b+c)，并用所學知識計算57+288+43，發(fā)現(xiàn)應用加法交換律和結合律能使計算簡便。

教學乘法結合律時，學生由（2×4）×3=24和2×（4×3）24想到（2×4）×3= 2×（4×3），照樣子寫出一些例子后發(fā)現(xiàn)規(guī)律——三個數(shù)相乘，先把前2個數(shù)相乘或先把后兩個數(shù)相乘積不變，然后用生活中的事例解釋發(fā)現(xiàn)：有的用方塊拼圖解釋，有的用買飲料的例子解釋……再嘗試用含有字母的式子表示規(guī)律——（a×b）×c=a×（b×c），最后思考如何計算125×9×8。他們在觀察算式中的運算符號和數(shù)的特點中加深理解和掌握乘法結合律。

學生探究結合律所經(jīng)歷的歸納推理和演繹推理的過程與交換律的過程相似。他們在類比推理中寫出相似算式，在歸納推理中經(jīng)歷規(guī)律的抽象概括過程，在應用規(guī)律中借助演繹推理掌握運算律。他們從中再次形成數(shù)學思考的經(jīng)驗：多寫一些類似的例子有助于猜想，但猜想只有經(jīng)過驗證才能成為規(guī)律；簡單的演繹推理有助于理解并掌握結合律的知識本質(zhì)。這些經(jīng)驗和前面所形成的經(jīng)驗相似，學生在再次推理中“重復”了數(shù)學思考的經(jīng)驗，從而豐富了數(shù)學思考的經(jīng)驗。

三、推理中深化思考的經(jīng)驗

思考是學生理解和掌握數(shù)學知識本質(zhì)的關鍵。學生積累數(shù)學思考的經(jīng)驗離不開他們已有經(jīng)驗的遷移，也需要他們在經(jīng)歷一些本質(zhì)相同、形式不一的數(shù)學活動中進行改造和提升，才能使思考經(jīng)驗由低層次不斷向高層次發(fā)展和提升。教師要充分應用各種教學資源，使學生在豐富多彩的學習素材中實現(xiàn)經(jīng)驗的聯(lián)結，幫助他們在推理過程中不斷形成、發(fā)展和提升數(shù)學思考經(jīng)驗，從而實現(xiàn)經(jīng)驗的積累。

教學乘法分配律時，學生計算貼瓷磚的塊數(shù)并說說如何計算：根據(jù)瓷磚顏色，有的用3×10+5×10計算，有的則用（3+5）×10計算；根據(jù)貼瓷磚位置，則用4×8+6×8計算，有的則用（4+6）×8計算，結果都是80塊。觀察兩組算式時，他們根據(jù)瓷磚顏色和位置分別寫出算式3×10+5×10=（ 3+5）×10和 4×8+6×8=（4+6）×8，并類比寫出更多相似例子，嘗試描述乘法分配律：一個數(shù)乘兩個數(shù)的和等于這個數(shù)分別乘這兩個數(shù)所得積的和，并用a、b、c表示規(guī)律（a+b）×c=a×c+b×c。結合算式4×9+6×9說明乘法分配律時，有的學生畫點子圖（圖2）說明，有的學生直接用4個9加上6個9，一共10個9，就是（4+6）×9進行說明。最后，學生分別觀察（80+4）×24和34×72+34×28的特點，在應用中理解并掌握乘法分配律。

圖2

用字母表示乘法分配律是由特例的共性特點歸納概括出一般性結論的過程，從抽象豎式回歸現(xiàn)實，借助圖形直觀解釋發(fā)現(xiàn)，進一步認識乘法分配律。在探索運算律的過程中，學生又經(jīng)歷了一次推理過程，并形成新的思考經(jīng)驗：類比和歸納在探究規(guī)律中必不可少；解釋說明規(guī)律可以畫圖，也可以直接表達；應用規(guī)律簡便計算需要會講道理。學生數(shù)學思考的經(jīng)驗不是簡單重復，而是螺旋上升，不斷深化和提升。

總之，學生在究性學習，很好地經(jīng)歷了推理過程。學生通過觀察、仿寫、解釋和表達活動，自主發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、歸納和總結規(guī)律，不但提升了數(shù)學思維能力，而且感悟了推理思想，還積累了數(shù)學思考的經(jīng)驗。當然，他們積累數(shù)學思考的經(jīng)驗是一個循序漸進的過程。教師要引導學生一方面在推理中獲得經(jīng)驗，另一方面要在推理中豐富和深化思考經(jīng)驗，使學生在循序漸進中不斷提升活動經(jīng)驗。