劉春平

(揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇揚(yáng)州225002)

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若干數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題的統(tǒng)一解法之注記

劉春平

(揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇揚(yáng)州225002)

[摘要]利用一個(gè)關(guān)于定積分的等式，給出了文獻(xiàn)[1]中若干數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的一種直接計(jì)算方法.

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)競(jìng)賽； 定積分； 換元法

在文獻(xiàn)[1]中，作者給出了一個(gè)關(guān)于積分的命題：

設(shè)f(x),g(x)為[a,b](b>a)上的連續(xù)函數(shù).若

f(x)=f(a+b-x),g(x)+g(a+b-x)=m(常數(shù))，

則有

(1)

然后用此命題對(duì)若干國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題進(jìn)行了統(tǒng)一解答.這種將不同試題歸類(lèi)并提升到理論高度的文章[1,2]無(wú)論對(duì)教師的教學(xué)還是對(duì)學(xué)生的解題均有極好的啟發(fā)作用.

在教學(xué)過(guò)程中，部分學(xué)生反映：命題中函數(shù)f(x),g(x)的選取并非一目了然，這在某種程度上影響了解題速度. 重新考察文獻(xiàn)[1]中列舉的競(jìng)賽題，我們發(fā)現(xiàn)這類(lèi)定積分中被積函數(shù)具有某種“特殊性”，利用一個(gè)關(guān)于定積分的等式可直接計(jì)算. 下面，本文對(duì)此進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明.

首先證明一個(gè)關(guān)于定積分的等式，它也是教科書(shū)上[3]的一道習(xí)題:

設(shè)f(x)為[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，則

(2)

證令u=a+b-x,則

(3)

利用(2)式，對(duì)幾道競(jìng)賽題重新解答如下.

試題(A)的解答.

由

試題(B)的解答.

由

知IB=1.

試題(C)的解答.

試題(D)的解答.

由

試題(E)的解答.

由

知n為偶數(shù)時(shí),IE=0;n為奇數(shù)時(shí)，IE=π.

試題(F)的解答.

注意到

有

再由

得

解題思路便非常清晰了.

綜上所述，當(dāng)f(x)+f(a+b-x)為易積函數(shù)時(shí)，利用

[參考文獻(xiàn)]

[1]潘杰，蘇化明. 若干數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題的統(tǒng)一解法[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué)，2014，30(6)：111—114.

[2]蘇化明，潘杰. 高等數(shù)學(xué)問(wèn)題推廣的幾種方式[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué)，2004，20(5)：64—69.

[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)上冊(cè)[M]. 6版.北京: 高等教育出版社，2007: 253-254.

A Note on a Unified Solution to Several Mathematical Emulation Problems

LIUChun-ping

(Institute of Mathematics, Yangzhou University, Yangzhou Jiangsu 225002, China)

Abstract:By means of an equation on definite integral, one direct calculation method of several Mathematical Emulation problems recorded in literature [1] has been proposed.

Key words:mathematical emulation; definite integral； integration by substitution

[收稿日期]2016-01-17

[基金項(xiàng)目]江蘇高校品牌專(zhuān)業(yè)建設(shè)工程資助項(xiàng)目(PPZY2015B109)

[作者簡(jiǎn)介]劉春平(1964-),女，博士，教授，從事微分方程研究.Email：liucp@yzu.edu.cn

[中圖分類(lèi)號(hào)]O172

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

[文章編號(hào)]1672-1454(2016)02-0097-03