潘振南
摘要:本文及本課題所說的“新中考背景”,指從2017年開始以來的福建省中考統(tǒng)一命題、統(tǒng)一考試等中考改革的新背景,本次新中考改革強調(diào)落實“立德樹人”的根本任務,強調(diào)中考命題要符合義務教育特點,要有利于發(fā)展學生的核心素養(yǎng),要重視考查學科知識的綜合應用能力,考查學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。本課題所說的“初中數(shù)學考試”,指初中學段數(shù)學科的各種考試,包含課時小測、章節(jié)考試、期中考試、期末考試、畢業(yè)考試、升學考試。本課題所說的“命題導向研究”,指從命題的指導思想、基本原則、考試內(nèi)容、試題結(jié)構(gòu)、試卷難易度等方面隨著新背景、新時代的變化而進行指導性、方向性的研究。本課題組經(jīng)過一年多的探索研究,收集積累了一些“好題”。
關(guān)鍵詞:初中數(shù)學;好題例析;立德樹人
中圖分類號:G633.6 ? 文獻標識碼:A ? 文章編號:1992-7711(2019)09-0123
對初中數(shù)學教師來說,深入研究命題導向,是教師反思自身教學行為、改進教學方法的重要環(huán)節(jié)之一。因為大家都知道,初中數(shù)學學習是以“題”為載體的,處在教育一線的數(shù)學教師要善于圍繞教學的主線和每節(jié)課的核心內(nèi)容,精選“好題”、改編“好題”;要善于從數(shù)學知識的相互聯(lián)系及學生的認知規(guī)律出發(fā),用好題、巧解題、多變式,要充分發(fā)揮教師的主導作用,突出以問題設計為數(shù)學教學設計的重點,讓學生少做題、輕松學、有興趣,最終培養(yǎng)學生學會數(shù)學思考。教師要研究“數(shù)學好題”,可從不同的課型、課后作業(yè)及各級各類考試等設計中不斷積累和總結(jié)經(jīng)驗。
一、初中數(shù)學“好題”的理論標準
《義務教育數(shù)學課程標準》(2011年版)明確指出:數(shù)學課程評價的根本目的是為了促進學生學習,改善教師教學。命題應發(fā)揮數(shù)學課程評價的多種功能。數(shù)學考試命題的出發(fā)點和歸宿應該是促進學生的發(fā)展,試題要給學生的生命舒展、個性發(fā)展留下空間,從內(nèi)容到形式都要朝著有利于學生發(fā)展的方向變革,這樣的試題才具有效度、信度。就新中考背景下評價一道初中數(shù)學題是否為“好題”的理論標準,筆者認為可以歸納以下幾個要點。
1. 科學性原則:試題內(nèi)容符合科學性,沒有出現(xiàn)科學性的錯誤,沒有涉及到學術(shù)上的爭議;
2. 規(guī)范性原則:試題編制符合規(guī)范性,題型使用得當,敘述表達規(guī)范,版面格式規(guī)范;
3. 公平性原則:試題素材、背景材料等的使用公平(比如城市與農(nóng)村學生均能接受的情景、素材);
4. 導向性原則:試題導向明確,能體現(xiàn)近幾年中考數(shù)學命題改革的變化趨勢;
5. 思想性原則:試題能體現(xiàn)數(shù)學思想方法的考查,體現(xiàn)數(shù)學的教育價值觀和數(shù)學的文化性的考查;
6. 創(chuàng)新性原則:試題在背景、形式、內(nèi)容或解答方法等方面具有一定的新穎性與獨特性,能診斷考生的數(shù)學創(chuàng)新意識與創(chuàng)新能力。
二、初中數(shù)學“好題”的特征例析
初中數(shù)學教學本身就有不同情境,在不同情境中用不同的題,其教育教學的價值、效益就不同。同一道題,在不同情境中的教育教學價值、效益也不一樣。因此,筆者認為所謂的“數(shù)學好題”,撇開具體的題型,就是試圖找到一種大家都能接受的相對合理的“數(shù)學好題”的一些基本要素。現(xiàn)例析數(shù)學“好題”所具備的一些特征。
1. 關(guān)注課標教材,重視基礎(chǔ)考查
一道好試題不一定就是一道難度很高、很完美的題目。例如,每年的各地市質(zhì)檢卷及中考卷等綜合卷都會突出對基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想及基本活動經(jīng)驗的考查,選擇題、填空題、解答題這三種題型的前半部分一般情況下都是基礎(chǔ)題中的容易題,絕大多數(shù)學生都能得分,這些試題注重通性、通法,淡化特殊技巧,較好地體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、公平性及普及性,這里就不一一舉例了。
2. 關(guān)注核心素養(yǎng),滲透思想方法
高中數(shù)學的核心素養(yǎng)與初中《新課程標準》的核心素養(yǎng)對比,如下表所示:
《初中數(shù)學課程標準(2011年版)》中提出的10個核心概念指向?qū)W習主體(學生)的特征,是學生在義務教育階段的數(shù)學課程中最應得到培養(yǎng)的數(shù)學素養(yǎng)。從初中數(shù)學學習內(nèi)容的特點與要求出發(fā),結(jié)合近幾年中考數(shù)學命題的變化趨勢,我們應當將數(shù)感融入運算能力,將符號意識融入模型思想,進而將空間概念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、模型思想、應用意識、創(chuàng)新意識作為初中階段“好題”編制的關(guān)注點。
(1)空間觀念
例1:下面的幾何圖形是由四個相同的小正方體搭成的,其中主視圖和左視圖相同的是( ?)。
評析:本題考查簡單幾何體三視圖,屬于基礎(chǔ)性知識的考查,由課本習題改編而來,但不是單純地讓學生識別一個幾何體的某一種視圖,而是綜合考查學生的空間觀念。
(2)幾何直觀
例2:若數(shù)a使關(guān)于x的不等式組<5x-2≥x+a有且只有四個整數(shù)解,則a的取值范圍是________。
評析:本題沒有給出數(shù)軸,其目的是希望學生能夠自覺地畫出數(shù)軸,考查學生對“見數(shù)思形”的敏感性。利用數(shù)軸求不等式組的解集,有利于學生通過直觀性探索解決問題。
(3)運算能力
例3:先化簡÷(-x+1),然后從- 評析:本題屬于分式的混合運算,同時考查了分式的意義。運算能力要求為第二級水平,這是一種常見的題型,也是本省這兩年中考都考到的題型。本題考查學生運算能力的水平,主要表現(xiàn)在兩個方面:一是在根據(jù)定義、公式、法則等進行數(shù)學運算過程中呈現(xiàn)出來的正確、合理、靈活和熟練程度;二是對運算的理解和尋求合理簡潔的運算途經(jīng)解決問題的水平。 (4)推理能力 例4:在不透明的袋子中裝有一個幾何體模型,兩位學生摸該模型并描述它的特征。 甲同學:它有4個面是三角形;乙同學:它有8條棱。
該模型的形狀對應的立體圖形可能是()。
A. 三棱柱 ? ? ?B. 四棱柱 ? ? ? ?C. 三棱錐 ? ? ? D. 四棱錐
評析:數(shù)學的每個分支都充滿了推理,所以考查學生推理能力的載體是全方位的。而考查空間觀念,也可以用排除法,比如本題:三棱柱只有兩個三角形的面,所以排除A;四棱柱沒有三角形的面,所以排除B;三棱錐有四個三角形的面,但是只有6條棱,所以排除C;剩下D選項,且四棱錐符合條件,故選D。
例5:已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c中,其函數(shù)y與自變量x之間的部分對應值如下表所示:
點A(x1,y1)、B(x2,y2)在函數(shù)的圖像上,則當1 A. y1>y2 B. y1 評析:本題的背景材料是初中數(shù)學中的重要內(nèi)容——二次函數(shù)。先由表格中的數(shù)據(jù)可以推出該二次函數(shù)開口向上,且對稱軸為直線x=2,再由函數(shù)的單調(diào)性可以得到答案。本題選擇值的設置很嚴謹,等號取不取的問題必須重視。 (5)模型意識 例6:如下右圖,在△ABC中,AC=BC=25,AB=30,D是AB上的一點(不與A、B重合),DE⊥BC,垂足是點E,設BD=x,四邊形ACED的周長為y,則下列圖像能大致反映y與x之間的函數(shù)關(guān)系的是( ? ? )。 評析:本題綜合考查函數(shù)的圖像、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點,解題的關(guān)鍵是利用相似構(gòu)造方程表示出DE和BE,再利用周長公式構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式。本題如果改為一道解答題(如:求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系并畫出圖像)效果可能會更好,因為選擇值的設置,由自變量的取值范圍可以直接舍去A、B、C三個答案。 (6)應用意識 例7:建筑工人砌墻時,經(jīng)常在兩個墻腳的位置分別插一根木樁,然后拉一條直的參照線,其運用到的數(shù)學原理是()。 A. 兩點之間,線段最短 B. 兩點確定一條直線 C. 經(jīng)過一點有無數(shù)條直線 D. 以上均不正確 例8:如下圖,小明到小穎家有四條路,小明想盡快到小穎家,他應該走第______條路,其中的數(shù)學道理是____________。 評析:例7、例8這兩題從生活現(xiàn)象入手,揭示看似簡單且習以為常的行為背后有著深刻的數(shù)學原理,考查學生利用已學的數(shù)學知識解決實際問題。類似的,在初等數(shù)學中,大量的數(shù)學知識都具有現(xiàn)實背景,如三角形的穩(wěn)定性等,都提供了從數(shù)學的角度解釋生活現(xiàn)象的鮮活的命題素材。 (7)創(chuàng)新意識 例9:定義:如果一個數(shù)的平方等于-1,記為i2=-1,這個數(shù)i叫做虛數(shù)單位,把形如a+bi(a,b為實數(shù))的數(shù)叫做復數(shù),其中a叫這個復數(shù)的實部,b叫做這個復數(shù)的虛部。它的加、減、乘法運算與整式的加、減、乘法運算類似。 例如計算:(2-i)+(5+3i)=(2+5)+(-1+3)i=7+2i; (1+i)×(2-i)=1×2-i+2×i-i2=2+(-1+2)i+1=3+i; 根據(jù)以上信息,完成下列問題: ①填空:i3=________,i4=________; ②計算:(1+i)×(3-4i); ③計算:i+i2+i3+…+i2017。 評析:本題向初中學生提出了一個新的概念——復數(shù),約定了一種新的運算,通過創(chuàng)設全新的問題情景,要求學生通過觀察分析、閱讀理解,并與已知認知結(jié)構(gòu)中的知識進行同化,從而創(chuàng)造性地解決問題,對學生獨立思考、加工提取信息及知識遷移和創(chuàng)新的能力要求較高。 3. 關(guān)注數(shù)學文化,體現(xiàn)德育導向 例10:《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學的經(jīng)典著作,書中有一個問題:“今有黃金九枚,白銀一十一枚,稱之重適等,交易其一,金輕十三兩,問金、銀各重幾何?”意思是:甲袋中裝有黃金9枚(每枚黃金重量相同),乙袋中裝有白銀11枚(每枚黃金重量相同),稱重兩袋相等,兩袋互相交換1枚后,甲袋比乙袋輕了13兩(袋子重量忽略不計),問黃金、白銀每枚各重多少兩?設每枚黃金重x兩,每枚白銀重y兩,根據(jù)題意得( ? ? )。 A. B. C. D. 評析:本題選自我國古代數(shù)學的經(jīng)典著作《九章算術(shù)》,以此弘揚中華數(shù)學文化,增強民族自豪感,體現(xiàn)了數(shù)學課程育人功能的德育導向。 4. 關(guān)注數(shù)學理解,考查運用能力 例11:如下圖,反比例函數(shù)y=(k≠ 0)的圖像經(jīng)過A、B兩點,過點A作AC⊥x 軸,垂足為D,過點B作BD⊥x軸,垂足為D,連接AO,連接BO交AC于點E,若OC=CD,四邊形BDCE的面積為2,則k的值為_______。 評析:本題背景來源于教材中反比例函數(shù)及相似三角形的性質(zhì),深入挖掘“反比例函數(shù)”的定義,考查學生對參數(shù)的準確理解,還要結(jié)合相似的相關(guān)知識來解題,突出引導學生經(jīng)歷概念形成過程和理解概念本質(zhì)的重要性。 5. 關(guān)注操作實踐,助推思維發(fā)展 例12:如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,以點B為圓心,BC的長為半徑畫弧,交線段AB于點D,以點A為圓心,AD長為半徑畫弧,交線段AC于點E,連結(jié)CD。 (1)若∠A=28°,求∠ACD的度數(shù); (2)設BC=a,AC=b; ①線段AD的長是方程x2+2ax-b2=0的一個根嗎?說明理由。
②若AD=EC,求的值。
評析:本題在設計上以學生熟悉的作圖入手,通過實踐活動,發(fā)現(xiàn)所需要的條件,從而進一步解題。當然本題設計的亮點還在于與勾股定理、一元二次方程等知識點的綜合考查。
三、初中數(shù)學“好題”的一題多變
數(shù)學教育家波利亞認為:“一個有責任心的教師與其窮于應付繁瑣的數(shù)學內(nèi)容和過量的題目,不如適當選擇某些有意義但又不太復雜的題目去幫助學生發(fā)掘題目的各個方面,在指導學生解題過程中,提高他們的才智與推理能力?!被谏鲜隼砟?,我們認為可以從一道“好題”出發(fā),借題發(fā)揮,探索一題多解、一題多變、一題多用的價值,以期培養(yǎng)學生學會從多層次、廣視角、全方位地認識、研究問題,培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。
例如:華東師大版初中數(shù)學教材九年級上冊第2頁,問題1:
如圖1,用總長為20m的圍欄材料,一面靠墻,圍成一個矩形花圃,怎樣圍才能使花圃的面積最大?
改編一:如圖2是一個矩形花圃,除墻一面外,原來的三邊改成中間再增加兩條與AB平行且相等的邊;當然還可增加四條邊等。
改編二:(2015年·泉州中考24題):某校在基地參加社會實踐活動中,帶隊教師考問學生:基地計劃新建一個矩形的生物園地,一邊靠舊墻(墻足夠長),另外三邊用總長69米的不銹鋼柵欄圍成,與墻平行的一邊留一個寬為3米的出入口,如圖所示,如何設計才能使園地的面積最大?下面是兩位學生爭議的情境:
請根據(jù)上面的信息,解決問題:
(1)設AB=x米(x>0),試用含x的代數(shù)式表示BC的長;
(2)請你判斷誰的說法正確,為什么?
改編三:(2018年·福建中考23題):如圖,在足夠大的空地上有一段長為a米的舊墻MN,某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜園的一邊靠墻,另三邊一共用了100米木欄。
(1)若a=20,所圍成的矩形菜園的面積為450平方米,求所利用舊墻AD的長;
(2)求矩形菜園ABCD面積的最大值。
總之,正如波利亞所說:“好的題目和蘑菇一樣,它們都成串生長?!痹诔踔袛?shù)學教學中,不僅要求教師要具有一雙善于發(fā)現(xiàn)好題的眼睛,并且面對好題,還要有絕不放過的精神。在平面幾何中,三角形的題目可以改編成四邊形,平行四邊形可以改編成菱形或矩形或正方形等,再結(jié)合圖形的變換,可讓“好題”好上加好。
(作者單位:福建省南安市教師進修學校 ? 362300)