摘 要：作為高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，向量解題的基本思想是每年高考考察的重點，高中生需要明確向量解題基本思想及技巧，提高自身的數(shù)學(xué)成績?；诖?，本文從高中數(shù)學(xué)向量知識的內(nèi)涵入手，對其解題基本思路與技巧進行分析，高中生需要巧用抓基底的方法，提高對基礎(chǔ)知識的重視，并合理利用直角坐標系，準確解答向量問題，培養(yǎng)自身數(shù)形結(jié)合的思想。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；向量；共線向量

一、 前言

向量具備代數(shù)和幾何雙重形式，與代數(shù)、立體幾何及三角函數(shù)等相關(guān)知識有密切的聯(lián)系，使得向量成為高中數(shù)學(xué)知識體系的重點內(nèi)容。高考中關(guān)于向量知識的考察涉及填空題、選擇題及解答題等多種類型。學(xué)生對向量知識的學(xué)習(xí)可以培養(yǎng)自身的數(shù)學(xué)思維及數(shù)形結(jié)合理念，通過解題基本思想的培養(yǎng)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。因此，對于高中數(shù)學(xué)向量解題基本思想與技巧的分析是很有必要的。

二、 高中數(shù)學(xué)向量知識分析

向量是高中數(shù)學(xué)中的新知識，主要包括平面向量和空間向量這兩方面的內(nèi)容，不僅是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點，與解析幾何以及三角函數(shù)的關(guān)系密切，還與物理學(xué)科中的矢量運算相關(guān)，更與高等數(shù)學(xué)中的柯西不等式等知識相關(guān)。因此，高中生需要提高對向量知識的重視，為未來的學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)。向量和數(shù)量有所不同，它既有大小，也有方向，對高中生的空間想象能力有較高的要求。高考大綱中關(guān)于向量考察內(nèi)容的難度不算太高，平面向量的相關(guān)知識主要通過填空題或者選擇題進行考查；空間向量的相關(guān)知識主要與立體幾何聯(lián)系在一起，通過大題進行考察。在實際的向量學(xué)習(xí)中，只要高中生掌握向量解題的基本思想與技巧，就能夠準確解答向量相關(guān)問題，提高自身的數(shù)學(xué)成績。

三、 高中數(shù)學(xué)向量解題基本思想與技巧分析

（一） 巧用抓基底方法

高中數(shù)學(xué)中向量解題中應(yīng)用最為廣泛的方法就是抓基底方法，在題目給出的圖形中含有多個向量時，可以根據(jù)位移分解定理，將一系列向量劃分為統(tǒng)一的一組向量，以此開展向量的運算。但是在實際的運算過程中，這種向量劃分方法較為混亂，很容易出現(xiàn)運算失誤。因此，高中生可以通過基底的設(shè)置，簡化運算流程。以下面一道例題為例：在△ABC中，AD⊥AB，BC=3BD，|AD|=1，求出AD·AC的值。例題中的向量相對較多，我們可以選擇垂直的兩條直線作為基底，將AD設(shè)為b，將AB設(shè)為a，則BD=b-a；BC=3（-a+b），AC=AB+BC，則AD·AC=AB·AD+BC·AD=BC·AD=3（-a+b）·b=3b2-a·b=3|AD|2=3。在上述例題的解答過程中，垂直基底的應(yīng)用有效簡化了向量分解流程，可以降低向量解題的難度。

（二） 通過極化恒等式進行向量解題

在高中數(shù)學(xué)中，極化恒等式主要是指向量數(shù)量積與向量和之差之間的關(guān)系，該方法能夠簡化向量解題流程，避免向量解題過程中出現(xiàn)運算失誤。以下面一道例題為例：已知a·b=0，而且向量符合下面關(guān)系式：（c-a）·（c-b）=0，|a-b|=5，|a-c|=3，求a·c的最大值。根據(jù)極化恒等式可知，可以根據(jù)a-c、a+c和a·c之間的恒等關(guān)系，求得a·c的最大值，a·c=14[（a+c）2-（a-c）2]=14[（a+c）2-9]，由此可以看出，問題解答的關(guān)鍵在于a+c。在△OAC中，將線段AC的中點設(shè)為M，則a+c=2OM，|a·c|的最大值就是|a+c|的最大值，即：|OM|的最大值。|OM|在這一圓中，AC為3，則OM通過圓心時其線段長度最大。因此，|OM|max=12BC+r=4.5，則|a+c|的最大值為9，|a·c|的最大值是18。需要注意的是，在應(yīng)用極化恒等式進行向量解題時，不需要轉(zhuǎn)換內(nèi)部數(shù)量關(guān)系。

（三） 合理利用直角坐標系

在向量問題中，時常會存在相互垂直或者某些特殊的夾角，高中生可以通過數(shù)形結(jié)合的方法，合理利用直角坐標系，將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系通過圖形直觀地展現(xiàn)，簡化向量問題的解答過程，提高解題效率。以下面一道例題為例：OA=OB=1，而且兩者為垂直關(guān)系，OC=λOA+μOB，（λ，μ∈R），AB的中點為點M，|MC|=1，求λ+μ的最大值是多少？根據(jù)題目已知條件，可以將A和B兩點置于直角坐標系中，A點設(shè)為（1，0），B點設(shè)為（0，1），則M點為（12，12），C點為（λ，μ），則MC=（λ-12，μ-12）；已知|MC|=1，則（λ-12）2+（μ-12）2=1。也就是說，C點在位于以M點為圓心，1為半徑的圓上。將λ+μ設(shè)為t，帶入圓的方程中可知：2λ2-2tλ+（t2-t-12）=0，Δ=（2t）2-4×2（t2-t-12）≥0，求得-2+1≤t≤2+1，所以λ+μ的最大值是2+1。

四、 結(jié)論

綜上所述，向量是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容，需要受到教師和學(xué)生的重視。通過本文的分析可知，高中數(shù)學(xué)教師需要注重學(xué)生解題思想及技巧的培養(yǎng)，確保學(xué)生可以靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)思維及向量基本知識，準確解答向量相關(guān)問題，提高自身的數(shù)學(xué)成績，為未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)。希望本文的分析可以為數(shù)學(xué)教師開展教學(xué)及高中生解答向量題目提供幫助。

參考文獻：

[1]劉偉華，張敏.高中數(shù)學(xué)平面向量解題策略[J].新課程（下），2018（8）：281.

[2]孫溥臨.淺析求解高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中特征值與特征向量的解題技巧[J].高考，2018（21）：208.

作者簡介：

茅建未，浙江省余姚市，余姚中學(xué)。