張偉

摘要：小學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)的本質(zhì)特征在于必須有高層次數(shù)學(xué)思維的參與。學(xué)生在具體的問題情境中合作探究，經(jīng)歷觀察、操作、討論、交流、猜測(cè)、驗(yàn)證等思維過程，逐步理解數(shù)學(xué)問題的提出、數(shù)學(xué)概念的形成和數(shù)學(xué)結(jié)論的獲得，發(fā)展相應(yīng)的數(shù)學(xué)思考能力。數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)的要義在于：活動(dòng)起點(diǎn)指向數(shù)學(xué)化，活動(dòng)過程體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想，活動(dòng)結(jié)果積累思維經(jīng)驗(yàn)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng);活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);數(shù)學(xué)思維

中圖分類號(hào)：G42 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-9094（2019）01B-0042-04

現(xiàn)代認(rèn)知論認(rèn)為，“活動(dòng)”是由共同目的聯(lián)合起來并完成一定社會(huì)職能的動(dòng)作總和，它由目的、動(dòng)機(jī)和動(dòng)作構(gòu)成，具有完整的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)?！盎顒?dòng)”與數(shù)學(xué)教學(xué)的結(jié)合必然會(huì)帶有特定的指向性與目的性，即“數(shù)學(xué)活動(dòng)是具有數(shù)學(xué)教與學(xué)目標(biāo)的學(xué)生主動(dòng)參與的學(xué)習(xí)活動(dòng)”[1]。除此之外，數(shù)學(xué)活動(dòng)還應(yīng)蘊(yùn)含著更豐富的內(nèi)涵與特質(zhì)，簡(jiǎn)單的“為活動(dòng)而活動(dòng)”或者“數(shù)學(xué)+活動(dòng)”組合顯然都不能算作數(shù)學(xué)活動(dòng)。鄧友祥教授認(rèn)為：“所謂數(shù)學(xué)活動(dòng)，是指師生之間、學(xué)生之間交往互動(dòng)與共同發(fā)展，具有一定結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)特點(diǎn)的思維活動(dòng)?！盵2]數(shù)學(xué)活動(dòng)的本質(zhì)特征在于：必須要有高層次數(shù)學(xué)思維的參與，要以具體的問題為載體，以自主合作探究為途徑，聚焦數(shù)學(xué)思維的發(fā)展與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生能經(jīng)歷觀察、操作、討論、交流、猜測(cè)、驗(yàn)證等思維過程，能逐步理解數(shù)學(xué)問題的提出、數(shù)學(xué)概念的形成和數(shù)學(xué)結(jié)論的獲得，能發(fā)展相應(yīng)的數(shù)學(xué)思考能力。小學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)應(yīng)關(guān)注以下幾個(gè)要義：

一、活動(dòng)起點(diǎn)指向數(shù)學(xué)化

數(shù)學(xué)是對(duì)日常生活中客觀現(xiàn)象的抽象概括。荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾這樣概括數(shù)學(xué)教學(xué)：“與其說我們教數(shù)學(xué)，不如說我們教‘?dāng)?shù)學(xué)化?！盵3]借助實(shí)際生活中的方方面面，可以合理進(jìn)行情境創(chuàng)設(shè)與問題解決，不少教師在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)本意是想“數(shù)學(xué)化”的，但實(shí)際效果卻不佳。

【活動(dòng)案例1】認(rèn)識(shí)線段

師：老師手上拿了什么？

生：一根毛線。

師：什么樣的毛線？

生：紅色的毛線……

師：還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？（老師一會(huì)將毛線拉直，一會(huì)保持彎曲）

生：哦，這是一根彎曲的毛線。

師：當(dāng)我將這根毛線拉直的時(shí)候，就得到了線段。有誰愿意來試著拉一拉？

學(xué)生興沖沖得跑上講臺(tái)，接過老師的毛線，拉住兩頭，緊緊拉直。

師：這就是“線段”?。ㄔ趯W(xué)生操作的同時(shí)，老師順勢(shì)用手指向毛線直直的部分，告訴孩子們哪兒是線段）

師：跟老師一起說，這是“線段”?。▽W(xué)生齊聲跟讀）

師：知道毛線的兩頭是線段的什么嗎？我們把它們叫做線段的“端點(diǎn)”。

師：跟老師一起說：端點(diǎn)?。▽W(xué)生又一次齊聲跟讀）

師：現(xiàn)在你知道什么是線段了嗎？什么是端點(diǎn)了嗎？好了，現(xiàn)在請(qǐng)拿出準(zhǔn)備的毛線，同桌中一人拉直毛線，另外一人去指，去說哪兒是線段，哪兒是線段的端點(diǎn)。

……

這是執(zhí)教“認(rèn)識(shí)線段”而設(shè)計(jì)的一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，意在引導(dǎo)學(xué)生建立線段概念，了解線段特征。老師充分利用了學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)，從日常生活中的毛線入手，切入教學(xué)，原本應(yīng)有較好的效果。但是，老師自始至終將認(rèn)識(shí)停留在毛線上，沒有能及時(shí)抽象出數(shù)學(xué)中的線段概念來，學(xué)生雖然參與了活動(dòng)，但沒有把活動(dòng)及時(shí)“數(shù)學(xué)化”，沒能進(jìn)入“數(shù)學(xué)的觀察和思考”中去。因此，以上活動(dòng)不是真正的“數(shù)學(xué)活動(dòng)”。

可以在原有活動(dòng)設(shè)計(jì)基礎(chǔ)上改一改。

【活動(dòng)設(shè)計(jì)的改編】

師：我們可以將剛才拉直的毛線“請(qǐng)”到黑板上來。（可在學(xué)生幫助下，沿著拉直的毛線在黑板上畫出線段）

師：這個(gè)畫出的圖形就是數(shù)學(xué)中的“線段”。生活中還有哪兒藏著線段呢？

根據(jù)學(xué)生匯報(bào)，選擇其中幾種，通過畫圖或課件演示，把這些線段也“請(qǐng)”到黑板上或屏幕上。

師：仔細(xì)觀察這些線段，你覺得它們有什么共同的特點(diǎn)？

師：在練習(xí)本上自己畫一條線段，再和同桌說一說。

以上活動(dòng)，教師借助實(shí)物及時(shí)抽象出線段概念，組織學(xué)生在生活實(shí)際中“再發(fā)現(xiàn)”“再創(chuàng)造”出線段，引導(dǎo)他們進(jìn)行數(shù)學(xué)觀察，得出線段的特征：直的、有兩個(gè)端點(diǎn)、長(zhǎng)短不一等。學(xué)生在這樣的“數(shù)學(xué)化”的過程中抽象出數(shù)學(xué)概念，逐步獲得對(duì)知識(shí)的理解，這是數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)的價(jià)值所在。

二、活動(dòng)過程體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法

日本數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏在從事多年數(shù)學(xué)教育研究之后得出這樣的結(jié)論，學(xué)生們所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)，在進(jìn)入社會(huì)后，幾乎不到一兩年就忘掉了。然而不管他們從事什么職業(yè)，那種銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法，卻長(zhǎng)期地在他們的生活和工作中發(fā)揮著作用。所以，教學(xué)實(shí)踐中的數(shù)學(xué)活動(dòng)，不能僅僅局限于幫助解決某一個(gè)問題，而是活動(dòng)本身應(yīng)具有啟示作用與遷移功能，促使學(xué)生感悟背后的數(shù)學(xué)思想方法，從而激活數(shù)學(xué)思維，得以融會(huì)貫通，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【活動(dòng)案例2】教學(xué)用轉(zhuǎn)化策略解決問題

計(jì)算：+++

師：能計(jì)算上面的算式嗎？先獨(dú)立思考，有困難可以小組交流。過一會(huì)兒請(qǐng)學(xué)生匯報(bào)解法！

生：將這幾個(gè)異分母分?jǐn)?shù)通分，變成同分母分?jǐn)?shù)就可以相加了。

+++=+++=

師：很好。還有其他解法嗎？

生：可以化成小數(shù)，然后再相加。

+++=0.5+0.25+0.125+0.0625=0.9375

師：這種算法也可以。還有嗎？

（見沒有孩子發(fā)言了，老師沒有進(jìn)一步嘗試尋求其他解法。）

師：好了，現(xiàn)在有兩種解法了，你們觀察一下，解題過程中有什么相同之處？

生：都是計(jì)算出來的。

生：第一種方法用到了通分，化成同分母分?jǐn)?shù)相加的;第二種方法是化成小數(shù)相加的。

師：對(duì)，具體解法上是有不同的。哪兒有相同之處呢？

生：都轉(zhuǎn)化成我們以前學(xué)過的知識(shí)來幫助我們解題的。

師：說得真好！這兩種方法都運(yùn)用到了“轉(zhuǎn)化”的策略，將新知轉(zhuǎn)化成以前學(xué)過的知識(shí)來解決。同意嗎？

生：同意！

……

顯然，以上的教學(xué)活動(dòng)中教師注意到了不僅要解決問題，而且要通過解題，引發(fā)學(xué)生對(duì)解題策略的感悟與認(rèn)識(shí)。但是，上述活動(dòng)的設(shè)計(jì)對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的體現(xiàn)從深度、廣度及綜合運(yùn)用層面上都不是很充分，不能有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平。

【活動(dòng)設(shè)計(jì)的改編】

在第一題的原有兩種方法教學(xué)完后，教師出示拓展變式題：

+++++…=

師：能計(jì)算上面的算式嗎？

師：如果有困難，可以嘗試在面積為1的正方形里先把，，……表示出來，看有什么發(fā)現(xiàn)？

師：這些分?jǐn)?shù)相加之和反映到正方形圖里，表示的是什么？

生：每個(gè)分?jǐn)?shù)表示一部分面積，求算式的和也就是求面積的和。

……

此題很難用以往學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)來解，不管是通分，還是化成小數(shù)都無法有效幫助解題，因?yàn)樗闶街杏袩o窮多個(gè)分?jǐn)?shù)相加。這樣就能有效促使學(xué)生把思維聚焦在算式結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)上：每一項(xiàng)分子都是1，而分母分別是2、4、8、16、32……每一項(xiàng)的分母都是它前一項(xiàng)分母的2倍。將這個(gè)具有挑戰(zhàn)性的代數(shù)問題，“轉(zhuǎn)化”成舊知就成為解題的關(guān)鍵。聯(lián)想到分?jǐn)?shù)可以用幾何直觀表示，可以與學(xué)生一道嘗試構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)度或面積是1的線段或正方形來幫助思考。

以正方形為例，如圖，先畫圖表示取出，再在余下一半里取，如此下去……當(dāng)相加的分?jǐn)?shù)數(shù)次越來越多時(shí)，余下部分的面積就會(huì)非常小了，逐步引導(dǎo)學(xué)生朝著極限狀態(tài)思考，從而感知到當(dāng)相加的分?jǐn)?shù)到無窮多時(shí)，余下部分面積就趨近于0了，相加所表示的面積和應(yīng)該無限接近于1，但不會(huì)大于1。因此這個(gè)無數(shù)多個(gè)分?jǐn)?shù)相加的算式結(jié)果就是1。

上述活動(dòng)設(shè)計(jì)不僅有效激發(fā)了學(xué)生對(duì)于“轉(zhuǎn)化”策略的需求，而且使他們對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的感悟與體會(huì)非常深刻。活動(dòng)過程中適時(shí)滲透極限思想，充分體現(xiàn)了多種數(shù)學(xué)思想方法的綜合運(yùn)用。

三、活動(dòng)結(jié)果積累思維經(jīng)驗(yàn)

新的課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志。美國(guó)教育家杜威認(rèn)為，一盎司經(jīng)驗(yàn)勝過一噸理論！我國(guó)數(shù)學(xué)課程專家郭玉峰和史寧中教授也撰文闡述數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的生成離不開數(shù)學(xué)活動(dòng)，而伴隨著思維的參與，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)才會(huì)更加創(chuàng)造性地生長(zhǎng)。[5]可見，經(jīng)驗(yàn)的積累在學(xué)生知識(shí)學(xué)習(xí)與認(rèn)知建構(gòu)中具有十分重要的作用。因此，教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)時(shí)，要充分考慮學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、尤其是極具價(jià)值的思維經(jīng)驗(yàn)的生長(zhǎng)。

華應(yīng)龍老師在某次“千課萬人”的活動(dòng)中執(zhí)教了一節(jié)數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課。整節(jié)課由“臺(tái)灣長(zhǎng)什么樣？”這樣一個(gè)精心設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)問題展開，每個(gè)操作實(shí)踐活動(dòng)自始至終都伴隨著思維經(jīng)驗(yàn)的喚醒、重構(gòu)、再創(chuàng)造，十分精彩。

【活動(dòng)案例3】臺(tái)灣長(zhǎng)什么樣？

華老師從介紹臺(tái)灣引入，課件出示“臺(tái)灣島南北縱長(zhǎng)395千米，東西寬度最大144千米，海岸線長(zhǎng)約1139千米”。

師：看了這些信息后，你想到什么問題？

生1 ：臺(tái)灣有多大？

生2 ：臺(tái)灣是什么形狀？

……

師：是呀，我們可以提出很多問題，剛才有同學(xué)提出臺(tái)灣長(zhǎng)什么樣？就憑這三個(gè)數(shù)據(jù)，你能不能說一說臺(tái)灣長(zhǎng)什么樣子呢？

生默默然，不知如何思考。

師：?jiǎn)l(fā)一下大家，你看了這個(gè)式子有什么想法？板書：（400+150）×2=1100千米

生：這個(gè)式子好像是在求長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，因?yàn)榭v長(zhǎng)395千米可以看成400千米，寬度144千米可以看成150千米。

師：嗯，很好，有想法了。那想一想，臺(tái)灣可能長(zhǎng)什么樣？

生：長(zhǎng)方形。

師：在這一式子里，我們把395看成400， 把144看作150，這樣估算出來的1100千米應(yīng)該比臺(tái)灣實(shí)際的周長(zhǎng)要——？

生：要多些。

師：對(duì)！其實(shí)，臺(tái)灣的海岸線實(shí)際上就是它的周長(zhǎng)，但是這兒的1100千米卻比臺(tái)灣海岸線長(zhǎng)約1139千米還短呢。

師：現(xiàn)在你再來說說臺(tái)灣長(zhǎng)什么樣？

生1：我覺著臺(tái)灣可能不是一個(gè)規(guī)則的圖形。

生2：臺(tái)灣的樣子應(yīng)該是不規(guī)則圖形，但接近長(zhǎng)方形。

師：那你們能不能依據(jù)這些信息畫出臺(tái)灣的樣子呢？

組織學(xué)生繼續(xù)圍繞這個(gè)主題開展相關(guān)活動(dòng)（略）

……

其實(shí)，華老師引導(dǎo)學(xué)生通過估算將395和144估成整百整十?dāng)?shù)后，借助對(duì)數(shù)據(jù)（400+150）×2=1100千米的觀察，引發(fā)學(xué)生思考并得出結(jié)論：“臺(tái)灣有可能是長(zhǎng)方形的樣子，也有可能是不規(guī)則的圖形，但近似長(zhǎng)方形”。不難看出，華老師的數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)很巧妙地調(diào)動(dòng)了學(xué)生已有周長(zhǎng)知識(shí)和估算技能等方面的思維經(jīng)驗(yàn)。接著，華老師又組織學(xué)生開展“四次嘗試畫出臺(tái)灣樣子”的活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注具有數(shù)學(xué)思維價(jià)值的問題，這些問題不斷促發(fā)學(xué)生思考、對(duì)比、修正。在不斷的實(shí)踐操作活動(dòng)中，學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)、面積數(shù)據(jù)在具體情境中的感受越來越深刻，對(duì)三角形中兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)也有了再認(rèn)識(shí)，對(duì)分?jǐn)?shù)的意義即部分與整體的相對(duì)關(guān)系等也在潛移默化中有了了解，“臺(tái)灣長(zhǎng)什么樣”一步步由模糊變得清晰。

華老師的精彩活動(dòng)設(shè)計(jì)讓學(xué)生充分經(jīng)歷了觀察、猜測(cè)、操作、討論、交流、推理等過程，有效調(diào)用學(xué)生已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)又積累并生成新的思維經(jīng)驗(yàn)。可以說，正是有了華老師有層次的活動(dòng)設(shè)計(jì)，才使得學(xué)生思維得到了遞進(jìn)式發(fā)展，原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷建構(gòu)，數(shù)學(xué)素養(yǎng)與能力不斷提升，創(chuàng)造性地完成了學(xué)習(xí)任務(wù)。

綜上所述，數(shù)學(xué)活動(dòng)是當(dāng)前課程實(shí)施與課堂教學(xué)改革中的重要組成部分，只有準(zhǔn)確地把握數(shù)學(xué)活動(dòng)的本質(zhì)特征，科學(xué)合理進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)，才能有效地發(fā)揮數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)價(jià)值，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]王林.小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研究與實(shí)踐[M].南京：江蘇教育出版社， 2011：24-25.

[2]鄧友祥.數(shù)學(xué)活動(dòng)的特質(zhì)與有效教學(xué)策略[J].課程·教材·教法， 2009（8）：38-42.

[3]弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平，唐瑞芬，譯.上海：上海教育出版社， 1995：124.

[4]郭玉峰，史寧中.“數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”研究：內(nèi)涵與維度劃分[J].教育學(xué)報(bào)， 2012（10）：23-28.

Preliminary Exploration of Primary School Mathematics Activity Design

Zhang Wei

（Jiangning Kexueyuan Primary School， Nanjing 211100， China）

Abstract： The essential characteristics of primary school mathematics activity lie in the necessity of participation of high-level mathematics thinking. Students cooperates with each other in concrete problem situations to go through observation， operation， discussion， communication， guessing， analysis and testing so that they can gradually understand the mathematics questions， formation of mathematics concepts and arrival of mathematics conclusion to develop their corresponding ability of mathematics thinking. The essence of such design resides in the starting point oriented towards mathematics， the process of activity embodying mathematics thoughts， and the results of activity accumulating thinking experience.

Key words： primary school mathematics activity; activity experience; mathematics thinking